एग्ज़ाम स्प्रिंट 3: क्रमागत परिवर्तन और प्रतिशत अंक
लक्ष्य: एक के बाद एक होने वाले दो बदलाव संभालना, और प्रतिशत अंक (points) को प्रतिशत से कभी न मिलाना।
बिल्कुल शुरू से
पहले फिर से बुनियादी बातें, फिर इस पाठ के नए विचार: लगातार दो बदलाव, और प्रतिशत अंक।
1. प्रतिशत क्या है? "प्रतिशत" का मतलब है हर सौ पर। 35% मतलब हर 100 में से 35। ₹100 को ₹1 के 100 सिक्के मानें। अगर आप 35 सिक्के ख़र्च करते हैं, तो आपने 100 में से 35 ख़र्च किए, यानी आपके पैसों का 35%। 100 खानों के ग्रिड में हर खाना 1% है, इसलिए 35% = 35 भरे हुए खाने:
███████████████████████████████████·································································
पाठ रूप: 100 में से 35 खाने भरे हैं (35%); 65 ख़ाली हैं (65%)।
2. "का" का मतलब क्या है? "का" बताता है कि प्रतिशत किस चीज़ का लिया जा रहा है। "₹200 का 35%" मतलब: ₹200 को 100 बराबर टुकड़ों में काटें (हर टुकड़ा ₹200 ÷ 100 = ₹2) और 35 टुकड़े लें: 35 × ₹2 = ₹70।
3. पूरा और हिस्सा। जिस संख्या के साथ "का" लगा है, वह पूरा है: सब कुछ, यानी 100%। हिस्सा पूरे का एक टुकड़ा है। बाकी वह है जो बचता है: पूरा − हिस्सा, यानी (100 − प्रतिशत)%। उदाहरण में: पूरा ₹200, हिस्सा ₹70 (35%), बाकी ₹130 (65%)।
4. हर प्रश्न में काम आने वाला एक औज़ार: पहले 1% निकालें। किसी भी चीज़ का 1% = वह चीज़ ÷ 100। 1% से आप कोई भी प्रतिशत बना सकते हैं (प्रतिशत से गुणा करें) या पूरे तक लौट सकते हैं (100 से गुणा करें)। अभी आज़माएँ: ₹300 का 1% = 300 ÷ 100 = ₹3, तो ₹300 का 35% = 35 × 3 = ₹105।
5. प्रतिशत बदलाव क्या है? जब कोई मान पुराने से नए मान पर जाता है, तो पुराना मान पूरा (100%) होता है, क्योंकि बदलाव शुरुआत से मापा जाता है। ₹500 पर 20% बढ़ोतरी: ₹500 का 20% = 20 × ₹5 = ₹100, तो नया मान ₹600 = 100% + 20% = पुराने मान का 120%। 20% कमी: नया मान = 100% − 20% = पुराने मान का 80% = ₹400।
6. लगातार दो बदलाव। दूसरा प्रतिशत पहले बदलाव के बाद वाले मान का होता है, शुरुआत का नहीं। इसलिए दो बदलाव सीधे नहीं जोड़े जा सकते।
7. दर पहले से ही प्रतिशत होती है। 40% पास दर मतलब हर 100 में से 40 छात्र पास होते हैं। जब दर 40% से 50% होती है, तो इसे दो तरह से कहा जा सकता है: प्रतिशत अंक (घटाएँ: 50 − 40 = 10 अंक) या प्रतिशत (पुरानी दर से तुलना: 40 में से 10 = 25%)।
ज़रूरी शब्द
- प्रतिशत (%)
- हर 100 में से 35% = 100 में से 35
- पूरा
- 'का' वाली संख्या = 100% '₹200 का 35%' में ₹200
- हिस्सा
- पूरे का एक टुकड़ा ₹70 = ₹200 का 35%
- बाकी
- पूरा − हिस्सा ₹130 = ₹200 का 65%
- 1%
- पूरा ÷ 100 ₹200 का 1% = ₹2
1. पाठ 2 से वार्म-अप
पाठ 2 से वार्म-अप: मूल्य ₹200 से ₹230 हो जाता है। प्रतिशत वृद्धि कितनी है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
बढ़ोतरी ₹30 है, और इसे पुराने दाम ₹200 से तुलना करते हैं। चरण 1: 200 का 1% = ₹2। चरण 2: 30 ÷ 2 = 15 → 15%।
विकल्प A: नया मान आधार बना दिया: 30/230 में नया मूल्य आधार बना।
विकल्प C: रुपयों को प्रतिशत मान लिया: 30 रुपये है।
विकल्प D: अनुपात, परिवर्तन नहीं: 115% नया ÷ पुराना है।
संकेत: पुराने मूल्य से भाग दें।
2. पहले अनुमान
अनुमान लगाएँ: 10% और 20% की दो क्रमागत छूट। क्या यह एक 30% छूट के बराबर है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
₹100 लें। पहली 10% छूट: 100 का 10% = 10 → ₹90। फिर नए दाम पर 20% छूट: 90 का 20% = 18 → ₹72। ₹100 → ₹72 यानी ₹28 कम, तो 28%, 30% नहीं।
विकल्प B: प्रतिशत जोड़ दिए: दूसरी छूट छोटे मूल्य पर है।
विकल्प C: चिह्न की गलती: दो छूट 30% से कम देती हैं, अधिक नहीं।
विकल्प D: केवल गुणनफल पद लिया: 2 केवल गुणनफल पद है।
संकेत: 0.9 को 0.8 से गुणा करें।
3. कहानी से समझें: लगातार दो बदलाव
प्रश्न
एक दाम 50% बढ़ता है और फिर 20% घटता है। कुल बदलाव क्या है?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- दो बदलाव एक के बाद एक होते हैं: पहले +50%, फिर −20%।
- दूसरा बदलाव नए मान का प्रतिशत है, शुरुआती मान का नहीं। शुरुआत की तुलना में कुल % बदलाव निकालना है।
- इसे एक कहानी से समझें
- ₹1,000 की एक जैकेट: सर्दी में दुकान उसका दाम 50% बढ़ा देती है। बाद में जैकेट पर 20% की छूट लगाती है।
- हमें पता है / हमें निकालना है
- हमें पता है: शुरुआत = ₹1,000 = 100%; पहला बदलाव शुरुआत का +50%; दूसरा बदलाव पहले बदलाव के बाद वाले मान का −20%
- हमें निकालना है: आख़िरी मान, और ₹1,000 से उसका % बदलाव
- चरण 1: पहला बदलाव (शुरुआत का 1%)
- ₹1,000 का 1% = ₹10, तो ₹1,000 का 50% = ₹500
- चरण 1 के बाद: 1,000 + 500 = ₹1,500
- चरण 2: दूसरा बदलाव (नए मान का 1%)
- ₹1,500 का 1% = ₹15, तो ₹1,500 का 20% = ₹300
- चरण 2 के बाद: 1,500 − 300 = ₹1,200
- चरण 3: शुरुआत से तुलना करें
- बदलाव = 1,200 − 1,000 = 200
- शुरुआत का 1% = ₹10, तो 200 ÷ 10 = 20 → 20% वृद्धि
- पट्टी पर देखें
████████████████████शुरुआत = 100% = ₹1,000 (हर डिब्बा = शुरुआत का 5%)████████████████████▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓चरण 1 के बाद = शुरुआत का 150% = ₹1,500████████████████████▓▓▓▓चरण 2 के बाद = शुरुआत का 120% = ₹1,200
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- कुल % = a + b + (a × b) ÷ 100 = +50 −20 + (+50 × −20) ÷ 100 = +20%
- जल्दी जाँच
- गुणक से: 1.5 × 0.8 = 1.2 → 20% वृद्धि ✓
उत्तर: 20% वृद्धि
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: +50% और −20% को सीधे न जोड़ें (= +30%)। दूसरा प्रतिशत एक अलग, नए मान (₹1,500) का है।
समझ की जाँच: एक दाम 10% बढ़ता है और फिर 10% घटता है। कुल बदलाव क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
₹100 से शुरू करें। चरण 1: ₹100 का 10% = ₹10 → ₹110। चरण 2: ₹110 का 10% = ₹11 → ₹99। ₹100 से तुलना: ₹1 कम = 1% की कमी। शॉर्टकट: +10 − 10 + (10 × −10) ÷ 100 = −1%।
विकल्प A: मान लिया कि बराबर कट जाएगा: कमी ₹110 का 10% (= ₹11) है, जो ₹10 की बढ़ोतरी से बड़ी है। दोनों बराबर नहीं कटते।
विकल्प B: चिह्न की गलती: आख़िरी ₹99 शुरुआती ₹100 से कम है, इसलिए कमी है।
विकल्प D: प्रतिशत जोड़ दिए: दो में से सिर्फ़ एक बदलाव कमी था। दोनों को कमी मानकर जोड़ना गलत है।
संकेत: ₹100 लें। दूसरा 10% नए दाम का है।
4. कहानी से समझें: अंक बनाम प्रतिशत
प्रश्न
पास होने की दर 40% से 50% हो जाती है। यह कितने अंक और कितने प्रतिशत बढ़ी?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- पास होने की दर 40% से 50% हुई। प्रश्न दो उत्तर चाहता है:
- कितने प्रतिशत अंक (points) बदली, और कितने प्रतिशत बदली।
- इसे एक कहानी से समझें
- पिछले साल एक स्कूल में हर 100 में से 40 छात्र पास हुए। इस साल हर 100 में से 50 पास हुए।
- हमें पता है / हमें निकालना है
- हमें पता है: पुरानी = 40%, नई = 50%
- हमें निकालना है: (a) अंकों में बदलाव; (b) पुरानी दर के प्रतिशत के रूप में बदलाव
- चरण 1: अंक = घटाएँ
- 50 − 40 = 10 प्रतिशत अंक
- चरण 2: प्रतिशत = पुरानी दर से तुलना
- पुरानी दर 40 का 1% = 40 ÷ 100 = 0.4
- 10 ÷ 0.4 = 25 → 25% बढ़ोतरी
- पट्टी पर देखें
████████░░░░░░░░░░░░पहले: 40% (हर डिब्बा = 5 अंक)████████▓▓░░░░░░░░░░░░बाद में: 50% (▓ = नए 10 अंक)- पुराने 40 अंकों पर 10 अंक जुड़े = 10/40 = पुरानी दर का 25%
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- अंक = नई दर − पुरानी दर
- प्रतिशत बदलाव = अंक ÷ पुरानी दर × 100
- जल्दी जाँच
- 40 का 25% = 10 अंक; 40 + 10 = 50 ✓
उत्तर: 10 प्रतिशत अंक; 25% बढ़ोतरी
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: 'अंक' = दोनों दरें घटाएँ (10)। 'प्रतिशत' = उसे पुरानी दर से भाग दें (25%)। 10 अंक की बढ़ोतरी को 10% बढ़ोतरी न कहें।
5. अब शॉर्टकट
लगातार बदलाव और अंक
- दो बदलाव a% और b%
- a + b + (a × b) ÷ 100 +20, +10 → 20 + 10 + 2 = +32%
- यही, गुणक से
- (1 + a/100) × (1 + b/100) 1.2 × 1.1 = 1.32
- बराबर x% बढ़ोतरी और कमी
- कुल = −(x × x) ÷ 100 % +10, −10 → −1%
- प्रतिशत अंक
- नई दर − पुरानी दर 40% → 50% = 10 अंक
- दर का प्रतिशत बदलाव
- अंक ÷ पुरानी दर × 100 40% → 50% = 10 ÷ 40 × 100 = 25%
कमी के लिए ऋण (−) चिह्न लें: −20 फिर +10 → −20 + 10 + (−20 × 10) ÷ 100 = −20 + 10 − 2 = −12%।
6. अब आप पूरा करें (आधा हल)
प्रश्न
बिक्री एक साल 25% गिरती है और अगले साल 20% बढ़ती है। कुल बदलाव क्या है?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- दो बदलाव एक के बाद एक होते हैं: पहले −25%, फिर +20%।
- दूसरा बदलाव नए मान का प्रतिशत है, शुरुआती मान का नहीं। शुरुआत की तुलना में कुल % बदलाव निकालना है।
- इसे एक कहानी से समझें
- एक छोटी दुकान रोज़ ₹2,000 का सामान बेचती थी। एक ख़राब साल में यह 25% घटा; अगले साल 20% बढ़ा।
- हमें पता है / हमें निकालना है
- हमें पता है: शुरुआत = ₹2,000 = 100%; पहला बदलाव शुरुआत का −25%; दूसरा बदलाव पहले बदलाव के बाद वाले मान का +20%
- हमें निकालना है: आख़िरी मान, और ₹2,000 से उसका % बदलाव
- चरण 1: पहला बदलाव (शुरुआत का 1%)
- ₹2,000 का 1% = ₹20, तो ₹2,000 का 25% = ₹500
- चरण 1 के बाद: 2,000 − 500 = ₹1,500
- चरण 2 आपका: नए मान पर दूसरा बदलाव
- ₹1,500 का 1% निकालें (₹2,000 का नहीं), फिर उसका 20%, फिर आख़िरी मान और ₹2,000 से % बदलाव।
- पट्टी पर देखें
████████████████████शुरुआत = 100% = ₹2,000 (हर डिब्बा = शुरुआत का 5%)███████████████░░░░░चरण 1 के बाद = शुरुआत का 75% = ₹1,500- चरण 2 के बाद = ? (ख़ुद बनाएँ)
उत्तर: 10% कमी। चरण 2: ₹1,500 का 1% = ₹15; उसका 20% = ₹300; आख़िरी मान = ₹1,800। 2,000 पर −200 का बदलाव = शुरुआत का −10%। जाँच: शॉर्टकट: −25 +20 + (−25 × +20) ÷ 100 = −10% ✓
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: −25% और +20% को सीधे न जोड़ें (= −5%)। दूसरा प्रतिशत एक अलग, नए मान (₹1,500) का है।
7. आपकी बारी, बिना मदद
आपकी बारी: +20% फिर −25%। कुल परिवर्तन?
उत्तर देखें
सही उत्तर: D
₹100 लें। +20%: 100 का 20% = 20 → ₹120। नए दाम का −25%: 120 का 25% = 30 → ₹90। ₹100 → ₹90 = 10% की कमी।
विकल्प A: प्रतिशत जोड़ दिए: 20 − 25 = −5 में गुणनफल पद −5 छूटा।
विकल्प B: मान लिया कि बराबर हो जाएगा: परिवर्तन बराबर नहीं होते।
विकल्प C: चिह्न की गलती: दिशा गलत है।
संकेत: a + b + ab/100 में b = −25 लें।
अगर पास होने की दर 40% से 50% होती है, तो यह 10 प्रतिशत अंक बढ़ी, जो 25% बढ़ोतरी है (पुराने 40 की तुलना में 10)। प्रश्न पढ़ें: 'कितने अंक' मतलब घटाएँ; 'कितने प्रतिशत' मतलब पुरानी दर से भाग दें।
अतिरिक्त टुकड़ा (a × b) ÷ 100 है। एक ही दिशा (दोनों बढ़ें या दोनों घटें): यह धन (+) है। उलटी दिशा: ऋण (−)। इसलिए +x फिर −x हमेशा शुरुआत से (x × x) ÷ 100 % नीचे रुकता है।
8. मिली-जुली जाँच
मिश्रित जाँच: मूल्य 25% घटाया गया। कितनी वृद्धि से वापस आएगा?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
₹100 लें। 25% कटौती के बाद ₹75 बचते हैं। वापस ₹100 के लिए ₹75 में ₹25 जोड़ने होंगे। 75 का 1% = 0.75, और 25 ÷ 0.75 = 33⅓ → 33⅓%।
विकल्प A: सममिति मान ली: 75 × 1.25 = 93.75, 100 से कम।
विकल्प B: अनुपात, परिवर्तन नहीं: 75% घटा मूल्य (हिस्सा) है।
विकल्प D: गलत पैटर्न: 20%, 25% वृद्धि का उलटा है, 25% कटौती का नहीं।
संकेत: 100 से शुरू करें।
हर गलती के लिए एक पंक्ति लिखें: प्रश्न → जाल का नाम → पाँच शब्दों में सुधार। जाल के नाम: गलत आधार, शेष भाग बता दिया, प्रतिशत जोड़ दिए, अंक बनाम प्रतिशत। इस पाठ पर लौटें: कल (मिश्रित जाँच दोबारा), तीसरे दिन (अभ्यास परीक्षा बिना देखे), सातवें दिन (केवल त्रुटि-सूची के प्रश्न)। आज का कौशल: लगातार बदलाव और अंक।
इस पाठ के नीचे परीक्षा जैसे पाँच प्रश्न जुड़े हैं। हर विकल्प का कारण दिया है: केवल सही ही नहीं, हर गलत विकल्प क्यों गलत है यह भी पढ़ें।
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