बढ़ना, घटना और वापस आना: बदलाव पुराने मान पर मापा जाता है
प्रतिशत परिवर्तन हमेशा पुराने मान पर मापा जाता है। "20% बढ़ा" को "× 1.2" और "20% घटा" को "× 0.8" में बदल दीजिए: फिर आगे जाना एक गुणा है, और वापस आना एक भाग।
पहले अनुमान लगाइए
पहले अनुमान: 20% छूट के बाद आपने जूतों के लिए ₹960 चुकाए। आपका दोस्त ₹960 में ₹960 का 20% जोड़कर कहता है कि टैग पर ₹1,152 लिखा था। टैग पर कितना लिखा था?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
20% की छूट टैग की कीमत पर थी, ₹960 पर नहीं। यानी आपने टैग की कीमत का 80% चुकाया: टैग का 80% = ₹960, 1% = 960 ÷ 80 = 12, और टैग = 12 × 100 = ₹1,200। जाँच: 1,200 का 20% = 240, और 1,200 − 240 = 960।
विकल्प A: ₹1,152 में ₹960 का 20% जोड़ा गया है। पर छूट टैग की कीमत का 20% थी, जो ₹960 से बड़ी है, इसलिए दोस्त कम जोड़ रहा है।
विकल्प C: ₹768 में ₹960 पर फिर से 20% छूट लगा दी गई है। यह छूट को उलटने की जगह दोबारा लगाना है।
विकल्प D: ₹240 तो ख़ुद छूट है (1,200 − 960 = 240), टैग की कीमत नहीं।
संकेत: 20% किस कीमत से घटा था: टैग की कीमत से या ₹960 से?
अगर आपने ₹1,200 चुना, तो आप इस पाठ का मुख्य विचार पहले से जानते हैं: प्रतिशत परिवर्तन उसी मान का होता है जहाँ से बदलाव शुरू हुआ।
रोज़ की एक तस्वीर
₹100 की बढ़ोतरी का तब तक कोई ख़ास मतलब नहीं, जब तक पुराना बिल पता न हो। पुराना मान वह पैमाना है जिससे बदलाव मापा जाता है।
₹200 के बिल पर ₹100 ज़्यादा 50% की वृद्धि
पुराने ₹200 पर मापी गई
₹1,000 के बिल पर ₹100 ज़्यादा 10% की वृद्धि
पुराने ₹1,000 पर मापी गई
₹500 के बिल पर ₹100 कम 20% की कमी
पुराने ₹500 पर मापी गई
वही ₹100 छोटे बिल के लिए बड़ा बदलाव है और बड़े बिल के लिए छोटा। इसीलिए हर प्रतिशत परिवर्तन को पुराने मान से भाग दिया जाता है।
देखिए: आगे एक गुणा, वापस एक भाग
₹500 से शुरू कीजिए। 20% की वृद्धि 20 सौवें हिस्से जोड़ती है: 100% + 20% = 120%, यानी नई कीमत पुरानी की 120% है। 20% की कमी के बाद 100% − 20% = 80% बचता है।
| ₹500 पर बदलाव | गुणक | नया मान |
|---|---|---|
| 20% वृद्धि | × 1.2 | 500 × 1.2 = 600 |
| 5% वृद्धि | × 1.05 | 500 × 1.05 = 525 |
| 20% कमी | × 0.8 | 500 × 0.8 = 400 |
| 35% कमी | × 0.65 | 500 × 0.65 = 325 |
flowchart TD A["पुरानी कीमत ₹500"] -->|"20% वृद्धि: × 1.2"| B["नई कीमत ₹600"] B -->|"वापस: ÷ 1.2"| C["फिर से पुरानी कीमत ₹500"] A -->|"20% कमी: × 0.8"| D["सेल की कीमत ₹400"]
शब्दों में: ₹500 × 1.2 = ₹600, और वापस आने के लिए भाग दीजिए: 600 ÷ 1.2 = 500। ₹600 में से 20% घटाने पर ₹480 मिलेगा, ₹500 नहीं, क्योंकि ₹600 का 20% ₹500 के 20% से बड़ा है।
कागज़ पर करके देखिए। कोई जानी-पहचानी कीमत लीजिए, जैसे ₹40 की कॉपी। 10% वृद्धि (× 1.1) और 10% कमी (× 0.9) के बाद उसकी कीमत निकालिए। फिर हर बार उसी गुणक से भाग देकर बदलाव को उलटिए।
नियम खोजिए
₹650 का एक क्रिकेट बैट अगले सीज़न में 20% महँगा हो जाता है। नई कीमत क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
20% वृद्धि यानी × 1.2: 650 × 1.2 = ₹780। या: 650 का 20% = 130, और 650 + 130 = 780।
विकल्प B: ₹130 केवल बढ़ोतरी है, नई कीमत नहीं।
विकल्प C: ₹520 में 20% घटा दिया गया है। कीमत बढ़ी है, घटी नहीं।
विकल्प D: ₹78 दस गुना छोटा है: दशमलव एक स्थान खिसक गया।
संकेत: नई कीमत पुरानी कीमत का 120% है।
एक चाय की दुकान की रोज़ की बिक्री ₹300 से बढ़कर ₹375 हो जाती है। प्रतिशत वृद्धि कितनी है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
बढ़ोतरी 375 − 300 = 75 है, और यह पुराने मान पर मापी जाती है: 75 ÷ 300 × 100 = 25%।
विकल्प A: 20% में बढ़ोतरी को नए मान से भाग दिया गया है: 75 ÷ 375 × 100 = 20%। बदलाव पुराने मान पर मापा जाता है।
विकल्प C: 75 तो रुपयों में बढ़ोतरी है, प्रतिशत नहीं।
विकल्प D: 125% नया ÷ पुराना है (375 ÷ 300 × 100 = 125%)। इसका अर्थ है कि नई बिक्री पुरानी की 125% है; वृद्धि 25% है।
संकेत: बढ़ोतरी को पुरानी बिक्री से भाग दीजिए।
10% बढ़ने के बाद एक अख़बार की सालाना सदस्यता ₹836 की है। बढ़ने से पहले उसकी कीमत क्या थी?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
नया = पुराना × 1.1, इसलिए पुराना = 836 ÷ 1.1 = ₹760। जाँच: 760 का 10% = 76, और 760 + 76 = 836।
विकल्प A: ₹752.40 में ₹836 का 10% घटाया गया है। पर 10% पुरानी कीमत का था, जो ₹836 से छोटी है।
विकल्प C: ₹919.60 में ₹836 को फिर से 10% बढ़ा दिया गया है, बढ़ोतरी को उलटा नहीं गया।
विकल्प D: ₹76 तो ख़ुद बढ़ोतरी है, पुरानी कीमत नहीं।
संकेत: "× 1.1" को उलटने के लिए 1.1 से भाग दीजिए।
नियम का नाम
- r% वृद्धि: (100 + r) ÷ 100 से गुणा कीजिए। 20% वृद्धि यानी × 1.2।
- r% कमी: (100 − r) ÷ 100 से गुणा कीजिए। 18% कमी यानी × 0.82।
- प्रतिशत परिवर्तन: (नया − पुराना) ÷ पुराना × 100। आधार हमेशा पुराना मान होता है।
- वापस जाना: नए मान को उसी गुणक से भाग दीजिए।
नया मान = पुराना मान × गुणक। किसी गुणा को उलटने के लिए उसी संख्या से भाग दिया जाता है। नए मान में से r% घटाना गलत आधार लेना है, क्योंकि वह r% पुराने मान का था।
हल किया हुआ, आधा हल, फिर ख़ुद
प्रश्न
18% छूट के बाद एक फ़ोन ₹10,250 में बिकता है। उसका अंकित मूल्य क्या था?
हल
- छूट को गुणक में बदलिए
18% कमी के बाद 100% − 18% = 82% बचता है, यानी विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 82% है।
- अंकित मूल्य का 1% निकालिए
1% = 10,250 ÷ 82 = 125।
- 100% बनाइए
100% = 125 × 100 = 12,500।
- आगे की ओर जाँचिए
12,500 का 18% = 2,250, और 12,500 − 2,250 = 10,250।
उत्तर: ₹12,500
ध्यान दें: ₹10,250 में उसका 18% जोड़ने पर ₹12,095 आता है, जो गलत है: 18% अंकित मूल्य का था, विक्रय मूल्य का नहीं।
अब एक आधा हल किया हुआ प्रश्न पूरा कीजिए।
एक कस्बे में रोज़ 48,000 लीटर पानी ख़र्च होता था। एक अभियान के बाद ख़र्च 12.5% घट गया। गुणक है 100% − 12.5% = 87.5% = 7/8। अब रोज़ कितना पानी ख़र्च होता है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
48,000 × 7/8 = 42,000 लीटर। जाँच: 48,000 का 12.5% = 6,000, और 48,000 − 6,000 = 42,000।
विकल्प A: 6,000 लीटर तो बचत है, नया ख़र्च नहीं।
विकल्प B: 54,000 लीटर में ख़र्च 12.5% बढ़ा दिया गया है। ख़र्च घटा है, इसलिए गुणक 1 से छोटा होगा।
विकल्प D: 4,200 लीटर दस गुना छोटा है: दशमलव एक स्थान खिसक गया।
संकेत: 48,000 को 7/8 से गुणा कीजिए।
और एक ख़ुद हल कीजिए।
एक विद्यार्थी के मॉक टेस्ट के अंक 160 से घटकर 120 रह गए। अंक कितने प्रतिशत घटे?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
कमी 160 − 120 = 40 है, और यह पुराने अंकों पर मापी जाती है: 40 ÷ 160 × 100 = 25%। यानी 25% की कमी।
विकल्प B: 33⅓% में कमी को नए अंकों से भाग दिया गया है (40 ÷ 120 × 100 = 33⅓%)। पुराने अंक, 160, पर मापिए।
विकल्प C: 40 तो अंकों में कमी है, प्रतिशत नहीं।
विकल्प D: 25% की वृद्धि का आकार सही है पर दिशा गलत: अंक घटे हैं।
संकेत: कमी को घटने से पहले वाले अंकों से भाग दीजिए।
जाल
- नए मान का प्रतिशत: 20% छूट को उलटने के लिए विक्रय मूल्य का 20% मत जोड़िए। 0.8 से भाग दीजिए।
- नए मान पर बदलाव मापना: प्रतिशत परिवर्तन का आधार पुराना मान होता है।
- अंतर को प्रतिशत मानना: ₹75 की बढ़ोतरी 75% की बढ़ोतरी नहीं है।
- नया ÷ पुराना को बदलाव मानना: 125% का अर्थ है "नया, पुराने का 125% है"; वृद्धि 25% है।
- उलटी दिशा: छूट या कमी का गुणक 1 से छोटा होता है।
प्रश्न था "25% बढ़ने के बाद छात्रावास की फ़ीस ₹9,500 है। पहले कितनी थी?" इमरान ने लिखा: 9,500 का 25% = 2,375, तो 9,500 − 2,375 = ₹7,125। गलती कहाँ है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
फ़ीस पुरानी फ़ीस के 25% से बढ़ी थी, इसलिए नया = पुराना × 1.25 और पुराना = 9,500 ÷ 1.25 = ₹7,600। जाँच: 7,600 का 25% = 1,900, और 7,600 + 1,900 = 9,500।
विकल्प A: जोड़ने पर संख्या और बड़ी होगी, पर पुरानी फ़ीस ₹9,500 से कम होनी चाहिए।
विकल्प C: 9,500 ÷ 25 = 380 न तो पुरानी फ़ीस है, न उसका 1%।
विकल्प D: जाँचिए: 7,125 का 25% = 1,781.25, और 7,125 + 1,781.25 = 8,906.25, जो 9,500 नहीं है।
संकेत: 25% पुरानी फ़ीस का हिस्सा था या नई फ़ीस का?
मिली-जुली जाँच
एक स्कूल की सालाना फ़ीस ₹18,000 है, जो 7.5% बढ़ जाती है। नई फ़ीस क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
7.5% वृद्धि यानी × 1.075: 18,000 × 1.075 = ₹19,350। या: 18,000 का 7.5% = 1,350, और 18,000 + 1,350 = 19,350।
विकल्प A: ₹1,350 केवल बढ़ोतरी है, नई फ़ीस नहीं।
विकल्प B: ₹16,650 में 7.5% घटा दिया गया है। फ़ीस बढ़ी है।
विकल्प D: ₹1,935 दस गुना छोटा है: दशमलव एक स्थान खिसक गया।
संकेत: नई फ़ीस पुरानी फ़ीस का 107.5% है।
पाठ 1 से:
एक कक्षा के 48 विद्यार्थी विशेष योग्यता के साथ उत्तीर्ण हुए। यह कक्षा का 16% है। कक्षा में कितने विद्यार्थी हैं?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
16% = 48 विद्यार्थी, इसलिए 1% = 48 ÷ 16 = 3, और 100% = 3 × 100 = 300 विद्यार्थी।
विकल्प A: 3 विद्यार्थी तो कक्षा का केवल 1% हैं।
विकल्प B: 30 दस गुना छोटा है: दशमलव एक स्थान खिसक गया।
विकल्प D: 768 में 48 को 16 से गुणा किया गया है। 1% तक पहुँचने के लिए प्रतिशत से भाग दीजिए।
संकेत: 48 वह भाग है जो 16% है। पहले कक्षा का 1% निकालिए।
सूत्र और नियम
पुराने मान पर बदलाव
- r% वृद्धि
- × (100 + r) ÷ 100 20% वृद्धि: × 1.2
- r% कमी
- × (100 − r) ÷ 100 18% कमी: × 0.82
- प्रतिशत परिवर्तन
- (नया − पुराना) ÷ पुराना × 100 ₹300 से ₹375: 25% वृद्धि
- वापस जाना
- नया ÷ गुणक 10,250 ÷ 0.82 = 12,500
यह क्यों काम करता है: बदलाव पुराने मान का प्रतिशत होता है, इसलिए पुराना × गुणक = नया। गुणा को उलटने के लिए उसी गुणक से भाग दीजिए।
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