संयुक्त और भारित औसत

सीखने का परिणाम

असमान समूहों का संयुक्त औसत तथा भारित प्राप्तांक निकालें और संयुक्त औसत से समूहों की गिनती का अनुपात खोजें।

अर्थ और तरीका

समूह का कुल योग = गिनती × औसत। खाली न होने वाले समूह जोड़ते समय उनके कुल योग जोड़कर संयुक्त गिनती से भाग दें।

केवल औसतों का औसत लेने से दोनों समूहों को बराबर प्रभाव मिलता है, चाहे उनके आकार अलग हों। बराबर धनात्मक गिनतियों पर यह तरीका सही है; असमान गिनतियों पर वास्तविक भार लगाएँ।

भारित औसत अलग-अलग महत्व वाले मान भी दर्शाता है। हर मान को उसके भार से गुणा करें, गुणनफल जोड़ें और भारों के योग से भाग दें। मान समान पैमाने पर हों। समूह-आकार के भार मानों की गिनती बताते हैं; मूल्यांकन के भार उनका सापेक्ष महत्व बताते हैं।

भार अऋणात्मक हों और उनका योग धनात्मक हो। शून्य भार वाले मान छोड़ दें। खाली समूह का औसत अपरिभाषित है; काल्पनिक औसत न दें। सभी गिनतियाँ या भार शून्य हों तो औसत अपरिभाषित है।

सभी भारों को समान धनात्मक गुणक से गुणा करने पर अंश और हर समान अनुपात में बदलते हैं; औसत अपरिवर्तित रहता है। इसलिए भारों का अनुपात पर्याप्त है। धनात्मक भारों पर परिणाम शामिल मानों के न्यूनतम और अधिकतम के बीच है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — समूह जोड़ें। आठ विद्यार्थी औसतन 35 पृष्ठ और बारह विद्यार्थी औसतन 45 पृष्ठ पढ़ते हैं। कुल पृष्ठ = 8 × 35 + 12 × 45 = 280 + 540 = 820। संयुक्त औसत = 820 ÷ 20 = 41 पृष्ठ। बड़ा समूह परिणाम को 45 के करीब लाता है; केवल औसतों का औसत लेने पर 40 मिलता।

उदाहरण 2 — महत्व के भार लगाएँ। तीन परीक्षणों में प्रत्येक के अधिकतम अंक 100 हैं। प्राप्तांक 64, 76 और 88 तथा भार 2:3:5 हैं। भारित अंक = (2 × 64 + 3 × 76 + 5 × 88) ÷ (2 + 3 + 5) = 796 ÷ 10 = 79 3/5। कुल भार से भाग दें, परीक्षणों की संख्या से नहीं।

उदाहरण 3 — गिनती का अनुपात निकालें। दो समूहों के औसत 24 और 39 हैं; संयुक्त औसत 33 है। पहला औसत संयुक्त औसत से 33 - 24 = 9 कम और दूसरा 39 - 33 = 6 अधिक है। गिनतियाँ a और b हों तो कुल कमी और बढ़त बराबर होंगी: 9 × a = 6 × b। इसलिए a:b = 6:9 = 2:3।

आम गलतियाँ

समूह के औसत को उसका कुल योग न समझें। भारों और मानों का क्रम समान रखें। अधिक सदस्य समूह का प्रभाव बढ़ाते हैं; केवल अधिक औसत अतिरिक्त भार नहीं देता।

अभ्यास प्रश्न

1. 6 विद्यार्थियों का औसत 21 अंक और 9 विद्यार्थियों का औसत 31 अंक है। संयुक्त औसत निकालें।
2. दो समूहों के औसत 18 और 32 तथा गिनतियों का अनुपात 3:4 है। संयुक्त औसत निकालें।
3. प्राप्तांक 50, 65 और 80 के भार 1:2:3 हैं। भारित औसत निकालें।
4. औसत 16 और 28 वाले समूहों का संयुक्त औसत 25 है। उसी क्रम में उनकी गिनतियों का अनुपात निकालें।

हल सहित उत्तर

1. कुल = 6 × 21 + 9 × 31 = 126 + 279 = 405। गिनती = 15, इसलिए औसत = 405 ÷ 15 = 27 अंक।
2. अनुपात को भार मानें: (3 × 18 + 4 × 32) ÷ 7 = 182 ÷ 7 = 26।
3. भारित कुल = 50 + 130 + 240 = 420। कुल भार = 6, इसलिए औसत = 420 ÷ 6 = 70।
4. 25 से अंतर 9 कम और 3 अधिक है। संतुलन से 9 × a = 3 × b, इसलिए a:b = 3:9 = 1:3।