लंबी शृंखलाएँ, और ख़बरों में प्रतिशत अंक
तीन या चार प्रतिशत बदलावों की शृंखला भी एक ही गुणा है: सभी गुणकों को गुणा कीजिए, किसी भी क्रम में। और जब ख़बर में कोई दर बढ़ने या घटने की बात हो, तो देखिए कि उसका अर्थ प्रतिशत अंक है या प्रतिशत।
पहले अनुमान लगाइए
पहले अनुमान: एक ऐप के मासिक उपयोगकर्ता जनवरी में 20% बढ़े, फिर फ़रवरी में 10% घटे और मार्च में 10% और घटे। जनवरी की शुरुआत से मार्च के अंत तक कुल मिलाकर क्या हुआ?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
1.2 × 0.9 × 0.9 = 0.972, यानी उपयोगकर्ता शुरुआत के 97.2% रह जाते हैं: 2.8% की कमी। +20, −10 और −10 का जोड़ शून्य है, पर बदलाव गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं।
विकल्प A: "कोई बदलाव नहीं" प्रतिशतों को जोड़ता है (20 − 10 − 10 = 0)। हर कमी उपयोगकर्ताओं की अलग संख्या का 10% है।
विकल्प C: 2.8% की वृद्धि का आकार सही है पर दिशा गलत: शुरुआत का 97.2% रह जाना कमी है।
विकल्प D: 10% की कमी में केवल मार्च का बदलाव लिया गया है।
संकेत: 1.2, 0.9 और 0.9 को गुणा कीजिए।
अगर आपने 2.8% की कमी चुनी, तो आपने पाठ 3 का शृंखला वाला नियम तीन चरणों पर लगाया। यह पाठ शृंखलाओं को लंबा करता है, उन्हें उलटा चलाता है, और ख़बरों की दरें पढ़ना सिखाता है।
रोज़ की एक तस्वीर
प्रतिशत बदलावों की शृंखला एक रिले दौड़ जैसी है: हर धावक वहीं से शुरू करता है जहाँ पिछला रुका।
पहला धावक पहला बदलाव
शुरुआती मान से दौड़ता है
दूसरा धावक दूसरा बदलाव
पहले बदलाव के बाद वाले मान से शुरू करता है
अंतिम रेखा अंतिम मान
शुरुआत × हर गुणक, क्रम से
धावकों का क्रम बदल दीजिए, अंतिम रेखा नहीं हिलती: गुणा का परिणाम किसी भी क्रम में वही रहता है।
देखिए: एक शृंखला, दो क्रम
₹10,000 पर +20%, −10% और −10% के बदलाव लगते हैं। तालिका शृंखला को दो क्रमों में चलाती है।
| चरण | क्रम 1 | क्रम 2 |
|---|---|---|
| शुरुआत | ₹10,000 | ₹10,000 |
| चरण 1 | +20%: 10,000 × 1.2 = 12,000 | −10%: 10,000 × 0.9 = 9,000 |
| चरण 2 | −10%: 12,000 × 0.9 = 10,800 | −10%: 9,000 × 0.9 = 8,100 |
| चरण 3 | −10%: 10,800 × 0.9 = 9,720 | +20%: 8,100 × 1.2 = 9,720 |
flowchart TD S["शुरुआत ₹10,000"] -->|"× 1.2"| A["₹12,000"] A -->|"× 0.9"| B["₹10,800"] B -->|"× 0.9"| C["₹9,720"] S -.->|"एक कदम में: × 0.972"| C
दोनों क्रम ₹9,720 पर ख़त्म होते हैं, क्योंकि 1.2 × 0.9 × 0.9 = 0.972, क्रम कुछ भी हो। पूरी शृंखला एक ही बदलाव है: 9,720 − 10,000 = −280, यानी 2.8% की कमी।
ख़बरों में दरें। जब बदलने वाली संख्या ख़ुद एक प्रतिशत हो, तो दोनों तरह से पढ़िए:
| ख़बर | अंक | प्रतिशत परिवर्तन |
|---|---|---|
| बेरोज़गारी 8% से 6% | 6 − 8 = −2 अंक | −2 ÷ 8 × 100 = −25% |
| मत-हिस्सा 32% से 40% | 40 − 32 = 8 अंक | 8 ÷ 32 × 100 = 25% |
| GST स्लैब 18% से 12% | 12 − 18 = −6 अंक | −6 ÷ 18 × 100 = −33⅓% |
करके देखिए। ₹100 पर पहले +50% और फिर −50% लगाइए। फिर पहले −50% और फिर +50%। दोनों क्रम एक ही उत्तर देते हैं, और वह ₹100 नहीं है।
नियम खोजिए
एक कीमत लगातार 3 साल हर साल 10% बढ़ती है। कुल वृद्धि कितनी है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331, यानी कीमत शुरुआत की 133.1% है: 33.1% की वृद्धि।
विकल्प A: 30% की वृद्धि तीनों प्रतिशतों को जोड़ती है। हर साल का 10% बढ़ी हुई कीमत पर है।
विकल्प C: 10% की वृद्धि में केवल एक साल गिना गया है।
विकल्प D: 33.1% की कमी का आकार सही है पर दिशा गलत: हर साल कीमत बढ़ी।
संकेत: 1.1 को तीन बार आपस में गुणा कीजिए।
एक कीमत 40% घटती है और फिर 66⅔% बढ़ती है। कुल बदलाव कितना है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
0.6 × 5/3 = 1, यानी कीमत फिर शुरुआत के 100% पर है: कोई बदलाव नहीं। खानों में: 5 खाने घटकर 3 रह जाते हैं, और 3 पर 2 खानों की वृद्धि (66⅔%) फिर 5 बना देती है।
विकल्प B: 26⅔% की वृद्धि प्रतिशतों को जोड़ती है (66⅔ − 40 = 26⅔)। 66⅔% वृद्धि घटी हुई कीमत पर है।
विकल्प C: 66⅔% की वृद्धि में केवल बढ़ना लिया गया है।
विकल्प D: 13⅓% की वृद्धि दोनों बदलावों का औसत है ((−40 + 66⅔) ÷ 2 = 13⅓)।
संकेत: 0.6 × 5/3 कितना है?
किसी वस्तु पर GST की दर 18% से घटाकर 12% की गई। कौन-सा कथन सही है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
अंक: 12 − 18 = −6, यानी 6 अंक की कमी। प्रतिशत: 6 ÷ 18 × 100 = 33⅓%, यानी दर एक-तिहाई घटी।
विकल्प A: 6 तो प्रतिशत अंकों में कमी है; पुरानी दर के प्रतिशत के रूप में यह 33⅓% है।
विकल्प B: 33⅓ प्रतिशत परिवर्तन है, अंकों की संख्या नहीं।
विकल्प D: 12% नई दर है, कमी नहीं।
संकेत: अंक के लिए दरें घटाइए; प्रतिशत के लिए उस अंतर को पुरानी दर से भाग दीजिए।
नियम का नाम
- कोई भी शृंखला: हर गुणक को गुणा कीजिए। क्रम से फ़र्क नहीं पड़ता।
- पूरी शृंखला एक कदम में: (गुणनफल − 1) × 100 ही एक बराबर का बदलाव है।
- बराबर वृद्धि और कमी: r% वृद्धि और r% कमी हमेशा r × r ÷ 100 प्रतिशत घटाती हैं। 10% वृद्धि, 10% कमी यानी 1% का नुकसान।
- शृंखला को उलटा चलाना: अंतिम मान को गुणकों के गुणनफल से भाग दीजिए।
- ख़बर में दर: अंक = नई − पुरानी; प्रतिशत परिवर्तन = (नई − पुरानी) ÷ पुरानी × 100। बताइए कि आपका अर्थ कौन-सा है।
क्योंकि शृंखला एक लंबा गुणा है, और 1.2 × 0.9 × 0.9 = 0.9 × 0.9 × 1.2। हर चरण आधार बदलता है, पर सभी गुणकों का गुणनफल वही रहता है।
हल किया हुआ, आधा हल, फिर ख़ुद
प्रश्न
एक पंखे की कीमत 20% बढ़ाई गई, और बाद में दुकान ने 25% छूट दी। अब पंखा ₹1,800 में बिकता है। दोनों बदलावों से पहले कीमत क्या थी?
हल
- शृंखला को एक गुणक बनाइए
1.2 × 0.75 = 0.9, यानी दोनों बदलाव मिलकर × 0.9 हैं।
- शृंखला को उलटा चलाइए
मूल कीमत = 1,800 ÷ 0.9 = 2,000।
- आगे की ओर, चरण-दर-चरण जाँचिए
2,000 × 1.2 = 2,400, फिर 2,400 × 0.75 = 1,800।
उत्तर: ₹2,000
ध्यान दें: प्रतिशत जोड़कर (20 − 25 = −5) 0.95 से भाग देने पर लगभग ₹1,895 आता है, जो गलत है: 25% छूट बढ़ी हुई कीमत पर थी।
अब एक आधा हल किया हुआ प्रश्न पूरा कीजिए।
₹50,000 का एक निवेश 10% बढ़ता है, फिर 20% घटता है, फिर 5% बढ़ता है। पहले दो चरणों के बाद यह 50,000 × 1.1 × 0.8 = ₹44,000 है। तीसरे चरण के बाद कितना होगा?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
44,000 × 1.05 = ₹46,200। एक कदम में: 1.1 × 0.8 × 1.05 = 0.924, और 50,000 × 0.924 = 46,200।
विकल्प B: ₹47,500 प्रतिशतों को जोड़ता है (10 − 20 + 5 = −5) और ₹50,000 में से 5% घटाता है।
विकल्प C: ₹52,500 में केवल आखिरी बदलाव लिया गया है (50,000 × 1.05 = 52,500)।
विकल्प D: ₹55,000 में केवल पहला बदलाव लिया गया है (50,000 × 1.1 = 55,000)।
संकेत: ₹44,000 को 5% बढ़ाइए।
और एक ख़ुद हल कीजिए।
दो बार कीमत घटने के बाद, पहले 10% और फिर 16%, एक टीवी ₹7,560 का है। घटने से पहले उसकी कीमत क्या थी?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
0.9 × 0.84 = 0.756, इसलिए पहले की कीमत = 7,560 ÷ 0.756 = ₹10,000। जाँच: 10,000 × 0.9 = 9,000, और 9,000 × 0.84 = 7,560।
विकल्प A: ₹9,525.60 में ₹7,560 पर 26% जोड़ा गया है (7,560 × 1.26)। कटौतियाँ पहले की, ऊँची कीमतों पर थीं।
विकल्प C: ₹5,715.36 में दोनों कटौतियाँ ₹7,560 पर फिर से लगा दी गई हैं, उलटी नहीं गईं।
विकल्प D: ₹2,440 तो कुल कटौती है (10,000 − 7,560 = 2,440), पुरानी कीमत नहीं।
संकेत: दोनों गुणकों के गुणनफल से भाग दीजिए।
जाल
- प्रतिशत जोड़ देना: +20, −10, −10 का जोड़ शून्य है, पर शृंखला 2.8% की कमी है।
- कोई चरण भूलना: शृंखला का हर बदलाव लेना है।
- क्रम को ज़रूरी मानना: क्रम से चरण बदलते हैं, अंत नहीं।
- अंकों को प्रतिशत कहना: 8% से 6% यानी 2 अंक, पर 25% की कमी।
- नई दर को बदलाव कहना: जो दर 12% की गई, वह 12% नहीं घटी।
एक ख़बर में लिखा है: "बेरोज़गारी 8% से घटकर 6% हुई, यानी 2% की गिरावट।" सटीक कथन कौन-सा है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
अंक: 6 − 8 = −2, यानी 2 अंक की कमी। प्रतिशत: 2 ÷ 8 × 100 = 25%। दर एक-चौथाई घटी।
विकल्प B: 2 तो प्रतिशत अंकों का अंतर है; पुरानी दर के प्रतिशत के रूप में यह 25% है।
विकल्प C: 25 प्रतिशत परिवर्तन है, अंकों की संख्या नहीं।
विकल्प D: 6% नई दर है, कमी नहीं।
संकेत: अंकों के अंतर को पुरानी दर से भाग दीजिए।
मिली-जुली जाँच
एक कार का मूल्य हर साल 10% घटता है। 3 साल में उसका मूल्य कुल कितना घटता है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.729, यानी कार का मूल्य पहले मूल्य का 72.9% रह जाता है: 27.1% की कमी।
विकल्प A: 30% की कमी तीनों सालाना कमियों को जोड़ती है; हर कमी घटे हुए मूल्य पर है।
विकल्प C: 10% की कमी में केवल एक साल गिना गया है।
विकल्प D: 27.1% की वृद्धि का आकार सही है पर दिशा गलत: मूल्य घटा है।
संकेत: 0.9 को तीन बार आपस में गुणा कीजिए।
पाठ 5 से:
A का वेतन B के वेतन से 16⅔% कम है। B का वेतन, A के वेतन से कितने प्रतिशत अधिक है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
16⅔% = 1/6, इसलिए B = 6 खाने; 16⅔% कम यानी 1 खाना हटा, तो A = 5 खाने। 1 खाने का अंतर A पर मापिए: 1 ÷ 5 × 100 = 20%।
विकल्प A: 16⅔% में अंतर B पर मापा गया है, पर "A के वेतन से अधिक" में आधार A है।
विकल्प C: 83⅓% तो 100% − 16⅔% है, यानी B के वेतन में A का हिस्सा।
विकल्प D: 120% तो A के प्रतिशत के रूप में B का वेतन है (6 ÷ 5 × 100), कितना अधिक, यह नहीं।
संकेत: B को 6 खाने बनाइए। A कितने खाने है?
सूत्र और नियम
लंबी शृंखलाएँ और ख़बरों की दरें
- कोई भी शृंखला
- हर गुणक को गुणा कीजिए, किसी भी क्रम में +20%, −10%, −10%: 1.2 × 0.9 × 0.9 = 0.972
- पूरी शृंखला एक बदलाव
- (गुणनफल − 1) × 100 0.972: 2.8% की कमी
- r% वृद्धि, फिर r% कमी
- r × r ÷ 100 प्रतिशत का नुकसान 10% वृद्धि, 10% कमी: 1% का नुकसान
- उलटी शृंखला
- अंतिम ÷ गुणकों का गुणनफल 1,800 ÷ 0.9 = 2,000
- ख़बर में दर
- अंक = नई − पुरानी; प्रतिशत = अंतर ÷ पुरानी × 100 8% से 6%: 2 अंक, 25%
यह क्यों काम करता है: हर बदलाव अपने से पहले वाले मान को गुणा करता है, इसलिए शृंखला एक गुणनफल है। अंक दो दरों का अंतर हैं; प्रतिशत उस अंतर को पुरानी दर से भाग देता है।
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