लगातार बदलाव गुणा होते हैं; प्रतिशत अंक प्रतिशत नहीं

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लगातार दो प्रतिशत बदलाव गुणा होते हैं: 10% बढ़कर फिर 10% घटना यानी × 1.1 × 0.9 = × 0.99, यानी 1% की कमी, शून्य नहीं। और जब कोई दर ख़ुद बदलती है, जैसे 40% से 50%, तो वह 10 प्रतिशत अंक बढ़ी, जो 25% की वृद्धि है।

पहले अनुमान लगाइए

पहले अनुमान: एक दुकान ₹2,000 की जैकेट की कीमत 10% बढ़ा देती है। एक हफ़्ते बाद वह नई कीमत पर "10% छूट" की घोषणा करती है। अब आप कितना चुकाएँगे?

A ₹2,000

B ₹1,980

C ₹1,800

D ₹2,200

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

बढ़ने के बाद कीमत 2,000 × 1.1 = 2,200 है। 10% छूट ₹2,200 पर है: 2,200 × 0.9 = ₹1,980। बढ़ोतरी और छूट कटती नहीं, क्योंकि छूट बड़ी कीमत का 10% है।

विकल्प A: ₹2,000 यह मान लेता है कि दोनों 10% बदलाव कट जाते हैं। छूट ₹2,200 का 10% है, यानी ₹220, जो जोड़े गए ₹200 से ज़्यादा है।

विकल्प C: ₹1,800 में पुरानी कीमत पर 10% छूट लगाई गई है और बढ़ोतरी भुला दी गई है।

विकल्प D: ₹2,200 केवल बढ़ोतरी के बाद की कीमत है; 10% छूट छूट गई।

संकेत: दोनों बदलाव एक के बाद एक कीजिए, हर बार उसी कीमत पर जहाँ से वह शुरू होता है।

अगर आपने ₹1,980 चुना, तो आपने इस पाठ का नियम ख़ुद खोज लिया है: हर बदलाव उसी मान का प्रतिशत होता है जो उससे ठीक पहले था।

रोज़ की एक तस्वीर

फ़ोटोकॉपी मशीन का ज़ूम लगातार प्रतिशत बदलावों की तरह काम करता है: हर ज़ूम कॉपी पर लगता है, असली पर नहीं।

पहले 110%, फिर 90% ज़ूम × 1.1 × 0.9 = × 0.99

कॉपी असली से 1% छोटी रह जाती है

पहले 50%, फिर 200% ज़ूम × 0.5 × 2 = × 1

फिर से असली आकार

दो बार 120% ज़ूम × 1.2 × 1.2 = × 1.44

44% बड़ी, 40% नहीं

ज़ूम के प्रतिशत गुणा होते हैं। लगातार प्रतिशत बदलाव भी ऐसे ही गुणा होते हैं।

देखिए: दो बदलावों की शृंखला

₹1,000 पहले 20% बढ़ता है, फिर 10% घटता है। हर बदलाव उससे ठीक पहले वाले मान पर लगता है।

चरण	पहले का मान	बदलाव	बाद का मान
शुरुआत			₹1,000
20% वृद्धि	₹1,000	× 1.2	1,000 × 1.2 = 1,200
10% कमी	₹1,200	× 0.9	1,200 × 0.9 = 1,080

flowchart TD
  A["शुरुआत ₹1,000"] -->|"20% वृद्धि: × 1.2"| B["₹1,200"]
  B -->|"10% कमी: × 0.9"| C["₹1,080"]
  A -.->|"एक ही कदम में: × 1.08"| C

तो कुल बदलाव 1,080 − 1,000 = 80 है, जो ₹1,000 का 8% है, 20% − 10% = 10% नहीं। एक कदम में: 1.2 × 0.9 = 1.08, यानी दोनों बदलाव मिलकर 8% की एक वृद्धि हैं।

दो बदलावों a% और b% के लिए यही उत्तर एक छोटे सूत्र से भी आता है: कुल % = a + b + a × b ÷ 100। यहाँ: 20 + (−10) + 20 × (−10) ÷ 100 = 20 − 10 − 2 = 8।

दरें अलग होती हैं। जब मान ख़ुद एक प्रतिशत हो, जैसे उत्तीर्ण होने की दर, तो 40% से 50% के बदलाव को दो तरह से कहा जा सकता है:

कैसे कहें	गणना	परिणाम
प्रतिशत अंक	50 − 40 = 10	10 अंक बढ़ी
प्रतिशत परिवर्तन	10 ÷ 40 × 100 = 25%	25% बढ़ी

कागज़ पर करके देखिए। ₹100 लीजिए। उसे 20% बढ़ाइए, फिर परिणाम को 20% घटाइए। फिर उलटे क्रम में कीजिए: पहले घटाइए, फिर बढ़ाइए। दोनों अंतिम रकमों की तुलना कीजिए।

नियम खोजिए

एक कीमत 20% बढ़ती है, और फिर 20% और बढ़ती है। कुल बदलाव कितना है?

A 40% की वृद्धि

B 44% की वृद्धि

C 4% की वृद्धि

D 20% की वृद्धि

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

× 1.2 × 1.2 = × 1.44, यानी कीमत शुरुआत की 144% है: 44% की वृद्धि। छोटा सूत्र: 20 + 20 + 20 × 20 ÷ 100 = 44।

विकल्प A: 40% में दोनों प्रतिशत जोड़ दिए गए हैं। दूसरी 20% वृद्धि बड़ी कीमत पर है, इसलिए वह पहली से ज़्यादा जोड़ती है।

विकल्प C: 4% केवल "प्रतिशत का प्रतिशत" वाला अतिरिक्त भाग है (20 × 20 ÷ 100 = 4); दोनों 20% वृद्धियाँ छूट गईं।

विकल्प D: 20% में दोनों में से केवल एक वृद्धि गिनी गई है।

संकेत: दोनों गुणकों को गुणा कीजिए।

एक वेतन पहले 30% बढ़ाया जाता है और बाद में 30% घटाया जाता है। कुल मिलाकर वेतन का क्या हुआ?

A कोई बदलाव नहीं

B 9% की कमी

C 9% की वृद्धि

D 30% की कमी

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

× 1.3 × 0.7 = × 0.91, यानी वेतन शुरुआत का 91% रह जाता है: 9% की कमी। छोटा सूत्र: 30 − 30 + 30 × (−30) ÷ 100 = −9।

विकल्प A: कटौती बढ़े हुए वेतन का 30% है, इसलिए वह बढ़ोतरी से ज़्यादा घटाती है। बराबर वृद्धि और कमी कभी नहीं कटतीं।

विकल्प C: 9% की वृद्धि का आकार सही है पर दिशा गलत: शुरुआत का 91% रह जाना कमी है।

विकल्प D: 30% की कमी में केवल कटौती गिनी गई है।

संकेत: 1.3 को 0.7 से गुणा कीजिए।

एक ज़िले की साक्षरता दर 60% से बढ़कर 75% हो गई। कौन-सा कथन सही है?

A यह 15% बढ़ी

B यह 15 प्रतिशत अंक बढ़ी, जो 25% की वृद्धि है

C यह 25 प्रतिशत अंक बढ़ी

D यह 75% बढ़ी

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

अंक: 75 − 60 = 15। प्रतिशत: 15 अंकों की बढ़ोतरी को पुरानी दर पर मापिए, 15 ÷ 60 × 100 = 25%।

विकल्प A: 15 तो प्रतिशत अंकों का अंतर है। पुरानी दर के प्रतिशत के रूप में यह 25% है।

विकल्प C: 25 प्रतिशत परिवर्तन है, अंकों की संख्या नहीं।

विकल्प D: 75% नई दर है, बदलाव नहीं।

संकेत: अंक निकालने के लिए दरें घटाइए। प्रतिशत के लिए अंतर को पुरानी दर से भाग दीजिए।

नियम का नाम

लगातार बदलाव: गुणकों को गुणा कीजिए। 20% वृद्धि फिर 10% कमी यानी × 1.2 × 0.9 = × 1.08।
दो बदलाव a% और b%: कुल % = a + b + a × b ÷ 100 (कमी को ऋणात्मक संख्या लीजिए)।
बराबर वृद्धि और कमी कभी नहीं कटतीं: r% वृद्धि के बाद r% कमी हमेशा शुरुआत से नीचे ले आती है।
बदलती दर: प्रतिशत अंक = नई दर − पुरानी दर; प्रतिशत परिवर्तन = (नई − पुरानी) ÷ पुरानी × 100।

दोनों प्रतिशत सीधे क्यों नहीं जोड़ सकते?

क्योंकि हर प्रतिशत एक अलग मान का है। पहला बदलाव शुरुआती मान का प्रतिशत है; दूसरा, पहले बदलाव के बाद वाले मान का। अतिरिक्त a × b ÷ 100 वही हिस्सा है जो दूसरा बदलाव पहले बदलाव पर करता है।

हल किया हुआ, आधा हल, फिर ख़ुद

प्रश्न

₹60,000 के एक स्कूटर का मूल्य हर साल 15% घटता है। 2 साल बाद उसका मूल्य क्या होगा?

हल

सालाना कमी को गुणक में बदलिए
15% कमी के बाद 85% बचता है, इसलिए हर साल × 0.85।
पहला साल
60,000 × 0.85 = 51,000।
दूसरा साल: कमी ₹51,000 का 15% है, ₹60,000 का नहीं
51,000 × 0.85 = 43,350।
छोटे सूत्र से जाँचिए
−15 − 15 + 15 × 15 ÷ 100 = −27.75, और 60,000 का 72.25% = 43,350।

उत्तर: ₹43,350

ध्यान दें: ₹60,000 में से 30% घटाने पर ₹42,000 आता है। यह दोनों सालों की कमी को ऐसे जोड़ना है मानो दोनों पहली कीमत की हों।

अब एक आधा हल किया हुआ प्रश्न पूरा कीजिए।

₹8,000 की एक कीमत 25% बढ़ती है और फिर 20% घटती है। बढ़ने के बाद यह 8,000 × 1.25 = ₹10,000 है। घटने के बाद कितनी होगी?

A ₹8,000

B ₹8,400

C ₹6,400

D ₹10,000

उत्तर देखें

सही उत्तर: A

कमी ₹10,000 का 20% है: 10,000 × 0.8 = ₹8,000। कीमत फिर वहीं आ गई जहाँ से चली थी, क्योंकि 1.25 × 0.8 = 1।

विकल्प B: ₹8,400 में प्रतिशत जोड़ दिए गए हैं (25 − 20 = 5) और ₹8,000 को 5% बढ़ाया गया है। 20% कमी ₹10,000 की है, ₹8,000 की नहीं।

विकल्प C: ₹6,400 में पुरानी ₹8,000 पर 20% कमी लगाई गई है और बढ़ोतरी भुला दी गई है।

विकल्प D: ₹10,000 केवल बढ़ोतरी के बाद की कीमत है; कमी छूट गई।

संकेत: ₹10,000 में से 20% घटाइए।

और एक ख़ुद हल कीजिए।

बिकने वाले नए दोपहिया वाहनों में इलेक्ट्रिक स्कूटरों का हिस्सा 4% से बढ़कर 5% हो जाता है। यह हिस्सा कितने प्रतिशत बढ़ा?

A 1%

B 25%

C 5%

D 20%

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

हिस्सा 5 − 4 = 1 प्रतिशत अंक बढ़ा। पुराने हिस्से के प्रतिशत के रूप में: 1 ÷ 4 × 100 = 25%।

विकल्प A: 1% तो प्रतिशत अंकों में बढ़ोतरी है, प्रतिशत में नहीं।

विकल्प C: 5% नया हिस्सा है, बढ़ोतरी नहीं।

विकल्प D: 20% में बढ़ोतरी को नए हिस्से से भाग दिया गया है (1 ÷ 5 × 100)। पुराने हिस्से, 4%, पर मापिए।

संकेत: अंकों के अंतर को पुराने हिस्से से भाग दीजिए।

जाल

ये पाँच गलतियाँ अंक कटवाती हैं

प्रतिशत जोड़ देना: दो बार 20% वृद्धि 44% की वृद्धि है, 40% नहीं।
कटने का भ्रम: r% वृद्धि और r% कमी हमेशा शुरुआत से नीचे ले आती हैं।
कोई चरण भूलना: हर बदलाव क्रम से लगाइए, हर बार उससे पहले वाले मान पर।
अंकों को प्रतिशत कहना: 4% से 5% यानी 1 अंक, पर 25% की वृद्धि।
नई दर को बदलाव मानना: जो दर 9% पर पहुँची, वह 9% नहीं बढ़ी।

एक ख़बर में लिखा है: "पेट्रोल मार्च में 10% और अप्रैल में फिर 10% महँगा हुआ, इसलिए अब यह फ़रवरी से 20% महँगा है।" इसमें क्या गलत है?

A यह 21% महँगा है, क्योंकि अप्रैल का 10% मार्च की कीमत पर था

B यह केवल 19% महँगा है

C कुछ गलत नहीं: 20% सही है

D यह केवल 1% महँगा है

उत्तर देखें

सही उत्तर: A

× 1.1 × 1.1 = × 1.21, यानी पेट्रोल 21% महँगा है। छोटा सूत्र: 10 + 10 + 10 × 10 ÷ 100 = 21।

विकल्प B: 19% में अतिरिक्त भाग घटा दिया गया है (10 + 10 − 1)। दो वृद्धियाँ कीमत को और बड़ा करती हैं, छोटा नहीं।

विकल्प C: प्रतिशत जोड़ने से यह छूट जाता है कि अप्रैल की वृद्धि बढ़ी हुई कीमत पर थी।

विकल्प D: 1% केवल अतिरिक्त भाग है (10 × 10 ÷ 100 = 1), पूरा बदलाव नहीं।

संकेत: 1.1 को 1.1 से गुणा कीजिए।

मिली-जुली जाँच

एक शेयर की कीमत 10% बढ़ती है, फिर 20% बढ़ती है, फिर 25% घटती है। कुल बदलाव कितना है?

A 5% की वृद्धि

B 1% की कमी

C 1% की वृद्धि

D 25% की कमी

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

× 1.1 × 1.2 × 0.75 = × 0.99, यानी कीमत शुरुआत की 99% रह जाती है: 1% की कमी।

विकल्प A: 5% में तीनों प्रतिशत जोड़ दिए गए हैं (10 + 20 − 25 = 5)। हर बदलाव अलग मान पर है।

विकल्प C: 1% की वृद्धि का आकार सही है पर दिशा गलत: शुरुआत का 99% रह जाना कमी है।

विकल्प D: 25% की कमी में केवल आखिरी बदलाव लिया गया है।

संकेत: तीनों गुणकों को गुणा कीजिए: 1.1, 1.2 और 0.75।

पाठ 2 से:

15% घटने के बाद एक शेयर ₹6,630 का है। घटने से पहले उसकी कीमत क्या थी?

A ₹7,624.50

B ₹7,800

C ₹5,635.50

D ₹1,170

उत्तर देखें

सही उत्तर: B

15% कमी के बाद कीमत पुरानी की 85% है: पुरानी = 6,630 ÷ 0.85 = ₹7,800। जाँच: 7,800 का 15% = 1,170, और 7,800 − 1,170 = 6,630।

विकल्प A: ₹7,624.50 में ₹6,630 का 15% जोड़ा गया है। 15% पुरानी कीमत का था, जो ₹6,630 से बड़ी है।

विकल्प C: ₹5,635.50 में फिर से 15% घटा दिया गया है, कमी उलटी नहीं गई।

विकल्प D: ₹1,170 तो ख़ुद कमी है, पुरानी कीमत नहीं।

संकेत: "× 0.85" को उलटने के लिए 0.85 से भाग दीजिए।

सूत्र और नियम

लगातार बदलाव और प्रतिशत अंक

लगातार बदलाव: गुणकों को गुणा कीजिए 20% वृद्धि, 10% कमी: × 1.2 × 0.9 = × 1.08
दो बदलाव a%, b%: a + b + a × b ÷ 100 20, −10: 20 − 10 − 2 = 8
r% वृद्धि फिर r% कमी: हमेशा शुरुआत से नीचे 30% वृद्धि, 30% कमी: × 0.91
अंक: नई दर − पुरानी दर 4% से 5%: 1 अंक
दर का प्रतिशत परिवर्तन: (नई − पुरानी) ÷ पुरानी × 100 4% से 5%: 25%

यह क्यों काम करता है: हर बदलाव उससे ठीक पहले वाले मान का प्रतिशत है, इसलिए गुणक गुणा होते हैं। अंक केवल घटाए जाते हैं; प्रतिशत परिवर्तन पुरानी दर से भाग देता है।

इस पाठ का अभ्यास करें5 प्रश्न · 5 अंक · प्रति प्रश्न +1 · हर उत्तर की व्याख्या

अभ्यास शुरू करें: पाठ 3 का अभ्यास: लगातार बदलाव और प्रतिशत अंक

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ParikshaPDF संपादकीय टीम · अपडेट: 20 अक्टूबर 2026 ·