संख्याओं के सरल प्रश्नों में शेषफल
सीखने का परिणाम
मान्य शेषफल के साथ भाग लिखें और योग, अंतर तथा गुणनफल वाले सरल शेषफल प्रश्न हल करें।
अवधारणाएँ और उनके कारण
यहाँ भाज्य N अऋणात्मक (शून्य या धनात्मक) पूर्णांक और भाजक d धनात्मक पूर्णांक है। लिखें N = d × q + r: q भागफल (एक पूर्ण संख्या) और r शेषफल है; 0 ≤ r < d।
शेषफल d आकार के अधिकतम पूरे समूह निकालने के बाद बची मात्रा है। वह d के बराबर या बड़ा नहीं हो सकता; ऐसा होने पर एक और पूरा समूह निकल जाएगा। शेषफल 0 का अर्थ पूरी विभाज्यता है। N < d होने पर भागफल 0 और शेषफल N है।
समान भाजक के लिए योग, अंतर या गुणनफल का शेषफल खोजते समय संख्याओं की जगह उनके शेषफल रखें। फिर परिणाम को दोबारा मान्य सीमा में लाएँ।
यह क्यों सही है? लिखें A = d × a + r और B = d × b + s। जोड़ने या घटाने पर d के गुणजों के अलावा r + s या r - s बचता है। गुणा करने पर d के गुणजों के अलावा r × s बचता है। पूरे गुणज शेषफल में योगदान नहीं देते।
हमारी परिपाटी में बीच की गणना का ऋणात्मक अंतर अंतिम शेषफल नहीं है। d जोड़कर उसे मान्य सीमा में लाएँ।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1. 157 को 12 से बाँटें। 12 × 13 = 156, इसलिए 157 = 12 × 13 + 1। शेषफल 1 है, जो 0 और 11 के बीच है।
उदाहरण 2. A और B को 7 से बाँटने पर शेषफल 5 और 4 हैं। उनके योग का शेषफल 5 + 4 = 9 का शेषफल, यानी 2 है। गुणनफल का शेषफल 5 × 4 = 20 का शेषफल, यानी 6 है।
उदाहरण 3. मानें A ≥ B और 7 से भाग देने पर उनके शेषफल 2 और 5 हैं। A - B के लिए शुरुआती अंतर -3 है। 7 जोड़ें: आवश्यक शेषफल 4 है, -3 नहीं।
आम गलतियाँ
शेषफल, भागफल या दशमलव हिस्सा नहीं है। बड़े परिणाम को फिर भाजक से बाँटकर शेषफल लें। अलग भाजकों से मिले शेषफल आपस में न मिलाएँ और शून्य से भाग कभी न दें।
अभ्यास प्रश्न
- 246 को 11 से बाँटने पर शेषफल निकालें।
- N को 8 से बाँटने पर शेषफल 5 है। 3N + 7 को 8 से बाँटने पर शेषफल निकालें।
- N को 5 से बाँटने पर शेषफल 3 है। (N + 1)(N + 2) को 5 से बाँटने पर शेषफल निकालें।
उत्तर और व्याख्या
- 11 × 22 = 242, इसलिए 246 = 11 × 22 + 4। शेषफल 4 है, जो 11 से छोटा है।
- N की जगह 5 रखें: 3 × 5 + 7 = 22। चूँकि 22 = 8 × 2 + 6, शेषफल 6 है।
- N + 1 का शेषफल 4 और N + 2 का 0 है। इसलिए गुणनफल का शेषफल 4 × 0 = 0 है।
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