रैखिक समीकरणों के आलेख

सीखने का लक्ष्य

निर्देशांक सारणियों से रेखाओं का वर्णन करना और उनके प्रतिच्छेदों का अर्थ समझना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

वास्तविक निर्देशांक लें। क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष, (0, 0) पर लंबवत मिलते हैं। धनात्मक दिशाएँ दाईं ओर और ऊपर हैं; ऋणात्मक दिशाएँ बाईं ओर और नीचे हैं। दोनों अक्षों पर समान दूरी वाले एक-एक इकाई के अंतराल लें।

(x, y) में क्षैतिज स्थिति पहले आती है। आलेख में हर स्वीकार्य हल-युग्म शामिल है, केवल सारणी के नमूने नहीं।

ax + by = c में a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं। यदि b ≠ 0 हो, तो y = −(a/b)x + c/b। ढाल, ऊर्ध्वाधर बदलाव को अशून्य क्षैतिज बदलाव से भाग देने पर मिलती है। यदि b = 0 हो, तो a ≠ 0: x = c/a ऊर्ध्वाधर रेखा है। y = k रेखा क्षैतिज होती है।

दो अलग बिंदु एक रेखा तय करते हैं। रेखा को दोनों ओर बढ़ाएँ: यहाँ मानों के क्षेत्र पर कोई अतिरिक्त पाबंदी नहीं है। x-अक्ष के प्रतिच्छेद पर y = 0 और y-अक्ष के प्रतिच्छेद पर x = 0 होता है। साझा प्रतिच्छेद दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। अलग समांतर रेखाओं का कोई साझा बिंदु नहीं; संपाती रेखाओं के अनंत साझा बिंदु होते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — नीचे जाती रेखा। x + 2y = 6 का वर्णन करें।

व्यवस्थित करें: y = (6 − x)/2।

x	0	2	6
y	3	2	0

x = 2 के लिए, y = (6 − 2)/2 = 2। बिंदुओं को जोड़ें। दाईं ओर दो इकाई जाने पर रेखा एक इकाई नीचे जाती है। अक्षों पर प्रतिच्छेद (0, 3) और (6, 0) हैं।

उदाहरण 2 — प्रतिच्छेद। x + y = 5 और x − y = 1 की तुलना करें।

इन्हें y = 5 − x और y = x − 1 लिखें।

x	0	3	5
y = 5 − x	5	2	0
y = x − 1	−1	2	4

एक रेखा नीचे जाती है; दूसरी ऊपर जाती है। बराबर रखने पर 5 − x = x − 1, इसलिए x = 3 और y = 2। प्रतिच्छेद: (3, 2)। जाँच: 3 + 2 = 5; 3 − 2 = 1।

उदाहरण 3 — ऊर्ध्वाधर रेखा। x = −2 का वर्णन करें।

x	−2	−2	−2
y	−2	0	3

सभी बिंदु y-अक्ष से दो इकाई बाईं ओर हैं। यह ऊर्ध्वाधर रेखा केवल x-अक्ष को (−2, 0) पर काटती है। इसकी ढाल अपरिभाषित है: क्षैतिज बदलाव शून्य है।

आम गलतियाँ

निर्देशांक उलट देना; असमान पैमाने लेना; केवल रेखाखंड बनाना; हर रेखा का दोनों अक्षों से मिलना मान लेना; ऊर्ध्वाधर ढाल के लिए शून्य से भाग देना।

अभ्यास प्रश्न

1. x = 0, 1, 2 पर 2x + y = 4 की सारणी बनाएँ और अक्षों पर प्रतिच्छेद बताएँ।
2. y = −3 पर तीन बिंदु दें; उसकी रेखा और अक्षों पर प्रतिच्छेदों का वर्णन करें।
3. y = x + 1 और y = −x + 5 का प्रतिच्छेद निकालें और जाँचें।
4. y = 2x + 1 की पहले y = 2x − 3 से, फिर 2y = 4x + 2 से तुलना करें। प्रतिच्छेदों की संख्या बताएँ।

चरणबद्ध हल

1. व्यवस्थित करने पर y = 4 − 2x:

x	0	1	2
y	4	2	0

रेखा नीचे जाती है। अक्षों पर प्रतिच्छेद: (0, 4) और (2, 0)।

2. (−2, −3), (0, −3), (2, −3) बिंदु x-अक्ष से तीन इकाई नीचे एक क्षैतिज रेखा बनाते हैं। इसका y-अक्ष पर प्रतिच्छेद (0, −3) है; x-अक्ष पर कोई प्रतिच्छेद नहीं है।

3. बराबर रखें: x + 1 = −x + 5, इसलिए 2x = 4। अतः (x, y) = (2, 3)। जाँच: 3 = 2 + 1 और 3 = −2 + 5।

4. पहले युग्म की दोनों रेखाओं की ढाल 2 है, लेकिन y-अक्ष पर प्रतिच्छेद अलग हैं; बराबर रखने पर 1 = −3 मिलता है: कोई प्रतिच्छेद नहीं। 2y = 4x + 2 को 2 से भाग देने पर पहला समीकरण ही मिलता है: अनंत प्रतिच्छेद।