लंब वृत्तीय शंकुओं का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

सीखने का परिणाम

सही लंबवत या तिर्यक ऊँचाई का उपयोग करके लंब वृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालें।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

लंब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या r होती है और उसका शीर्ष आधार के केंद्र के ठीक ऊपर होता है। लंबवत ऊँचाई h केंद्र और शीर्ष को जोड़ती है; तिर्यक ऊँचाई s ढलान के साथ शीर्ष और किनारे को जोड़ती है। समकोण त्रिभुज से s² = r² + h² मिलता है, इसलिए s = √(r² + h²)।

वक्र सतह को खोलने पर s त्रिज्या और 2 × π × r चाप-लंबाई वाला त्रिज्यखंड मिलता है। उसका क्षेत्रफल त्रिज्या और चाप-लंबाई के गुणनफल का आधा है। इसलिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, CSA = π × r × s है। इसे पार्श्व क्षेत्रफल भी कहते हैं।

बंद शंकु में आधार शामिल है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, TSA = π × r × s + π × r²। बिना फर्श के तंबू या खुले शंक्वाकार पात्र के मुँह पर वृत्ताकार ढक्कन नहीं होता।

आयतन = π × r² × h ÷ 3। शीर्ष की ओर वृत्ताकार परतें छोटी होती जाती हैं; ज्यामिति के अनुसार शंकु का आयतन समान आधार और समान लंबवत ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई है। यहाँ तिर्यक ऊँचाई नहीं ली जाती।

निर्धारित सन्निकटन के रूप में π = 22/7 लें। माप सटीक हैं; क्षमता के लिए भीतरी माप लें। मोटाई, सिलाई-जोड़ और बर्बाद होने वाली सामग्री को अनदेखा करें। बताए गए सेंटीमीटर या मीटर की इकाइयाँ एकसमान रखें। अतिरिक्त पूर्णांकन की जरूरत नहीं है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — बंद शंकु। त्रिज्या 7 cm और लंबवत ऊँचाई 24 cm है। तिर्यक ऊँचाई = √(49 + 576) = √625 = 25 cm। CSA = (22/7) × 7 × 25 = 550 cm²। TSA = 550 + 154 = 704 cm²। आयतन = 154 × 24 ÷ 3 = 1232 cm³।

उदाहरण 2 — तंबू का आवरण। बिना फर्श वाले शंक्वाकार तंबू की त्रिज्या 3.5 m और लंबवत ऊँचाई 12 m है। उसका पूरा वक्र पार्श्व ढका हुआ है। तिर्यक ऊँचाई = √(12.25 + 144) = 12.5 m। तिरपाल का क्षेत्रफल = (22/7) × 3.5 × 12.5 = 137.5 m²। ₹48 प्रति m² की दर से लागत = 137.5 × 48 = ₹6600।

उदाहरण 3 — उलटी गणना। एक लंब शंकु का व्यास 42 cm और आयतन 12936 cm³ है। त्रिज्या = 21 cm; आधार का क्षेत्रफल = (22/7) × 21² = 1386 cm²। ऊँचाई = 3 × 12936 ÷ 1386 = 28 cm। तिर्यक ऊँचाई = √(441 + 784) = 35 cm। इसलिए CSA = (22/7) × 21 × 35 = 2310 cm²।

आम गलतियाँ

वक्र क्षेत्रफल में s और आयतन में h लें। बिना फर्श के तंबू में फर्श का क्षेत्रफल न जोड़ें। कटा हुआ शंकु अलग ठोस है; ये सूत्र पूरा शीर्ष मौजूद होने पर लागू होते हैं।

अभ्यास प्रश्न

1. एक शंकु की त्रिज्या 21 cm और लंबवत ऊँचाई 20 cm है। तिर्यक ऊँचाई और आयतन निकालें।
2. एक बंद शंकु की त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।
3. बिना फर्श के शंक्वाकार तंबू की त्रिज्या 10.5 m और लंबवत ऊँचाई 14 m है। तिरपाल का क्षेत्रफल और ₹40 प्रति m² की दर से लागत निकालें।
4. खुले शंक्वाकार पात्र की भीतरी त्रिज्या 14 cm और क्षमता 4312 cm³ है। उसकी लंबवत गहराई निकालें।

हल सहित उत्तर

1. तिर्यक ऊँचाई = √(441 + 400) = 29 cm। आयतन = (22/7) × 441 × 20 ÷ 3 = 9240 cm³।
2. CSA = (22/7) × 7 × 13 = 286 cm²। आधार जोड़ें: TSA = 286 + 154 = 440 cm²।
3. तिर्यक ऊँचाई = √(110.25 + 196) = 17.5 m। क्षेत्रफल = (22/7) × 10.5 × 17.5 = 577.5 m²। लागत = 577.5 × 40 = ₹23100।
4. आधार का क्षेत्रफल = (22/7) × 14² = 616 cm²। गहराई = 3 × 4312 ÷ 616 = 21 cm।