चर, व्यंजक और बीजगणितीय संक्रियाएँ

सीखने का लक्ष्य

पदों और गुणांकों को पहचानना, व्यंजकों को सरल करना, चिह्नयुक्त मानों का सही प्रतिस्थापन करना और बीजगणितीय राशियों में भाग देते समय मानों पर लगी पाबंदियाँ बनाए रखना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

जब तक प्रश्न में मानों का क्षेत्र सीमित न किया गया हो, चर वास्तविक संख्याएँ दर्शाते हैं। चर अलग-अलग स्वीकार्य मान ले सकता है; स्थिरांक का मान निश्चित होता है। व्यंजक किसी राशि को बताता है, लेकिन अपने-आप बराबरी का दावा नहीं करता। समीकरण बताता है कि दो व्यंजक बराबर हैं।

सबसे बाहरी स्तर पर जोड़ या घटाव से अलग होने वाले हिस्से पद कहलाते हैं। 5x² − 3x + 7 में x² और x के गुणांक क्रमशः 5 और −3 हैं; 7 स्थिर पद है। गुणा से गुणनखंड जुड़ते हैं: 5x² का अर्थ 5 × x × x है।

सजातीय पदों में चर वाले गुणनखंड और उनकी घातें बिल्कुल समान होती हैं। इन्हें जोड़ा जा सकता है, क्योंकि वितरण नियम से 3x + 2x = (3 + 2)x मिलता है। लेकिन x और x² सामान्यतः अलग राशियाँ दर्शाते हैं और उन्हें एक सजातीय पद की तरह नहीं जोड़ा जा सकता।

कोष्ठक हटाने का आधार भी वितरण नियम है: भीतर के प्रत्येक पद को बाहर वाले गुणनखंड से गुणा करें। किसी कोष्ठक को घटाने का अर्थ उसके पूरे व्यंजक को −1 से गुणा करना है।

पहले कोष्ठक, फिर घातें, फिर बाएँ से दाएँ गुणा और भाग, और अंत में बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव करें। ऋणात्मक मान रखते समय उनके चारों ओर कोष्ठक लगाएँ: (−2)² = 4, जबकि −2² का अर्थ −(2²) = −4 है।

भाग देने के लिए हर का अशून्य होना आवश्यक है। केवल साझा गुणात्मक गुणनखंड काटे जा सकते हैं; अलग-अलग पदों को ऐसे ही नहीं काट सकते। सरलीकरण के बाद भी मूल व्यंजक का परिभाषा-क्षेत्र बना रहता है, भले नए रूप में कोई वर्जित मान दिखाई न दे।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — सजातीय पद जोड़ना। 5x − 3y + 7 − 2x + 4y − 9 को सरल करें, फिर x = 2, y = −1 पर मान निकालें।

समान प्रकार के पद एकत्र करें: (5 − 2)x + (−3 + 4)y + (7 − 9) = 3x + y − 2। मान रखने पर 3(2) + (−1) − 2 = 6 − 1 − 2 = 3।

उदाहरण 2 — कोष्ठक हटाना। 3(2x − 5) − 2(x + 4) + 7 को सरल करें।

दोनों बाहरी गुणनखंडों का वितरण करें: 6x − 15 − 2x − 8 + 7। जोड़ने पर: (6 − 2)x + (−15 − 8 + 7) = 4x − 16। दूसरे कोष्ठक से −2x − 8 मिलता है, −2x + 8 नहीं।

उदाहरण 3 — गुणनखंड काटना। 12a²b/(3ab) को सरल करें और उसका परिभाषा-क्षेत्र बताएँ।

हर तभी अशून्य है जब a ≠ 0 और b ≠ 0। अंश को (3ab)(4a) लिखें। अशून्य गुणनखंड 3ab काटने पर 4a मिलता है; दोनों पाबंदियाँ बनी रहेंगी। a = −2, b = 5 पर इसका मान 4(−2) = −8 है।

आम गलतियाँ

अलग-अलग घातों वाले पद जोड़ना; ऋण चिह्न खो देना; मान रखते समय कोष्ठक न लगाना; जोड़ वाले पदों को सीधे काटना; सरलीकरण के बाद पहले से वर्जित मान स्वीकार कर लेना।

अभ्यास प्रश्न

1. 7p − 4q + 3 − 2p + q − 8 को सरल करें।
2. 4(2x − 3) − 3(x + 1) को सरल करें।
3. x = −2, y = 3 पर 2x² − 3xy + y² का मान निकालें।
4. वास्तविक m और n के लिए परिभाषा-क्षेत्र बताएँ और (18m²n + 6mn²)/(6mn) को सरल करें।

चरणबद्ध हल

1. गुणांक और स्थिर पद एकत्र करें: (7 − 2)p + (−4 + 1)q + (3 − 8) = 5p − 3q − 5।
2. विस्तार करने पर 8x − 12 − 3x − 3 = 5x − 15।
3. कोष्ठकों के साथ मान रखें: 2(−2)² − 3(−2)(3) + 3² = 8 + 18 + 9 = 35।
4. m ≠ 0 और n ≠ 0 आवश्यक हैं। पदवार भाग दें: 18m²n/(6mn) + 6mn²/(6mn) = 3m + n। दोनों वर्जित मान बने रहेंगे।