प्रारंभिक गुणनखंडन
सीखने का लक्ष्य
साझा गुणनखंडों, समूहन और सर्वसमिकाओं से गुणनखंडन करना तथा मूल पाबंदियाँ बनाए रखते हुए बीजगणितीय भिन्नों को सरल करना।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
जब तक कुछ और न कहा जाए, चर वास्तविक हैं। गुणनखंडन किसी व्यंजक को समान मान वाले गुणनफल के रूप में लिखता है। यह विस्तार की उलटी प्रक्रिया है: uv + uw = u(v + w)। u = 0 पर भी यह बराबरी सत्य है, क्योंकि गुणनखंडन का अर्थ u से भाग देना नहीं है।
पहले ऐसा संख्यात्मक गुणनखंड और चरों की ऐसी घातें खोजें जो हर पद में मौजूद हों। साझा घातों में सबसे छोटी घात बाहर लेने से कोष्ठक में गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातें बचती हैं।
समूहन से बार-बार आने वाला कोष्ठक बनाया जाता है, जिसे फिर साझा गुणनखंड लिया जा सकता है। x² + px + q के लिए r और s ऐसी संख्याएँ खोजें कि r + s = p और rs = q हों, क्योंकि (x + r)(x + s) का विस्तार वही बहुपद देता है।
Ax² + Bx + C में, जहाँ A ≠ 0 है, समूहन की एक उपयोगी विधि में Bx को ऐसे दो पदों में बाँटते हैं जिनके गुणांकों का योग B और गुणनफल AC हो। हर बहुपद के लिए उपयुक्त पूर्णांक मिलना आवश्यक नहीं है।
सर्वसमिका a² − b² = (a − b)(a + b), वर्गों के अंतर का गुणनखंडन करती है। वर्गों के योग पर यह नियम लागू नहीं होता।
केवल गुणनखंडन से कोई मान वर्जित नहीं होता। लेकिन भिन्न सरल करने से पहले लिखें कि उसका मूल हर किन मानों पर शून्य होता है। काटने में अंश और हर को एक ही अशून्य गुणनखंड से भाग दिया जाता है; इससे वर्जित मान दोबारा स्वीकार्य नहीं हो जाते।
व्यंजक का गुणनखंडन करना और समीकरण हल करना अलग बातें हैं। शून्य-गुणनफल नियम तभी लागू करें जब गुणनफल शून्य के बराबर हो: तब कम-से-कम एक गुणनखंड शून्य होना चाहिए।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — साझा गुणनखंड। 12x²y − 18xy² का गुणनखंडन करें।
सबसे बड़ा साझा संख्यात्मक गुणनखंड 6 है; दोनों पदों में xy मौजूद है। इसलिए 12x²y − 18xy² = 6xy(2x − 3y)। वापस विस्तार करने पर 12x²y − 18xy² मिलता है। x = 0 या y = 0 पर भी यह गुणनखंडन मान्य है।
उदाहरण 2 — मध्य पद को बाँटना। x² + x − 12 का गुणनखंडन करें।
आवश्यक संख्याओं का योग 1 और गुणनफल −12 होना चाहिए: वे 4 और −3 हैं। फिर से लिखकर समूह बनाएँ: x² + 4x − 3x − 12 = x(x + 4) − 3(x + 4) = (x + 4)(x − 3)।
उदाहरण 3 — वर्जित मान बनाए रखना। (x² − 25)/(x² − 5x) को सरल करें।
हर = x(x − 5), इसलिए x ≠ 0, 5। अंश = (x − 5)(x + 5)। अशून्य साझा गुणनखंड x − 5 काटें: उत्तर = (x + 5)/x, जहाँ x ≠ 0, 5। अंतिम सूत्र में 5 रख पाना संभव है, लेकिन मूल भिन्न में ऐसा नहीं कर सकते।
आम गलतियाँ
साझा गुणनखंड बाहर लेने के बजाय गायब कर देना; गलत योग या गुणनफल वाली संख्याएँ चुनना; वर्गों के योग को अंतर की तरह गुणनखंडित करना; कटे हुए हर के शून्य मान भूल जाना।
अभ्यास प्रश्न
- 15a²b + 10ab² का गुणनखंडन करें।
- 9y² − 16 का गुणनखंडन करें।
- 6t² + 7t − 3 का गुणनखंडन करें।
- परिभाषा-क्षेत्र बताएँ और (z² − 9)/(z² + 3z) को सरल करें।
चरणबद्ध हल
- साझा गुणनखंड 5ab है; बचे गुणनखंड 3a और 2b हैं। इसलिए 5ab(3a + 2b) का विस्तार हर वास्तविक a और b के लिए मूल व्यंजक देता है, शून्य सहित।
- इसे (3y)² − 4² लिखें। गुणनखंड (3y − 4)(3y + 4) हैं और हर वास्तविक y के लिए मान्य हैं।
- गुणनफल 6(−3) = −18 और आवश्यक योग 7 है। 9 और −2 चुनें: 6t² + 9t − 2t − 3 = 3t(2t + 3) − (2t + 3) = (3t − 1)(2t + 3)।
- हर = z(z + 3), इसलिए z ≠ 0, −3। अंश = (z − 3)(z + 3)। z + 3 काटने पर (z − 3)/z मिलता है; दोनों वर्जित मान बने रहेंगे।
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