जोड़ने, हटाने या बदलने से औसत में परिवर्तन

सीखने का परिणाम

जोड़ने, हटाने या बदलने पर नए कुल और धनात्मक गिनती से औसत निकालें।

अर्थ और तरीका

कुल योग = गिनती × औसत। मूल गिनती n > 0, औसत a और कुल T = n × a लें।

जोड़ना: औसत b वाले k मान जोड़ने पर नया औसत = (T + k × b) ÷ (n + k)।

हटाना: औसत b वाले k मौजूदा मानों का कुल योग घटाएँ। नया औसत = (T - k × b) ÷ (n - k)। शर्त 0 < k < n है; सभी मान हटाने पर औसत अपरिभाषित होगा।

एक मान जोड़ने या हटाने पर k = 1 और b वही मान है। सभी बताई गई गिनतियाँ धनात्मक पूर्णांक हैं; हटाने पर भी गिनती धनात्मक रहे।

एक मान बदलना: x को y से बदलने पर गिनती n और कुल T - x + y होगा। नया औसत = a + (y - x) ÷ n। कुल बदलाव, औसत के बदलाव का n गुना है।

कारण: हर प्रेक्षण कुल में अपना मान और गिनती में एक स्थान जोड़ता है। अधिक औसत वाला समूह जोड़ने से औसत बढ़ता, हटाने से घटता है। कम औसत वाला समूह उलटा प्रभाव डालता है। समान औसत वाला समूह उसे अपरिवर्तित रखता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — समूह जोड़ें। नौ मानों का औसत 26 है। औसत 34 वाले तीन मान जोड़ें। पुराना कुल = 9 × 26 = 234; जुड़ा कुल = 3 × 34 = 102। नया औसत = (234 + 102) ÷ (9 + 3) = 336 ÷ 12 = 28, अपेक्षानुसार अधिक।

उदाहरण 2 — समूह हटाएँ। पंद्रह मानों का औसत 32 है। औसत 26 वाले पाँच मान हटाएँ। पुराना कुल = 15 × 32 = 480; हटाया कुल = 5 × 26 = 130। शेष औसत = (480 - 130) ÷ (15 - 5) = 350 ÷ 10 = 35। कम औसत वाला समूह हटाने से औसत बढ़ता है।

उदाहरण 3 — प्रतिस्थापन खोजें। बारह रीडिंग का औसत 27 है। रीडिंग 19 को बदलने से औसत 30 हो जाता है। कुल 12 × 27 = 324 से 12 × 30 = 360 होता है। नई रीडिंग 19 से 360 - 324 = 36 अधिक होगी: 19 + 36 = 55।

आम गलतियाँ

हटाए समूह का कुल घटाएँ, औसत नहीं। प्रतिस्थापन गिनती नहीं बदलता। दिशा नए और पुराने मान के अंतर से तय होती है, पुराने औसत से नए मान की तुलना से नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. सात मानों का औसत 18 है। एक मान जोड़ने पर औसत 20 होता है। वह मान निकालें।
2. दस मानों का औसत 24 है। औसत 36 वाले पाँच मान जोड़ें। नया औसत निकालें।
3. सोलह मानों का औसत 29 है। औसत 24 वाले छह मान हटाएँ। शेष औसत निकालें।
4. नौ मानों का औसत 41 है। 53 की जगह 26 रखें। नया औसत निकालें।

हल सहित उत्तर

1. पुराना कुल = 7 × 18 = 126। नई गिनती = 8 और नया कुल = 8 × 20 = 160। जोड़ा मान = 160 - 126 = 34।
2. कुल योग 10 × 24 = 240 और 5 × 36 = 180 हैं। नया औसत = (240 + 180) ÷ 15 = 420 ÷ 15 = 28।
3. पुराना कुल = 16 × 29 = 464। हटाया कुल = 6 × 24 = 144। शेष औसत = (464 - 144) ÷ 10 = 320 ÷ 10 = 32।
4. पुराना कुल = 9 × 41 = 369। नया कुल = 369 - 53 + 26 = 342। गिनती 9 रहती है, इसलिए नया औसत = 342 ÷ 9 = 38।