असमान समय और दूरियों के लिए औसत चाल

सीखने का परिणाम

यात्रा की वास्तविक कुल दूरी और समय से औसत चाल निकालें तथा पहचानें कि दी गई चालों का औसत लेना कब गलत उत्तर देता है।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

औसत चाल = कुल तय दूरी ÷ कुल बीता समय।

यह वह स्थिर चाल है जिससे उतनी दूरी उतने ही समय में तय होगी; यह अपने-आप अलग-अलग चालों का अंकगणितीय औसत नहीं है। आने-जाने की यात्रा में दोनों दिशाओं की दूरियाँ जोड़ें; शुरुआती स्थान पर लौट आने से तय दूरी शून्य नहीं होती।

हर चरण में चाल स्थिर, चाल में बदलाव तात्कालिक और प्रस्थान से आगमन के बीच केवल बताए विलंब मानें। km/h के साथ गणना करने से पहले मिनटों को घंटों में बदलें।

यदि u और v चालें क्रमशः t1 और t2 समय तक बनी रहती हैं:

औसत चाल = (u × t1 + v × t2) ÷ (t1 + t2)।

यह समय-भारित औसत है: अधिक अवधि को अधिक भार मिलता है। चलने की अवधियाँ बराबर हों और कोई ठहराव न हो तो (u + v)/2 ले सकते हैं। असमान अवधियों में सामान्यतः ऐसा नहीं कर सकते।

दो बराबर धनात्मक दूरियों, धनात्मक चालों और बिना ठहराव वाली यात्रा में प्रत्येक दूरी d मानें। कुल समय = d/u + d/v। इस समय से 2 × d को भाग देने पर:

औसत चाल = 2 × u × v ÷ (u + v)।

कम चाल वाले चरण में अधिक समय लगता है, इसलिए इस स्थिति में दो अलग चालों का अंकगणितीय औसत वास्तविक औसत से अधिक होगा। असमान दूरियों या ठहराव वाली यात्रा में यह छोटा सूत्र न लगाएँ।

ठहराव समय बढ़ाता है, दूरी नहीं। पूरी यात्रा का औसत पूछा हो तो उसे शामिल करें। बिना ठहराव के औसत चाल, चरणों की सबसे कम और सबसे अधिक चाल के बीच रहती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — असमान अवधियाँ। एक वाहन 2 h 30 min तक 48 km/h और 1 h 30 min तक 64 km/h से चलता है। समय 2.5 h और 1.5 h हैं। दूरियाँ 48 × 2.5 = 120 km और 64 × 1.5 = 96 km हैं। औसत = (120 + 96) ÷ 4 = 54 km/h, न कि 56 km/h।

उदाहरण 2 — बराबर दूरियाँ। एक वाहन 52 km/h से 78 km जाता है और 78 km/h से 78 km वापस आता है। समय 78/52 = 1.5 h और 78/78 = 1 h हैं। औसत = 156 ÷ 2.5 = 62.4 km/h, न कि अंकगणितीय औसत 65 km/h।

उदाहरण 3 — असमान दूरियाँ और ठहराव। एक बस 42 km/h से 84 km और 48 km/h से 144 km तय करती है। दोनों चरणों के बीच वह 20 मिनट रुकती है। चलने के समय 2 h और 3 h हैं। कुल बीता समय = 2 + 3 + 20/60 = 16/3 h। कुल दूरी = 228 km। औसत = 228 ÷ (16/3) = 42.75 km/h।

आम गलतियाँ

समय के भार जाँचे बिना चालों का औसत न लें। विश्राम को दूरी में न जोड़ें। पूरी यात्रा का औसत, केवल चलते समय निकाले गए औसत से अलग रखें।

अभ्यास प्रश्न

1. एक वाहन बिना रुके 3 h तक 40 km/h और 1 h तक 60 km/h से चलता है। औसत चाल निकालें।
2. एक सवार 48 km/h से 96 km जाता है और उतनी ही दूरी 32 km/h से लौटता है। कोई ठहराव नहीं है। औसत निकालें।
3. एक बस बिना रुके 36 km/h से 72 km और 42 km/h से 126 km तय करती है। औसत चाल निकालें।
4. एक कार चलते समय 56 km/h से कुल 168 km तय करती है और एक बार 30 मिनट रुकती है। प्रस्थान से आगमन तक की औसत चाल निकालें।

हल सहित उत्तर

1. दूरी = 40 × 3 + 60 × 1 = 180 km। समय = 4 h, इसलिए औसत = 180 ÷ 4 = 45 km/h।
2. समय = 96/48 = 2 h और 96/32 = 3 h। औसत = 192 ÷ 5 = 38.4 km/h।
3. समय = 72/36 = 2 h और 126/42 = 3 h। कुल दूरी = 198 km, इसलिए औसत = 198 ÷ 5 = 39.6 km/h।
4. चलने का समय = 168/56 = 3 h। कुल बीता समय = 3 + 30/60 = 3.5 h। औसत = 168 ÷ 3.5 = 48 km/h।