एग्ज़ाम स्प्रिंट 2: वृद्धि, कमी और उलटी गणना
लक्ष्य: बढ़ने या घटने के बाद नया मान निकालना, और नए मान से पीछे की ओर पुराना मान निकालना, बिना गलत संख्या का प्रतिशत लिए।
बिल्कुल शुरू से
पहले फिर से बुनियादी बातें (ये कभी नहीं बदलतीं), फिर इस पाठ का एक नया विचार: प्रतिशत बदलाव।
1. प्रतिशत क्या है? "प्रतिशत" का मतलब है हर सौ पर। 35% मतलब हर 100 में से 35। ₹100 को ₹1 के 100 सिक्के मानें। अगर आप 35 सिक्के ख़र्च करते हैं, तो आपने 100 में से 35 ख़र्च किए, यानी आपके पैसों का 35%। 100 खानों के ग्रिड में हर खाना 1% है, इसलिए 35% = 35 भरे हुए खाने:
███████████████████████████████████·································································
पाठ रूप: 100 में से 35 खाने भरे हैं (35%); 65 ख़ाली हैं (65%)।
2. "का" का मतलब क्या है? "का" बताता है कि प्रतिशत किस चीज़ का लिया जा रहा है। "₹200 का 35%" मतलब: ₹200 को 100 बराबर टुकड़ों में काटें (हर टुकड़ा ₹200 ÷ 100 = ₹2) और 35 टुकड़े लें: 35 × ₹2 = ₹70।
3. पूरा और हिस्सा। जिस संख्या के साथ "का" लगा है, वह पूरा है: सब कुछ, यानी 100%। हिस्सा पूरे का एक टुकड़ा है। बाकी वह है जो बचता है: पूरा − हिस्सा, यानी (100 − प्रतिशत)%। उदाहरण में: पूरा ₹200, हिस्सा ₹70 (35%), बाकी ₹130 (65%)।
4. हर प्रश्न में काम आने वाला एक औज़ार: पहले 1% निकालें। किसी भी चीज़ का 1% = वह चीज़ ÷ 100। 1% से आप कोई भी प्रतिशत बना सकते हैं (प्रतिशत से गुणा करें) या पूरे तक लौट सकते हैं (100 से गुणा करें)। अभी आज़माएँ: ₹300 का 1% = 300 ÷ 100 = ₹3, तो ₹300 का 35% = 35 × 3 = ₹105।
5. प्रतिशत बदलाव क्या है? जब कोई मान पुराने से नए मान पर जाता है, तो पुराना मान पूरा (100%) होता है, क्योंकि बदलाव शुरुआत से मापा जाता है। ₹500 पर 20% बढ़ोतरी: ₹500 का 20% = 20 × ₹5 = ₹100, तो नया मान ₹600 = 100% + 20% = पुराने मान का 120%। 20% कमी: नया मान = 100% − 20% = पुराने मान का 80% = ₹400।
ज़रूरी शब्द
- प्रतिशत (%)
- हर 100 में से 35% = 100 में से 35
- पूरा
- 'का' वाली संख्या = 100% '₹200 का 35%' में ₹200
- हिस्सा
- पूरे का एक टुकड़ा ₹70 = ₹200 का 35%
- बाकी
- पूरा − हिस्सा ₹130 = ₹200 का 65%
- 1%
- पूरा ÷ 100 ₹200 का 1% = ₹2
1. पाठ 1 से वार्म-अप
पाठ 1 से वार्म-अप: 30 किस संख्या का 25% है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
हमें पता है: संख्या का 25% = 30। निकालना है: 100%। चरण 1: 1% = 30 ÷ 25 = 1.2। चरण 2: 100% = 1.2 × 100 = 120। जाँच: 120 का 25% = 30 ✓।
विकल्प A: भाग का प्रतिशत ले लिया: 7.5, 30 का 25% है।
विकल्प C: प्रतिशत से गुणा कर दिया: 30 × 25 में प्रतिशत से गुणा किया।
विकल्प D: गलत प्रश्न: 37.5 में 30 में 25% जोड़ा।
संकेत: 25% एक चौथाई है।
2. पहले अनुमान
अनुमान लगाएँ: ₹500 की वस्तु 10% महँगी होती है, फिर आप पुराना मूल्य वापस चाहते हैं। क्या नए मूल्य पर 10% कटौती पर्याप्त है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
+10% के बाद मूल्य 550; 550 का 10% = 55; 550 − 55 = 495।
विकल्प B: मान लिया कि बराबर हो जाएगा: 550 का 10% = 55 है, 50 नहीं।
विकल्प C: चिह्न की गलती: दिशा गलत: 550 से 55 घटाने पर 495।
विकल्प D: गलत आधार: ₹450 पुराने ₹500 पर 10% कम है।
संकेत: पहले नया मूल्य लिखें।
3. कहानी से समझें: आगे की ओर
प्रश्न
आपका ₹800 का मासिक फ़ोन बिल 15% बढ़ जाता है। नया बिल कितना है?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- ₹800 शुरुआती मान है: 100%।
- यह अपने ही 15% से बढ़ता है। नया मान निकालना है।
- इसे एक कहानी से समझें
- फ़ोन कंपनी कहती है: 'अगले महीने से आपका ₹800 वाला प्लान 15% महँगा होगा।'
- हमें पता है / हमें निकालना है
- हमें पता है: पुराने बिल का 100% = ₹800; बदलाव = पुराने बिल का 15%
- हमें निकालना है: नया मान = 100% + 15% = पुराने बिल का 115%
- चरण 1: 1% निकालें
- पुराने बिल का 1% = 800 ÷ 100 = ₹8
- चरण 2: बदलाव निकालें, फिर नया मान
- पुराने बिल का 15% = 15 × 8 = ₹120
- नया मान = 800 + 120 = ₹920
- पट्टी पर देखें
████████████████████पहले = 100% = ₹800 (हर डिब्बा = पुराने बिल का 5% = ₹40)████████████████████▓▓▓बाद में = पहले का 115% = ₹920 (▓ = पहले का 15% = ₹120)
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- नया = पुराना × 115 ÷ 100 = 800 × 1.15 = 920
- और तेज़ तरीका (चाहें तो): ₹800 का 15% = 10% + 5% = 80 + 40 = ₹120।
- जल्दी जाँच
- बदलाव = 920 − 800 = 120; और 120 ÷ 800 × 100 = पुराने मान का 15% ✓
उत्तर: ₹920
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: 15% हमेशा पुराने मान (₹800) का प्रतिशत होता है, यानी बदलाव से पहले वाले मान का।
4. कहानी से समझें: पीछे की ओर
पीछे की ओर जाने में सबसे ज़्यादा अंक कटते हैं। दी गई संख्या बदलाव के बाद का मान है, इसलिए वह 100% नहीं है।
प्रश्न
15% छूट के बाद एक घड़ी ₹1,700 की है। उसका लिखा हुआ दाम (अंकित मूल्य) क्या था?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- ₹1,700 15% कमी के बाद का मान है। यह 100% नहीं है।
- बदलाव से पहले का मान निकालना है: लिखे हुए दाम, जो 100% है।
- इसे एक कहानी से समझें
- दुकान टैग पर लिखे दाम पर 15% छूट देती है। आप ₹1,700 देते हैं। टैग पर कितना लिखा था?
- हमें पता है / हमें निकालना है
- 15% पहले वाले मान (लिखे हुए दाम) का प्रतिशत है।
- तो छूट के बाद का दाम = 100% − 15% = लिखे हुए दाम का 85%
- हमें पता है: लिखे हुए दाम का 85% = ₹1,700
- हमें निकालना है: लिखे हुए दाम का 100% = ?
- चरण 1: 1% निकालें
- लिखे हुए दाम का 85% = ₹1,700, तो ₹1,700 को 1% के 85 टुकड़ों में बाँटें।
- लिखे हुए दाम का 1% = 1,700 ÷ 85 = ₹20
- चरण 2: 100% निकालें
- लिखे हुए दाम का 100% = 20 × 100 = ₹2,000
- पट्टी पर देखें
████████████████████पहले = 100% = ₹2,000 (हर डिब्बा = लिखे हुए दाम का 5%)█████████████████░░░बाद में = पहले का 85% = ₹1,700- ░ = लिखे हुए दाम का घटाया गया 15% = ₹300
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- पहले = बाद × 100 ÷ 85 = 1,700 × 100 ÷ 85 = 2,000
- (यही बात: गुणक 0.85 से भाग दें।)
- जल्दी जाँच
- ₹2,000 का 15% = ₹300
- 2,000 − 300 = 1,700 ✓
उत्तर: ₹2,000
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: ₹1,700, लिखे हुए दाम का 85% है, 100% नहीं। ₹1,700 का 15% जोड़ें नहीं: उससे ₹1,955 आता है, क्योंकि उसमें गलत संख्या का प्रतिशत लिया गया।
समझ की जाँच: 20% छूट के बाद एक बैग ₹480 का है। छूट से पहले दाम क्या था?
उत्तर देखें
सही उत्तर: D
हमें पता है: पुराने दाम का 80% = ₹480 (100% − 20% छूट)। निकालना है: पुराने दाम का 100%। चरण 1: 1% = 480 ÷ 80 = ₹6। चरण 2: 100% = 6 × 100 = ₹600। जाँच: 600 का 20% = 120; 600 − 120 = 480 ✓।
विकल्प A: गलत संख्या का प्रतिशत: ₹576 = 480 + 480 का 20%। पर 20% पुराने दाम का था, ₹480 का नहीं।
विकल्प B: बदलाव दोबारा लगा दिया: ₹384 में फिर से 20% घटा दिया। पुराना दाम छूट वाले दाम से ज़्यादा होना चाहिए।
विकल्प C: प्रतिशत को रुपये मान लिया: ₹500 = 480 + 20 में 20% को ₹20 मान लिया। प्रतिशत पुराने दाम का हिस्सा है।
संकेत: ₹480 पुराने दाम का 80% है, 100% नहीं।
5. अब शॉर्टकट: एक गुणक
आपने देखा कि +15% से नया मान पुराने का 115% बनता है, और −15% से पुराने का 85%। 115% को 1.15 लिखें तो गुणा करने के लिए एक ही संख्या मिलती है (गुणक)।
गुणक
- r% बढ़ोतरी
- × (100 + r) ÷ 100 +20% → × 1.2
- r% कमी
- × (100 − r) ÷ 100 −15% → × 0.85
- प्रतिशत बदलाव
- (नया − पुराना) ÷ पुराना × 100 ₹200 → ₹230: 30 ÷ 200 × 100 = 15%
- नए से पुराना
- नया ÷ गुणक +20% के बाद 360 → 360 ÷ 1.2 = 300
बदलाव का हर प्रतिशत पुराने मान का प्रतिशत होता है।
6. अब आप पूरा करें (आधा हल)
प्रश्न
एक कस्बे की जनसंख्या 25% बढ़कर 15,000 हो गई। पहले कितनी थी?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- 15,000 25% बढ़ोतरी के बाद का मान है। यह 100% नहीं है।
- बदलाव से पहले का मान निकालना है: पुरानी जनसंख्या, जो 100% है।
- इसे एक कहानी से समझें
- दस साल में एक कस्बा 25% बढ़ा। आज वहाँ 15,000 लोग रहते हैं।
- हमें पता है / हमें निकालना है
- 25% पहले वाले मान (पुरानी जनसंख्या) का प्रतिशत है।
- तो नई जनसंख्या = 100% + 25% = पुरानी जनसंख्या का 125%
- हमें पता है: पुरानी जनसंख्या का 125% = 15,000
- हमें निकालना है: पुरानी जनसंख्या का 100% = ?
- चरण 1: 1% निकालें
- पुरानी जनसंख्या का 125% = 15,000, तो 15,000 को 1% के 125 टुकड़ों में बाँटें।
- पुरानी जनसंख्या का 1% = 15,000 ÷ 125 = 120
- चरण 2 आपका: 100% निकालें
- पुरानी जनसंख्या का 1% = 120। 100 से गुणा करें, फिर नीचे जाँचें।
- पट्टी पर देखें
████████████████████पहले = 100% = ? (हर डिब्बा = पुरानी जनसंख्या का 5%)████████████████████▓▓▓▓▓बाद में = पहले का 125% = 15,000- ▓ = पुरानी जनसंख्या का अतिरिक्त 25%
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- पहले = बाद × 100 ÷ 125 = 15,000 × 100 ÷ 125
- (यही बात: गुणक 1.25 से भाग दें।)
उत्तर: 12,000। चरण 2: 100% = 120 × 100 = 12,000। जाँच: 12,000 का 25% = 3,000, और 12,000 + 3,000 = 15,000 ✓
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: 15,000, पुरानी जनसंख्या का 125% है, 100% नहीं। 15,000 का 25% घटाएँ नहीं: उससे 11,250 आता है, क्योंकि उसमें गलत संख्या का प्रतिशत लिया गया।
7. आपकी बारी, बिना मदद
आपकी बारी: 30% वृद्धि के बाद एक मान 520 है। मूल मान क्या था?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
हमें पता है: नया मान = मूल का 100% + 30% = 130% = 520। चरण 1: मूल का 1% = 520 ÷ 130 = 4। चरण 2: 100% = 400। जाँच: 400 का 30% = 120; 400 + 120 = 520 ✓।
विकल्प A: गलत आधार पर उलटा: 520 × 0.7 में नए मान का 30% घटाया।
विकल्प B: परिवर्तन दोबारा लगा दिया: 520 × 1.3 में फिर से वृद्धि।
विकल्प D: प्रतिशत को इकाई मान लिया: 30 घटाने में 30% को इकाई माना।
संकेत: गुणक से भाग दें।
20% बढ़ोतरी हटाने के लिए नए मान से 20% नहीं घटाते: वह 20% बड़े नए मान का होगा। इसके बजाय 1.2 से भाग दें। 20% बढ़ोतरी 16⅔% कटौती से हटती है; 20% कटौती 25% बढ़ोतरी से।
याद रखें 12.5% = 1/8, 20% = 1/5, 25% = 1/4, 33⅓% = 1/3। फिर +25% का मतलब 'पुराना = 4 हिस्से, नया = 5 हिस्से': 15,000 = 5 हिस्से → 1 हिस्सा = 3,000 → पुराना = 4 हिस्से = 12,000। दशमलव की ज़रूरत नहीं।
8. मिली-जुली जाँच
मिश्रित जाँच: 45 किस संख्या का 60% है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: D
हमें पता है: संख्या का 60% = 45। चरण 1: 1% = 45 ÷ 60 = 0.75। चरण 2: 100% = 0.75 × 100 = 75। जाँच: 75 का 60% = 45 ✓।
विकल्प A: भाग का प्रतिशत ले लिया: 27, 45 का 60% है।
विकल्प B: गलत प्रश्न: 72 में 45 में 60% जोड़ा।
विकल्प C: प्रतिशत को इकाई मान लिया: 105 में 45 में 60 जोड़ा।
संकेत: 60% = 3/5 है।
हर गलती के लिए एक पंक्ति लिखें: प्रश्न → जाल का नाम → पाँच शब्दों में सुधार। जाल के नाम: गलत आधार, शेष भाग बता दिया, प्रतिशत जोड़ दिए, अंक बनाम प्रतिशत। इस पाठ पर लौटें: कल (मिश्रित जाँच दोबारा), तीसरे दिन (अभ्यास परीक्षा बिना देखे), सातवें दिन (केवल त्रुटि-सूची के प्रश्न)। आज का कौशल: गुणक आगे और पीछे।
इस पाठ के नीचे परीक्षा जैसे पाँच प्रश्न जुड़े हैं। हर विकल्प का कारण दिया है: केवल सही ही नहीं, हर गलत विकल्प क्यों गलत है यह भी पढ़ें।
प्रगति सहेजने के लिए साइन इन करें। साइन इन