पहेली पहले 3: परिवर्तनों की शृंखला, और अंक बनाम प्रतिशत
जब एक बदलाव के बाद दूसरा आता है तो क्या होता है? सूत्र देखने से पहले पता लगाएँ।
पहेलियों से पहले: बुनियादी शब्द
शब्दों के मतलब फिर से, और लगातार बदलाव व दरें। पहेलियाँ इन्हीं को परखेंगी।
1. प्रतिशत क्या है? "प्रतिशत" का मतलब है हर सौ पर। 35% मतलब हर 100 में से 35। ₹100 को ₹1 के 100 सिक्के मानें। अगर आप 35 सिक्के ख़र्च करते हैं, तो आपने 100 में से 35 ख़र्च किए, यानी आपके पैसों का 35%। 100 खानों के ग्रिड में हर खाना 1% है, इसलिए 35% = 35 भरे हुए खाने:
███████████████████████████████████·································································
पाठ रूप: 100 में से 35 खाने भरे हैं (35%); 65 ख़ाली हैं (65%)।
2. "का" का मतलब क्या है? "का" बताता है कि प्रतिशत किस चीज़ का लिया जा रहा है। "₹200 का 35%" मतलब: ₹200 को 100 बराबर टुकड़ों में काटें (हर टुकड़ा ₹200 ÷ 100 = ₹2) और 35 टुकड़े लें: 35 × ₹2 = ₹70।
3. पूरा और हिस्सा। जिस संख्या के साथ "का" लगा है, वह पूरा है: सब कुछ, यानी 100%। हिस्सा पूरे का एक टुकड़ा है। बाकी वह है जो बचता है: पूरा − हिस्सा, यानी (100 − प्रतिशत)%। उदाहरण में: पूरा ₹200, हिस्सा ₹70 (35%), बाकी ₹130 (65%)।
4. हर प्रश्न में काम आने वाला एक औज़ार: पहले 1% निकालें। किसी भी चीज़ का 1% = वह चीज़ ÷ 100। 1% से आप कोई भी प्रतिशत बना सकते हैं (प्रतिशत से गुणा करें) या पूरे तक लौट सकते हैं (100 से गुणा करें)। अभी आज़माएँ: ₹300 का 1% = 300 ÷ 100 = ₹3, तो ₹300 का 35% = 35 × 3 = ₹105।
5. प्रतिशत बदलाव क्या है? जब कोई मान पुराने से नए मान पर जाता है, तो पुराना मान पूरा (100%) होता है, क्योंकि बदलाव शुरुआत से मापा जाता है। ₹500 पर 20% बढ़ोतरी: ₹500 का 20% = 20 × ₹5 = ₹100, तो नया मान ₹600 = 100% + 20% = पुराने मान का 120%। 20% कमी: नया मान = 100% − 20% = पुराने मान का 80% = ₹400।
6. लगातार दो बदलाव। दूसरा प्रतिशत पहले बदलाव के बाद वाले मान का होता है, शुरुआत का नहीं। इसलिए दो बदलाव सीधे नहीं जोड़े जा सकते।
7. दर पहले से ही प्रतिशत होती है। 40% पास दर मतलब हर 100 में से 40 छात्र पास होते हैं। जब दर 40% से 50% होती है, तो इसे दो तरह से कहा जा सकता है: प्रतिशत अंक (घटाएँ: 50 − 40 = 10 अंक) या प्रतिशत (पुरानी दर से तुलना: 40 में से 10 = 25%)।
ज़रूरी शब्द
- प्रतिशत (%)
- हर 100 में से 35% = 100 में से 35
- पूरा
- 'का' वाली संख्या = 100% '₹200 का 35%' में ₹200
- हिस्सा
- पूरे का एक टुकड़ा ₹70 = ₹200 का 35%
- बाकी
- पूरा − हिस्सा ₹130 = ₹200 का 65%
- 1%
- पूरा ÷ 100 ₹200 का 1% = ₹2
पहेली 1
पहेली: ₹1,000 के फ़ोन पर 10% छूट, फिर नए मूल्य पर 10% छूट। अंतिम मूल्य?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
हर कदम 0.9 से गुणा: 1,000 × 0.81 = 810, कुल 19% छूट।
विकल्प A: प्रतिशत जोड़ दिए: ₹800 एक 20% छूट है; दूसरी 10% छूट 900 पर है।
विकल्प C: एक कदम पहले रुक गए: केवल एक छूट लगी।
विकल्प D: परिवर्तन बता दिया: ₹190 कुल छूट है।
संकेत: एक बार में एक छूट लगाएँ।
अतिरिक्त 1% कहाँ गया?
- पहली 10% छूट ₹1,000 पर: ₹1,000 का 10% = ₹100, बचे ₹900।
- दूसरी 10% छूट ₹900 पर: ₹900 का 10% = सिर्फ़ ₹90।
- कुल छूट = ₹1,000 में से ₹190 = 19%। 'छूटे' ₹10, पहले ही हटे ₹100 का 10% हैं: यही (a × b) ÷ 100 वाला टुकड़ा है।
पहेली 2: पैटर्न से अनुमान
ध्यान दें: −10% फिर −10% से −19% मिला, −20% नहीं। a + b + ab/100 से −20% फिर −20% कितना होगा?
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
(−20)(−20)/100 = +4, तो −40 + 4 = −36%।
विकल्प B: प्रतिशत जोड़ दिए: +4 गुणनफल पद छूट गया।
विकल्प C: चिह्न की गलती: गुणनफल पद का चिह्न गलत: दो गिरावटों में ab धनात्मक।
विकल्प D: केवल गुणनफल पद लिया: −4 गुणनफल पद (+4) भी नहीं है।
संकेत: यहाँ गुणनफल पद धनात्मक है।
एक शृंखला, धीरे-धीरे हल
प्रश्न
एक कोट पर 20% छूट, फिर नए दाम पर 25% और छूट। कुल छूट कितनी है?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- दो बदलाव एक के बाद एक होते हैं: पहले −20%, फिर −25%।
- दूसरा बदलाव नए मान का प्रतिशत है, शुरुआती मान का नहीं। शुरुआत की तुलना में कुल % बदलाव निकालना है।
- इसे एक कहानी से समझें
- ₹1,000 के कोट पर 20% सेल का टैग है। काउंटर पर सेल वाले दाम पर 25% और छूट मिलती है।
- हमें पता है / हमें निकालना है
- हमें पता है: शुरुआत = ₹1,000 = 100%; पहला बदलाव शुरुआत का −20%; दूसरा बदलाव पहले बदलाव के बाद वाले मान का −25%
- हमें निकालना है: आख़िरी मान, और ₹1,000 से उसका % बदलाव
- चरण 1: पहला बदलाव (शुरुआत का 1%)
- ₹1,000 का 1% = ₹10, तो ₹1,000 का 20% = ₹200
- चरण 1 के बाद: 1,000 − 200 = ₹800
- चरण 2: दूसरा बदलाव (नए मान का 1%)
- ₹800 का 1% = ₹8, तो ₹800 का 25% = ₹200
- चरण 2 के बाद: 800 − 200 = ₹600
- चरण 3: शुरुआत से तुलना करें
- बदलाव = 600 − 1,000 = −400
- शुरुआत का 1% = ₹10, तो 400 ÷ 10 = 40 → 40% कमी
- पट्टी पर देखें
████████████████████शुरुआत = 100% = ₹1,000 (हर डिब्बा = शुरुआत का 5%)████████████████░░░░चरण 1 के बाद = शुरुआत का 80% = ₹800████████████░░░░░░░░चरण 2 के बाद = शुरुआत का 60% = ₹600
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- कुल % = a + b + (a × b) ÷ 100 = −20 −25 + (−20 × −25) ÷ 100 = −40%
- जल्दी जाँच
- गुणक से: 0.8 × 0.75 = 0.6 → 40% कमी ✓
उत्तर: 40% कमी
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: −20% और −25% को सीधे न जोड़ें (= −45%)। दूसरा प्रतिशत एक अलग, नए मान (₹800) का है।
पहेली 3: शीर्षक
मोड़: बैंक की ब्याज दर 8% से 10% होती है। एक शीर्षक कहता है 'दरें 2% बढ़ीं'। सटीक कथन क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
अंकों के लिए दरें घटाएँ; प्रतिशत के लिए पुरानी दर से भाग दें।
विकल्प A: अंकों को प्रतिशत मान लिया: 2 अंक हैं; सापेक्ष वृद्धि 25% है।
विकल्प B: नया मान आधार बना दिया: 20% = 2/10 में नई दर आधार बनी।
विकल्प D: प्रतिशत को अंक मान लिया: दर केवल 8 → 10 हुई।
संकेत: दो अलग संख्याएँ दो अलग प्रश्नों के उत्तर हैं।
अंक बनाम प्रतिशत, धीरे-धीरे हल
प्रश्न
एक पार्टी का वोट प्रतिशत 20% से 25% हो जाता है। कितने अंक, और कितने प्रतिशत बढ़ा?
हल
- प्रश्न क्या पूछ रहा है?
- वोट प्रतिशत 20% से 25% हुई। प्रश्न दो उत्तर चाहता है:
- कितने प्रतिशत अंक (points) बदली, और कितने प्रतिशत बदली।
- इसे एक कहानी से समझें
- पिछले चुनाव में एक पार्टी को हर 100 में से 20 वोट मिले। इस बार हर 100 में से 25 मिले।
- हमें पता है / हमें निकालना है
- हमें पता है: पुरानी = 20%, नई = 25%
- हमें निकालना है: (a) अंकों में बदलाव; (b) पुरानी दर के प्रतिशत के रूप में बदलाव
- चरण 1: अंक = घटाएँ
- 25 − 20 = 5 प्रतिशत अंक
- चरण 2: प्रतिशत = पुरानी दर से तुलना
- पुरानी दर 20 का 1% = 20 ÷ 100 = 0.2
- 5 ÷ 0.2 = 25 → 25% बढ़ोतरी
- पट्टी पर देखें
████░░░░░░░░░░░░░░░░पहले: 20% (हर डिब्बा = 5 अंक)████▓░░░░░░░░░░░░░░░░बाद में: 25% (▓ = नए 5 अंक)- पुराने 20 अंकों पर 5 अंक जुड़े = 5/20 = पुरानी दर का 25%
- शॉर्टकट (समझने के बाद ही)
- अंक = नई दर − पुरानी दर
- प्रतिशत बदलाव = अंक ÷ पुरानी दर × 100
- जल्दी जाँच
- 20 का 25% = 5 अंक; 20 + 5 = 25 ✓
उत्तर: 5 प्रतिशत अंक; 25% बढ़ोतरी
ध्यान दें: सबसे ज़रूरी बात: 'अंक' = दोनों दरें घटाएँ (5)। 'प्रतिशत' = उसे पुरानी दर से भाग दें (25%)। 5 अंक की बढ़ोतरी को 5% बढ़ोतरी न कहें।
समझ की जाँच: बेरोज़गारी 10% से घटकर 8% हो जाती है। कौन-सा कथन सही है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
अंक = 10 − 8 = 2। प्रतिशत = पुराने 10 से 2 की तुलना: 10 का 1% = 0.1, 2 ÷ 0.1 = 20 → 20% की कमी।
विकल्प A: अंकों को प्रतिशत मान लिया: 2 अंक की कमी पुराने 10 का 20% है, 2% नहीं।
विकल्प C: नया मान आधार बना दिया: 2 ÷ 8 में नई दर ली। पुरानी दर 10 से तुलना करें।
विकल्प D: प्रतिशत को अंक मान लिया: सिर्फ़ 2 अंक घटे (10 → 8)।
संकेत: अंकों के लिए घटाएँ; प्रतिशत के लिए पुरानी दर से भाग दें।
आपने क्या खोजा (शॉर्टकट)
- दो बदलाव
- a + b + (a × b) ÷ 100 (चिह्न सहित) −10, −10 → −20 + 1 = −19%
- क्रम
- मायने नहीं रखता +10, +20 = +20, +10 = +32%
- अंक
- नई दर − पुरानी दर 8% → 10% = 2 अंक
- दर का प्रतिशत
- अंक ÷ पुरानी दर × 100 8% → 10% = 2 ÷ 8 × 100 = 25%
दूसरा बदलाव नए मान का प्रतिशत होता है, इसलिए बदलाव गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं। दर के बदलाव के दो नाम हैं: अंक (घटाएँ) और प्रतिशत (पुरानी दर से भाग दें)।
नीचे पाँच प्रश्न जुड़े हैं। कुछ भी दोबारा पढ़ने से पहले हल करें।
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