पहले और बाद की पट्टियाँ: बदलाव को भिन्न में देखिए
पुराने मान और नए मान को बराबर खानों से बनी दो पट्टियों की तरह बनाइए। 25% की वृद्धि 4 खानों को 5 बना देती है; 20% की कमी 5 खानों को 4 बना देती है। दोनों पट्टियाँ सामने हों, तो आगे जाना, वापस आना और तुलना करना, सब एक नज़र में हो जाता है।
पहले अनुमान लगाइए
पहले अनुमान: 40% बढ़ने के बाद एक मासिक इंटरनेट प्लान ₹1,400 का है। बढ़ने से पहले उसकी कीमत क्या थी?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
40% = 2/5, इसलिए पुरानी कीमत 5 खाने और नई कीमत 7 खाने है। 7 खाने = 1,400, इसलिए 1 खाना = 1,400 ÷ 7 = 200, और पुरानी कीमत = 5 × 200 = ₹1,000।
विकल्प A: ₹840 में ₹1,400 का 40% घटाया गया है। पर 40% तो पुरानी कीमत के 2 खाने था, जो नई कीमत के 7 में से 2 खाने हैं।
विकल्प C: ₹1,960 में ₹1,400 को फिर से 40% बढ़ा दिया गया है, वापस नहीं जाया गया।
विकल्प D: ₹400 तो बढ़ोतरी के 2 खाने हैं, पुरानी कीमत नहीं।
संकेत: अगर पुरानी कीमत 5 खाने है, तो नई कीमत कितने खाने है?
अगर आपने खानों से ₹1,000 निकाला, तो आपके पास इस पाठ का तरीका है: पहले के लिए एक पट्टी, बाद के लिए एक पट्टी, और एक खाने का मान।
रोज़ की एक तस्वीर
पहले-बाद की पट्टियाँ ट्रेन के डिब्बों जैसी हैं: सभी डिब्बे बराबर आकार के हैं।
4 डिब्बों की पुरानी ट्रेन 100%
हर डिब्बा पुरानी ट्रेन का 25% है
1 डिब्बा जोड़ा 25% की वृद्धि
नई ट्रेन में 5 डिब्बे हैं
वही 1 डिब्बा फिर हटाया 20% की कमी
नई ट्रेन के 5 में से 1 डिब्बा
जो डिब्बा जोड़ा गया, वही डिब्बा हटाया जाता है। वह छोटी ट्रेन का 25% है, पर लंबी ट्रेन का केवल 20%।
देखिए: पहले और बाद
25% की वृद्धि। पहले (4 खाने):
बाद में (5 खाने):
वृद्धि 4 खानों पर 1 खाना है: 1 ÷ 4 × 100 = 25%। वापस आते समय वही 1 खाना 5 खानों में से हटता है: 1 ÷ 5 × 100 = 20%।
| बदलाव | खाने, पहले → बाद | वापस आना |
|---|---|---|
| 25% वृद्धि (1/4) | 4 → 5 | 5 में 1 कम = 20% |
| 20% वृद्धि (1/5) | 5 → 6 | 6 में 1 कम = 16⅔% |
| 50% वृद्धि (1/2) | 2 → 3 | 3 में 1 कम = 33⅓% |
| 20% कमी (1/5) | 5 → 4 | 4 पर 1 अधिक = 25% |
| 25% कमी (1/4) | 4 → 3 | 3 पर 1 अधिक = 33⅓% |
flowchart TD A["पुराना: 4 खाने"] -->|"1 खाना जोड़ा: 1 ÷ 4 = 25% वृद्धि"| B["नया: 5 खाने"] B -->|"1 खाना हटाया: 1 ÷ 5 = 20% कमी"| C["फिर से पुराना: 4 खाने"]
करके देखिए। 20% की कमी को पट्टियों में बनाइए (5 खाने, फिर 4)। ₹750 की शुरुआती कीमत के लिए एक खाने का मान लिखिए, फिर नई कीमत निकालिए।
नियम खोजिए
₹840 का बिजली बिल 25% बढ़ जाता है। खानों से: पुराना बिल ₹210 के 4 खाने है। नया बिल कितना है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
नया बिल 5 खाने है: 5 × 210 = ₹1,050। जाँच: 840 × 1.25 = 1,050।
विकल्प B: ₹210 तो एक खाना, यानी ख़ुद बढ़ोतरी है, नया बिल नहीं।
विकल्प C: ₹630 में एक खाना हटा दिया गया है (3 × 210 = 630)। बिल बढ़ा है।
विकल्प D: ₹105 दस गुना छोटा है: दशमलव एक स्थान खिसक गया।
संकेत: 25% की वृद्धि 4 खानों में एक खाना जोड़ती है।
35% छूट के बाद एक सोफ़ा ₹2,600 का है। उसका अंकित मूल्य क्या था?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
35% = 7/20, इसलिए अंकित मूल्य 20 खाने और विक्रय मूल्य 20 − 7 = 13 खाने है। 13 खाने = 2,600, इसलिए 1 खाना = 2,600 ÷ 13 = 200, और 20 खाने = 20 × 200 = ₹4,000।
विकल्प B: ₹3,510 में ₹2,600 का 35% वापस जोड़ा गया है। 35% तो अंकित मूल्य का था, जो इससे बड़ा है।
विकल्प C: ₹1,690 में फिर से 35% घटा दिया गया है, छूट उलटी नहीं गई।
विकल्प D: ₹1,400 तो छूट (7 खाने) है, अंकित मूल्य नहीं।
संकेत: 35% यानी 20 में से 7 खाने। छूट के बाद कितने खाने बचते हैं?
एक कीमत 50% बढ़ती है। पुरानी कीमत पर लौटने के लिए नई कीमत को कितने प्रतिशत घटना होगा?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
50% = 1/2: पुरानी कीमत 2 खाने और नई कीमत 3 खाने। वापस आने में 3 में से 1 खाना हटता है: 1 ÷ 3 × 100 = 33⅓%।
विकल्प B: 50% की कमी 3 खानों का आधा हटाती है, जिससे 1.5 खाने बचते हैं, जो पुराने 2 खानों से कम है।
विकल्प C: 66⅔% तो नई कीमत के हिस्से के रूप में पुरानी कीमत है (2 ÷ 3 × 100), कमी नहीं।
विकल्प D: 100% की कमी से कीमत शून्य हो जाएगी। इसमें कमी को उलटने वाला नियम, 50 ÷ (100 − 50), लगा दिया गया है; वृद्धि के बाद नई कीमत के 3 खानों से भाग दीजिए।
संकेत: पुराने 2 खाने, नए 3 खाने। कितने में से कितने खाने हटते हैं?
नियम का नाम
- बदलाव के लिए खाने: r% को भिन्न a/b में लिखिए। पुराना मान b खाने है; नया मान b + a खाने (वृद्धि) या b − a खाने (कमी)।
- एक खाना = कोई भी ज्ञात मान ÷ उसके खानों की संख्या।
- प्रतिशत परिवर्तन = बदले खाने ÷ पहले के खाने × 100।
- वापस आना = वही खाने ÷ बाद के खाने × 100।
क्योंकि ज्ञात अंतिम मान भी कुछ खानों के बराबर है। उसे उसके खानों से भाग देकर एक खाना निकालिए, फिर जितने खाने चाहिए उतने गिनिए। कोई सूत्र याद नहीं रखना पड़ता।
हल किया हुआ, आधा हल, फिर ख़ुद
प्रश्न
37.5% छूट के बाद एक जैकेट ₹1,750 की है। उसका अंकित मूल्य क्या था?
हल
- छूट को खानों में बदलिए
37.5% = 3/8, इसलिए अंकित मूल्य 8 खाने और विक्रय मूल्य 8 − 3 = 5 खाने है।
- एक खाना निकालिए
5 खाने = 1,750, इसलिए 1 खाना = 1,750 ÷ 5 = 350।
- जितने खाने चाहिए उतने गिनिए
अंकित मूल्य 8 खाने है: 8 × 350 = 2,800।
- आगे की ओर जाँचिए
2,800 का 37.5% = 1,050, और 2,800 − 1,050 = 1,750।
उत्तर: ₹2,800
ध्यान दें: ₹1,750 में उसका 37.5% जोड़ने पर ₹2,406.25 आता है, जो गलत है: छूट अंकित मूल्य के 3 खाने थी, विक्रय मूल्य के नहीं।
अब एक आधा हल किया हुआ प्रश्न पूरा कीजिए।
₹600 की एक कीमत 20% बढ़ती है और फिर 25% घटती है। ₹120 के खानों से, पुरानी कीमत 5 खाने है और बढ़ने के बाद 6 खाने, यानी ₹720। कमी इन 6 खानों का चौथाई है। अंतिम कीमत क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
6 खानों का चौथाई 1.5 खाने है, इसलिए 6 − 1.5 = 4.5 खाने बचते हैं: 4.5 × 120 = ₹540। जाँच: 600 × 1.2 × 0.75 = 540।
विकल्प B: ₹570 प्रतिशतों को जोड़ता है (20 − 25 = −5) और ₹600 में से 5% घटाता है।
विकल्प C: ₹450 में पुरानी ₹600 पर 25% कमी लगाई गई है और बढ़ोतरी भुला दी गई है।
विकल्प D: ₹720 केवल बढ़ोतरी के बाद की कीमत है; कमी छूट गई।
संकेत: 6 खानों का चौथाई कितना है?
और एक ख़ुद हल कीजिए।
5% बढ़ने के बाद एक स्कूल की फ़ीस ₹1,449 है। बढ़ने से पहले फ़ीस कितनी थी?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
5% = 1/20, इसलिए पुरानी फ़ीस 20 खाने और नई फ़ीस 21 खाने है। 1 खाना = 1,449 ÷ 21 = 69, और 20 खाने = 20 × 69 = ₹1,380।
विकल्प B: ₹1,376.55 में ₹1,449 का 5% घटाया गया है। 5% तो पुरानी फ़ीस का था, जो इससे छोटी है।
विकल्प C: ₹1,521.45 में ₹1,449 को फिर से 5% बढ़ा दिया गया है, वापस नहीं जाया गया।
विकल्प D: ₹69 तो एक खाना, यानी ख़ुद बढ़ोतरी है, पुरानी फ़ीस नहीं।
संकेत: 5% यानी 20 में 1 खाना। नई फ़ीस कितने खाने है?
जाल
- गलत पट्टी पर मापना: बदलाव पहले वाली पट्टी पर मापा जाता है; वापस आना बाद वाली पट्टी पर।
- नए मान का प्रतिशत लेना: वृद्धि उलटने के लिए खाने गिनिए; नए मान में से r% मत घटाइए।
- अलग-अलग आकार के खाने: दोनों पट्टियों का हर खाना बराबर मान का होना चाहिए।
- उसी प्रतिशत से वापस आना: 4 में 1 की वृद्धि, 5 में 1 की कमी है।
- मान की जगह बदलाव: एक खाना बदलाव है, कीमत नहीं।
नेहा ने 25% छूट को ऐसे बनाया: पहले 4 खाने, बाद में 3 खाने। फिर उसने कहा कि वापस आने के लिए कीमत को 25% बढ़ना होगा। सही क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
वापस आने के लिए 3 खानों में 1 खाना जोड़ना है: 1 ÷ 3 × 100 = 33⅓%। 3 खानों पर 25% की वृद्धि केवल 0.75 खाना जोड़ती है।
विकल्प B: 25% में खाना पुराने 4 खानों पर मापा गया है; वापस आना 3 खानों से शुरू होता है।
विकल्प C: 75% तो छूट के बाद बचा हिस्सा है, ज़रूरी वृद्धि नहीं।
विकल्प D: 133⅓% तो नई कीमत के प्रतिशत के रूप में पुरानी कीमत है (4 ÷ 3 × 100), वृद्धि नहीं।
संकेत: वापस आने में कितने खानों पर 1 खाना जुड़ता है?
मिली-जुली जाँच
मूल्य 60% बढ़ने के बाद एक पेंटिंग ₹12,800 की है। पहले उसका मूल्य क्या था?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
60% = 3/5: पुराना मूल्य 5 खाने और नया 8 खाने। 1 खाना = 12,800 ÷ 8 = 1,600, इसलिए पुराना मूल्य = 5 × 1,600 = ₹8,000।
विकल्प B: ₹5,120 में ₹12,800 का 60% घटाया गया है; 60% तो पुराने मूल्य का था।
विकल्प C: ₹20,480 में ₹12,800 को फिर से 60% बढ़ा दिया गया है, वापस नहीं जाया गया।
विकल्प D: ₹4,800 तो बढ़ोतरी (3 खाने) है, पुराना मूल्य नहीं।
संकेत: नया मूल्य 8 खाने है।
पाठ 7 से:
84 में से 63 कितने प्रतिशत है? पहले भिन्न को सरल कीजिए।
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
63/84 = 3/4 (दोनों को 21 से भाग देकर), और 3/4 = 75%।
विकल्प B: 25% तो वह भाग है जो 63 नहीं है, यानी बाकी चौथाई।
विकल्प C: 133⅓% में 84 को 63 से भाग दिया गया है; पूरी संख्या 84 है, इसलिए 84 से भाग दीजिए।
विकल्प D: 7.5% दस गुना छोटा है: दशमलव एक स्थान खिसक गया।
संकेत: 63 और 84 को 21 से भाग दीजिए।
सूत्र और नियम
पहले-बाद की पट्टियाँ
- r% खानों में
- r% = a/b: पहले b खाने, बाद में b ± a 25% वृद्धि: 4 → 5 खाने
- एक खाना
- ज्ञात मान ÷ उसके खाने 7 खाने = 1,400, तो 1 खाना = 200
- प्रतिशत परिवर्तन
- बदले खाने ÷ पहले के खाने × 100 1 ÷ 4 × 100 = 25%
- वापस आना
- बदले खाने ÷ बाद के खाने × 100 1 ÷ 5 × 100 = 20%
- छूट उलटना
- विक्रय मान ÷ उसके खाने × सारे खाने 37.5% छूट: 1,750 ÷ 5 × 8 = 2,800
यह क्यों काम करता है: हर मान बराबर खानों की गिनती है, इसलिए एक खाने का मान किसी भी पट्टी को रुपयों में बदल देता है, आगे भी और पीछे भी।
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