बदलती कार्य टीम और शेष कार्य पूरा करना
आप क्या सीखेंगे
कार्य पूरा होने से पहले टीम बदल सकती है। कार्य की मात्रा फिर भी निश्चित रहती है, लेकिन पूरे समय दर एक जैसी रहना आवश्यक नहीं। आप हर सक्रिय अंतराल लिखेंगे, पूरा किया कार्य आगे जोड़कर रखेंगे और नई दर केवल शेष कार्य पर लगाएंगे।
इस पाठ के अंत तक आप ज्ञात जुड़ने या जाने के समय, प्रतिदिन कार्य-घंटों में दिए बदलाव और एक अज्ञात जुड़ने के समय वाले प्रश्न हल कर सकेंगे। अतिरिक्त समय तथा शुरू से कुल समय में अंतर करेंगे, असंभव कार्यक्रम पहचानेंगे, जानकारी की कमी समझाएँगे और बाद में कोई बदलाव तय होने पर भी कार्य पूरा होते ही गणना रोकेंगे।
पिछले पाठ के एक निश्चित कार्य और स्थिर स्वतंत्र दरों के अर्थ का उपयोग करें। जब तक प्रश्न जानबूझकर कोई शर्त अज्ञात न छोड़े, कार्य बाँटा जा सकता है, योगदान न दो बार गिने जाते हैं न एक-दूसरे में बाधा डालते हैं, और अनकहे विराम या तैयारी का विलंब नहीं है। बताए गए हर अंतराल में दरें अपरिवर्तित हैं। कर्मी-घंटों के लिए समान और अपरिवर्तित प्रति-घंटा उत्पादकता चाहिए; केवल कर्मियों की संख्या यह सिद्ध नहीं करती।
1 दर किसे मापती है याद करें
प्रतिक्रिया से पहले प्रयास करें:
- 1/8 + 1/24 निकालें।
- कार्य का 3/8 भाग पूरा हो तो कितना शेष है?
- 27/2 घंटे को घंटे और मिनट में बदलें।
- समान दर वाले छह कर्मी, चार दिनों में प्रतिदिन पाँच कार्य-घंटे काम करें तो कितने कर्मी-घंटों का योगदान देंगे?
प्रतिक्रिया: 1/8 + 1/24 = 4/24 = 1/6 कार्य प्रति घंटा; शेष 5/8 कार्य है; 27/2 घंटे = 13 घंटे 30 मिनट; योगदान 6 × 4 × 5 = 120 कर्मी-घंटे है। एक कर्मी-घंटा एक कर्मी के एक वास्तविक कार्य-घंटे को गिनता है। वह उत्पादकता की दी गई शर्तों में ही कार्य-मात्रा का माप बनता है।
दर में रूपांतरण या योगदान के योग के लिए कार्य की इकाइयाँ संयुक्त दर और कार्य दक्षता दोहराएँ। घटाव या भाग में कठिनाई हो तो सटीक भिन्नें दोहराएँ। नीचे अज्ञात समयावधि का छोटा समीकरण यहीं समझाया गया है; पहले बाद का पूरा बीजगणित मॉड्यूल करना आवश्यक नहीं।
2 सक्रिय दर बदलते ही नया अंतराल शुरू होता है
शुरुआत, हर जुड़ने या जाने के समय और समाप्ति को चिह्नित करें। हर अंतराल के लिए लिखें:
- कौन सक्रिय है और उनकी संयुक्त दर क्या है
- वह अंतराल कितनी देर चलता है
- उसमें कितना कार्य जुड़ता है
- अब तक कितना कार्य पूरा हुआ और कितना शेष है
अंतराल की गणना अब भी कार्य = दर × वास्तविक कार्य-समय है। बदलाव यह है कि एक अंतराल की दर पूरे कार्यक्रम पर नहीं लगा सकते। जो कर्मी अभी जुड़ा नहीं, उसका पहले का कार्य नहीं गिन सकते; जो चला गया, उसका बाद का योगदान नहीं गिन सकते।
पूरा तय अंतराल लागू करने से पहले पूछें कि क्या उसी में शेष कार्य पूरा हो जाएगा। कार्यक्रम संभावित घटनाएँ बताता है; पहली बार पूरा होने का प्रश्न एक कार्य पूरा होते ही समाप्त होता है।
हल उदाहरण 1 तीन घंटे बाद सहायक जुड़ता है
एक ही बाँटे जा सकने वाले कार्य को A अकेले 12 घंटे और B अकेले 18 घंटे में पूरा करता है। A अकेले शुरू करता है। 3 कार्य-घंटों के बाद B जुड़ता है और दोनों अपनी अपरिवर्तित स्वतंत्र दरों से अंत तक काम करते हैं। B के जुड़ने के बाद का अतिरिक्त समय और A की शुरुआत से कुल समय निकालें।
पैनल 1 जुड़ने की घटना और कार्य का लेखा
घटनाओं का क्रम: 0 घंटे पर शुरुआत → 3 घंटे पर B जुड़ता है → कार्य पूरा। तीरों की लंबाई समय का पैमाना नहीं दिखाती।
| अंतराल | सक्रिय कर्मी | कार्य प्रति घंटे की दर | अवधि | अंतराल में पूरा कार्य |
|---|---|---|---|---|
| जुड़ने से पहले | A | 1/12 | 3 घंटे | 3/12 = 1/4 |
| जुड़ने के बाद | A और B | 1/12 + 1/18 = 5/36 | निकालनी है | शेष 3/4 |
A ने 1/4 कार्य पूरा किया, इसलिए 3/4 शेष है। नई संयुक्त दर पर अतिरिक्त समय = (3/4)/(5/36) = 27/5 घंटे = 5 घंटे 24 मिनट। कुल समय = 3 + 27/5 = 42/5 घंटे = 8 घंटे 24 मिनट।
केवल अंतिम भाग दोहराने के बजाय हर कर्मी का वास्तविक कार्य-समय जाँचें। A, 42/5 घंटे काम करके (42/5)/12 = 7/10 कार्य करता है। B केवल 27/5 घंटे काम करके (27/5)/18 = 3/10 कार्य करता है। योग 1 है। कुल समय, शुरू से दोनों के साथ काम करने के 36/5 घंटे से अधिक है क्योंकि B शुरू में अनुपस्थित था, लेकिन A के अकेले 12 घंटे से कम है।
मूल शुरुआत से समय पूछा हो तो 27/5 घंटे उत्तर न दें। जुड़ने से पहले के तीन घंटे B के नाम न गिनें। पहले कुछ कार्य हो चुका हो तो नई दर से एक पूरे कार्य को भाग न दें।
रुकें और नया लेखा पूरा करें A अकेले 20 घंटे और B अकेले 30 घंटे लेता है। B के जुड़ने से पहले A उसी कार्य का एक-चौथाई भाग पूरा करता है। फिर दोनों अपरिवर्तित स्वतंत्र दरों से लगातार काम करते हैं। पहली अवधि, संयुक्त दर, अतिरिक्त अवधि और कुल अवधि निकालें।
प्रतिक्रिया: A की पहली अवधि (1/4)/(1/20) = 5 घंटे है। संयुक्त दर 1/20 + 1/30 = 1/12 कार्य प्रति घंटा। शेष 3/4 को (3/4)/(1/12) = 9 घंटे चाहिए। कुल 5 + 9 = 14 घंटे। A, 14 घंटे और B, 9 घंटे काम करते हैं: 14/20 + 9/30 = 7/10 + 3/10 = 1।
हल उदाहरण 2 एक कर्मी चला जाता है
एक ही कार्य में A अकेले 12 घंटे और B अकेले 18 घंटे लेता है। दोनों पहले 3 घंटे साथ काम करते हैं। फिर A रुक जाता है; B उसी स्थिर दर से अकेले पूरा करता है। आगे का और कुल समय निकालें।
पैनल 2 जाने के बाद दर बदलती है
| अंतराल | सक्रिय कर्मी | जुड़ा कार्य | उसके बाद शेष कार्य |
|---|---|---|---|
| पहले 3 घंटे | A और B | 3 × (5/36) = 5/12 | 7/12 |
| शेष अंतराल | केवल B | शेष 7/12 | पूरा होने पर 0 |
दूसरे अंतराल में B की दर 1/18 कार्य प्रति घंटा है। आगे का समय = (7/12)/(1/18) = 21/2 घंटे = 10 घंटे 30 मिनट। कुल समय = 3 + 21/2 = 27/2 घंटे = 13 घंटे 30 मिनट।
जाँच: A का योगदान 3/12 = 1/4 है। B पूरे 27/2 घंटे काम करता है और (27/2)/18 = 3/4 कार्य करता है। योग 1 है। B के शेष समय के लिए 18 − 3 लिखना गलत होगा: पहले अंतराल का सारा कार्य B को नहीं करना पड़ा, क्योंकि A ने सहायता की थी।
कुल 13.5 घंटे, A के अकेले 12 घंटे से अधिक हैं। यहाँ यह संभव है: A पूरे कार्य तक नहीं रुका। पहले की “संयुक्त समय दोनों के अकेले समय से कम” वाली जाँच तभी लागू है जब दोनों धन स्वतंत्र योगदान अंत तक सक्रिय रहें।
रुकें और लागू दर चुनें A के जाने के बाद शेष कार्य को 5/36 से भाग देंगे या 1/18 से? बिना गणना कारण बताएँ।
प्रतिक्रिया: 1/18 से भाग देंगे, क्योंकि केवल B सक्रिय है। संयुक्त दर दूसरे अंतराल की नहीं है। पूरा किया कार्य पूरा ही रहता है, लेकिन आगे A का योगदान शून्य है।
3 कर्मी-घंटे लोगों और कार्य-घंटों को जोड़ते हैं
समान स्थिर प्रति-घंटा उत्पादकता वाले कर्मियों के लिए एक कर्मी के एक घंटे के उत्पादन को एक कार्य-इकाई मानें। तब कर्मी × कार्य-घंटे उस पैमाने पर कार्य-मात्रा देते हैं। प्रतिदिन घंटे बदलें तो केवल कर्मी × दिन करने से आवश्यक जानकारी छूट जाती है।
हल उदाहरण 3 बड़ी टीम और लंबा कार्य-दिन
समान दर वाले आठ कर्मी, प्रतिदिन 6 कार्य-घंटे काम करके एक बाँटे जा सकने वाले कार्य को 10 कार्य-दिन में पूरा कर सकते हैं। ऐसे 4 दिनों के बाद चार और समान कर्मी जुड़ते हैं। अब सभी बारह कर्मी अपरिवर्तित प्रति-घंटा उत्पादकता पर प्रतिदिन 8 कार्य-घंटे काम करते हैं। कितने और कार्य-दिन लगेंगे?
पैनल 3 कार्यक्रम बदलने से पहले हुआ कार्य गिनें
| मात्रा | कर्मी-घंटों में गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| पूरा कार्य | 8 × 6 × 10 | 480 |
| पहले ही पूरा कार्य | 8 × 6 × 4 | 192 |
| शेष कार्य | 480 − 192 | 288 |
| नए हर कार्य-दिन का योगदान | 12 × 8 | 96 प्रति कार्य-दिन |
आगे के दिन = 288/96 = 3 कार्य-दिन। कुल = 4 + 3 = 7 कार्य-दिन।
जाँच: 8 × 6 × 4 + 12 × 8 × 3 = 480। पहले पूरा किए कार्य पर पुरानी टीम और पुराने प्रतिदिन घंटे लगेंगे। नई टीम और नए प्रतिदिन घंटे केवल उसके बाद लागू होंगे।
सात कार्य-दिन का अर्थ 168 कार्य-घंटे या घड़ी का कोई निश्चित समाप्ति-समय नहीं है। हर दिन में बताए गए वास्तविक कार्य-घंटे हैं; प्रश्न बाकी दैनिक कार्यक्रम नहीं बताता। कर्मियों की प्रति-घंटा दरें अलग हों तो उनकी संख्याएँ इस तरह सीधे नहीं जोड़ सकते; वास्तविक दरें चाहिए।
रुकें और इकाई जाँचें मान लें कि 168 कर्मी-घंटे शेष हैं। सात समान कर्मी अब उसी प्रति-घंटा उत्पादकता पर प्रतिदिन 4 कार्य-घंटे काम करते हैं। कितने और कार्य-दिन चाहिए?
प्रतिक्रिया: दैनिक योगदान 7 × 4 = 28 कर्मी-घंटे प्रति दिन; 168/28 = 6 और कार्य-दिन। केवल 168 को 7 से भाग देने पर प्रति कर्मी 24 कार्य-घंटे मिलेंगे, चार-घंटे वाले कार्य-दिनों की संख्या नहीं।
4 एक अज्ञात जुड़ने का समय कार्य से निकालें
अज्ञात समयावधि ऐसी संख्या है जिसका मान अभी निकालना है। पहले बताएँ कि वह किसे मापती है। यदि A शुरुआत से ज्ञात समाप्ति-समय T तक काम करे और B उस शुरुआत के x घंटे बाद जुड़े, तो B का कार्य-समय T − x है, x नहीं।
कार्य का संतुलन-समीकरण बताता है कि योगदानों का योग आवश्यक मात्रा है। ज्ञात कार्य घटाकर और ज्ञात दर से भाग देकर उसे हल कर सकते हैं। दोनों पक्षों पर एक ही प्रक्रिया करने से बराबरी बनी रहती है। प्राप्त समय को कहानी के अंतराल में भी सही बैठना चाहिए।
हल उदाहरण 4 B कब जुड़ा
एक ही कार्य में A अकेले 12 घंटे और B अकेले 18 घंटे लेता है। A समय शून्य पर शुरू करके लगातार काम करता है। B बाद में जुड़ता है और फिर अंत तक रहता है। अपरिवर्तित स्वतंत्र दरों से कार्य A की शुरुआत के 9 घंटे बाद पूरा होता है। B कब जुड़ा?
A का योगदान ज्ञात है: 9/12 = 3/4 कार्य। B को शेष 1/4 करना है। B को (1/4)/(1/18) = 9/2 कार्य-घंटे चाहिए, इसलिए वह शुरुआत के 9 − 9/2 = 9/2 घंटे बाद, यानी A के 4 घंटे 30 मिनट बाद जुड़ा।
पैनल 4 अज्ञात संख्या शुरुआत बताती है काम की गई अवधि नहीं
| कर्मी | शुरू करता है | समाप्त करता है | सक्रिय अवधि | योगदान |
|---|---|---|---|---|
| A | 0 पर | 9 घंटे पर | 9 घंटे | 9/12 |
| B | x घंटे पर | 9 घंटे पर | (9 − x) घंटे | (9 − x)/18 |
यही तर्क समीकरण में:
- 9/12 + (9 − x)/18 = 1
- दोनों ओर 9/12 घटाएँ: (9 − x)/18 = 1/4
- दोनों ओर 18 से गुणा करें: 9 − x = 9/2
- इसलिए x = 9 − 9/2 = 9/2
सक्रिय अवधि 9 − x ऋण नहीं हो सकती, इसलिए 0 ≤ x ≤ 9 आवश्यक है। “बाद में जुड़ता है” से x = 0 भी बाहर होता है। उत्तर 9/2 इन शर्तों के अनुकूल है। मूल कार्य-समीकरण में रखने पर 9/12 + (9 − 9/2)/18 = 3/4 + 1/4 = 1।
अब उन्हीं शुरू करने और जुड़ने के नियमों पर 6 घंटे में पूरा होने का अलग दावा जाँचें। A, 6/12 = 1/2 कार्य करेगा। बाकी आधे के लिए B को 9 कार्य-घंटे चाहिए, लेकिन अधिकतम 6 घंटे उपलब्ध हैं। समीकरण x = 6 − 9 = −3 घंटे देता है। यह “बाद में जुड़ने” का मान्य समय नहीं है। दावा दी गई समय-सारणी में असंभव है। दोनों तुरंत साथ शुरू करें तब भी 36/5 घंटे चाहिए, जो 6 से अधिक है।
रुकें और नया संतुलन हल करें A अकेले 8 घंटे और B अकेले 12 घंटे लेता है। A पहले शुरू करता है; B बाद में जुड़कर अंत तक रहता है। A लगातार काम करता है और उसकी शुरुआत के 6 घंटे बाद कार्य पूरा होता है। B किस समय जुड़ा?
प्रतिक्रिया: A का योगदान 6/8 = 3/4 है; B को 1/4 करना है, जिसमें (1/4)/(1/12) = 3 कार्य-घंटे चाहिए। B, 6 − 3 = 3 घंटे पर जुड़ा। जाँच: 6/8 + (6 − 3)/12 = 1 और 0 < 3 < 6।
छोटे समीकरण का आधार NIOS माध्यमिक गणित 211, अध्याय 5 §§5.2–5.3, मुद्रित पृ.142–146 है। यहाँ अर्थ सहित चर, बराबरी बनाए रखने वाले चरण और मान रखकर जाँच का उपयोग है; दो चर वाले समीकरण-निकाय या आलेख आवश्यक नहीं।
5 तय करें कि माँगी गई घटना का उत्तर निश्चित है या नहीं
अपर्याप्त जानकारी और असंगत जानकारी अलग हैं। अपर्याप्त जानकारी में एक से अधिक उत्तर संभव हैं। असंगत जानकारी में दिए मॉडल के भीतर कोई उत्तर संभव नहीं। किसी जानकारी का अभाव अप्रासंगिक भी हो सकता है, यदि उसकी घटना माँगी गई समाप्ति के बाद आती हो।
हल उदाहरण 5 समय-सारणी के दो अलग प्रश्न
स्थिति A: जुड़ने का समय नहीं दिया। A अकेले 12 घंटे और B अकेले 18 घंटे लेता है। A अकेले शुरू करता है, B बाद में जुड़कर अंत तक रहता है और A लगातार काम करता है। जुड़ने का समय, उससे पहले पूरे कार्य का भाग या अंतिम समाप्ति-समय नहीं दिया है। क्या कुल समय निश्चित रूप से निकाल सकते हैं?
पैनल 5 कथन के अनुकूल दो समय-सारणियाँ
| B जुड़ता है इतने समय बाद | A पहले ही करता है | साथ आगे का समय | कुल समय |
|---|---|---|---|
| 3 घंटे | 1/4 कार्य | (3/4)/(5/36) = 27/5 घंटे | 42/5 घंटे |
| 6 घंटे | 1/2 कार्य | (1/2)/(5/36) = 18/5 घंटे | 48/5 घंटे |
दोनों समय-सारणियाँ हर दी गई शर्त पूरी करती हैं, लेकिन कुल समय अलग है। इसलिए जानकारी एक निश्चित कुल समय के लिए अपर्याप्त है। इस प्रश्न में जुड़ने का समय या उस समय तक हुए कार्य की मात्रा उत्तर निर्धारित कर सकती है। “बाद में” का अर्थ अपने-आप आधा कार्य होने के बाद न मानें।
स्थिति B: कार्य पूरा होने के बाद जाने की घटना। यह उन्हीं अकेले दरों वाली अलग समय-सारणी है। दोनों साथ शुरू करते हैं; कार्य अधूरा हो तो ही B को 8 घंटे बाद जाना है। कार्य पहली बार कब पूरा होता है?
जब दोनों सक्रिय हैं, पूरा करने में 1/(5/36) = 36/5 घंटे = 7 घंटे 12 मिनट लगेंगे। यह 8 घंटे की घटना से पहले है। 36/5 घंटे पर रुकें। पहले 8 घंटे का कार्य लिखकर एक से अधिक कार्य न निकालें, फिर ऋण शेष को हल करने का प्रयास न करें। तय प्रस्थान पहली बार पूरा होने की इस गणना को प्रभावित ही नहीं करता।
रुकें और सही अगला चरण चुनें
- धन दर r वाले d घंटे के तय अंतराल में शेष कार्य R हो तो पूरे d घंटे लगाने से पहले किसकी तुलना करेंगे?
- A अकेले 5 घंटे में पूरा कर सकता है। वह अकेले शुरू करता है; काम बचा हो तो B को 6 घंटे बाद आना है। B की दर नहीं दी गई। क्या पहली बार पूरा होने का समय फिर भी निकाल सकते हैं?
प्रतिक्रिया:
- R/r की तुलना d से करें। R/r ≤ d हो तो कार्य उसी अंतराल में या ठीक उसके अंत में पूरा होगा; वहीं रुकें। R/r > d हो तो rd कार्य निकालें, R में से घटाएँ और अगले अंतराल पर जाएँ। बराबरी होने पर अतिरिक्त अंतराल नहीं चाहिए।
- हाँ, यदि A बिना विराम अपनी बताई स्थिर दर से काम करे: पहली समाप्ति 5 घंटे पर है, B के संभावित आने से पहले। उस घटना के लिए B की अज्ञात दर अप्रासंगिक है।
6 समय-सारणी हल करने की विधि
- पूरा कार्य और समय की शुरुआत तय करें
- बदलाव चिह्नित करें और हर अंतराल के सक्रिय कर्मी पहचानें
- अगली घटना से पहले कार्य पूरा होता है या नहीं जाँचें
- अंतराल का कार्य लिखें और शेष मात्रा आगे ले जाएँ
- प्रश्न के अनुसार अतिरिक्त या कुल समय ही दें
- सभी वास्तविक कार्य-अवधियों को योगदान के योग में रखकर जाँचें
- ऋण अवधियाँ अस्वीकार करें; आवश्यकता हो तो दो मान्य समय-सारणियों से जानकारी की कमी सिद्ध करें
अगले पाठ में यही लेखा टंकी में काम आएगा। पानी अंदर आने के साथ बाहर भी जा सकता है, इसलिए चिह्न और खाली तथा भरी होने की सीमाएँ जोड़नी होंगी।
स्वयं अभ्यास
कुंजी से पहले प्रयास करें। ये बिना समय-सीमा के सीखने के प्रश्न हैं: सही उत्तर का एक अंक, अन्यथा शून्य; ऋण अंकन या उत्तीर्ण सीमा नहीं। ये स्थानीय सीखने के नियम आधिकारिक RRB अंकन-योजना नहीं हैं।
- एक ही बाँटे जा सकने वाले कार्य में A अकेले 10 घंटे और B अकेले 15 घंटे लेता है। A पहले 2 घंटे अकेले काम करता है, फिर दोनों बिना विलंब अपनी अपरिवर्तित स्वतंत्र स्थिर दरों से काम करते हैं। A की शुरुआत से कुल समय क्या है?
A. 4 घंटे 48 मिनट
B. 6 घंटे 48 मिनट
C. 6 घंटे
D. 8 घंटे
- एक बाँटे जा सकने वाले कार्य में A अकेले 8 घंटे और B अकेले 12 घंटे लेता है। दोनों स्थिर स्वतंत्र दरों से 2 घंटे साथ काम करते हैं; फिर A चला जाता है और B अपरिवर्तित दर से काम करता रहता है। शुरुआत से कुल समय निकालें।
A. 7 घंटे
B. 10 घंटे
C. 24/5 घंटे
D. 9 घंटे
- छह समान कर्मी, प्रतिदिन 5 कार्य-घंटे काम करके एक बाँटे जा सकने वाले कार्य को 12 कार्य-दिन में पूरा कर सकते हैं। ऐसे 4 दिनों के बाद टीम में 10 समान कर्मी हो जाते हैं और प्रतिदिन 6 कार्य-घंटे काम होता है। प्रति-घंटा उत्पादकता अपरिवर्तित है, योगदान स्वतंत्र हैं और अतिरिक्त विलंब नहीं है। कितने और कार्य-दिन चाहिए?
A. 4
B. 8
C. 24/5
D. 6
- एक ही बाँटे जा सकने वाले कार्य में A अकेले 10 घंटे और B अकेले 15 घंटे लेता है। A शुरू करके लगातार काम करता है; B बाद में जुड़कर अंत तक रहता है। अपरिवर्तित स्वतंत्र स्थिर दरों पर A की शुरुआत के 8 घंटे बाद कार्य पूरा होता है। B कब जुड़ा?
A. A के 3 घंटे बाद
B. A के 4 घंटे बाद
C. A के 5 घंटे बाद
D. A के 8 घंटे बाद
- एक बाँटे जा सकने वाले कार्य में A अकेले 10 घंटे और B अकेले 15 घंटे लेता है। A पहले शुरू करता है; B केवल A की शुरुआत के बाद जुड़ सकता है और दोनों की धन स्थिर स्वतंत्र दरें बनी रहती हैं। A पूरा होने तक काम करता है। विवरण कहता है कि कार्य A की शुरुआत के केवल 5 घंटे बाद पूरा हो जाता है। कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. B, A के 2.5 घंटे बाद जुड़ा
B. इन शर्तों में बताया गया समाप्ति-समय असंभव है
C. B ठीक A के साथ शुरू हुआ
D. 5 घंटे देने वाले कई मान्य जुड़ने के समय हैं
- एक ही बाँटे जा सकने वाले कार्य में A अकेले 10 घंटे और B अकेले 15 घंटे लेता है; दरें स्थिर और स्वतंत्र हैं। A अकेले शुरू करता है, B बाद में जुड़कर अंत तक रहता है और A काम करता रहता है। जुड़ने का समय, उस समय तक हुआ कार्य या अंतिम समय नहीं दिया है। कुल समय का निश्चित उत्तर क्या है?
A. 6 घंटे
B. 6 घंटे 48 मिनट
C. 7 घंटे 36 मिनट
D. एक निश्चित कुल समय निर्धारित नहीं है
- एक बाँटे जा सकने वाले कार्य में A और B अकेले क्रमशः 10 घंटे और 15 घंटे लेते हैं। वे अपरिवर्तित धन स्वतंत्र स्थिर दरों से साथ शुरू करते हैं। कार्य बचा हो तो ही B, 7 घंटे बाद जाएगा। कार्य पहली बार कब पूरा होगा?
A. 6 घंटे
B. 7 घंटे
C. 8 घंटे
D. 10 घंटे
- चार कर्मी धन स्थिर स्वतंत्र दरों से एक बाँटे जा सकने वाले कार्य को 9 घंटे में पूरा करते हैं। वही चार अपनी अपरिवर्तित दरों पर शुरू से दो और कर्मियों के साथ काम करते हैं; सभी छह स्वतंत्र योगदान देते हैं और अतिरिक्त विलंब नहीं है। नए कर्मियों की दरें नहीं दी गई हैं। क्या नया पूरा करने का समय निश्चित है?
A. वह अवश्य 6 घंटे है
B. वह अवश्य 36/5 घंटे है
C. निश्चित समय नहीं; अतिरिक्त दरें चाहिए
D. वह अवश्य 9 घंटे ही रहेगा
उत्तर-कुंजी और व्याख्याएँ
- B; 2. D; 3. A; 4. C; 5. B; 6. D; 7. A; 8. C
- B सही है। A पहले 2/10 = 1/5 कार्य करता है। शेष 4/5 कार्य, 1/10 + 1/15 = 1/6 की दर से होता है और 24/5 और घंटे लगते हैं। कुल = 2 + 24/5 = 34/5 घंटे = 6 घंटे 48 मिनट। जाँच: (34/5)/10 + (24/5)/15 = 17/25 + 8/25 = 1। A में केवल अतिरिक्त समय है। C में दोनों को शुरू से साथ मानकर B का जुड़ने से पहले का योगदान गिना है। D में A के अकेले 10 घंटे से 2 घटाए हैं, जिससे B का वास्तविक योगदान और माँगा गया समय-आधार छूट गया है।
- D सही है। पहले अंतराल का कार्य = 2(1/8 + 1/12) = 5/12। शेष 7/12, B की दर 1/12 पर 7 और घंटे लेता है। कुल 9 घंटे। जाँच: A का योगदान 2/8 = 1/4 और B का 9/12 = 3/4। A में कुल के बजाय आगे का समय है। B में 12 − 2 करके A की पहले की सहायता भुला दी है और पूरा हुआ कार्य नहीं निकाला। C लगातार साथ काम करने का समय 1/(5/24) है; इस कार्यक्रम में A तब तक सक्रिय नहीं रहता।
- A सही है। पूरा योगदान = 6×5×12 = 360 कर्मी-घंटे; पूरा हुआ = 6×5×4 = 120; शेष = 240। नया दैनिक योगदान 10×6 = 60 है, इसलिए आगे के दिन 240/60 = 4। B में कुल दिन 4+4 = 8 हैं। C में 240/(10×5) = 24/5 करके पुराना पाँच-घंटे वाला दिन रखा गया है। D में पूरे 360 को नई दैनिक दर से भाग देकर पहले पूरा कार्य फिर गिना गया है। जाँच: 120 + 4×60 = 360।
- C सही है। A, 8/10 = 4/5 करता है; B को 1/5 करना है और (1/5)/(1/15) = 3 कार्य-घंटे चाहिए। वह 8−3 = 5 घंटे पर जुड़ता है। जाँच: 8/10 + (8−5)/15 = 1 और 0<5<8। A में B की सक्रिय अवधि को उसका शुरू होने का समय समझा है। B में कार्य-संतुलन के बिना आधे समय पर जुड़ना मान लिया है; उससे 8/10 + 4/15 = 16/15 कार्य होगा। D में B को कोई सक्रिय समय नहीं मिलता और केवल A का 4/5 कार्य होता है।
- B सही है। A, 5/10 = 1/2 कार्य करता है। दूसरे आधे के लिए B को 7.5 कार्य-घंटे चाहिए, इसलिए जुड़ने का समय 5−7.5 = −2.5 घंटे होगा, जो अनुमत कार्यक्रम से बाहर है। साथ शुरू करने पर भी 1/(1/10+1/15) = 6 घंटे चाहिए। A ने ऋण चिह्न हटा दिया है। C से भी 6 घंटे मिलते हैं, 5 नहीं। D में विरोध को जानकारी की कमी कहा है: कोई अनुमत जुड़ने का समय बताया परिणाम नहीं देता, इसलिए कई ऐसे समय नहीं हो सकते।
- D सही है। 2 घंटे बाद जुड़ने पर 4/5 कार्य शेष है, जिसमें (4/5)/(1/6) = 24/5 और घंटे लगते हैं; कुल 34/5 घंटे = 6 घंटे 48 मिनट। 4 घंटे बाद जुड़ने पर 3/5 शेष है और 18/5 और घंटे चाहिए; कुल 38/5 घंटे = 7 घंटे 36 मिनट। दोनों कथन के अनुकूल हैं, पर अलग हैं। B और C संभव उत्तर हैं, आवश्यक निश्चित उत्तर नहीं। A में दोनों को साथ शुरू माना है, जबकि B बाद में जुड़ता है। जुड़ने का समय या उस समय की समतुल्य कार्य-स्थिति चाहिए।
- A सही है। संयुक्त दर 1/10+1/15 = 1/6 कार्य प्रति घंटा है, इसलिए पहली समाप्ति 6 घंटे पर है। 6<7 होने से पूरा होने से पहले B गया नहीं है। B में तय घटना को समाप्ति मान लिया है। C में कार्य पूरा होने के बाद भी अगला अंतराल लगाया है; 6 घंटे पर कोई कार्य शेष नहीं है। D में B का योगदान छोड़कर A का अकेले समय दिया है। जाँच: 6/10 + 6/15 = 1। पहली बार पूरा होने के इस प्रश्न में सात घंटे का उत्पादन न लगाएँ।
- C सही है। एक संभव मॉडल में हर पुराने कर्मी की दर 1/36 कार्य प्रति घंटा है। हर नए कर्मी की दर भी 1/36 हो तो कुल 6/36 और समय 6 घंटे है। हर नए की दर 1/72 हो तो कुल दर 4/36+2/72 = 5/36 और समय 36/5 घंटे है। दोनों मॉडल पुराने चार कर्मियों के 9 घंटे को बनाए रखते हैं। A और B में एक संभव मॉडल को आवश्यक मान लिया है। D दो धन स्वतंत्र योगदानों को छोड़ता है; उनसे समय 9 घंटे से कम होता है, लेकिन उनके अज्ञात मान के कारण सटीक समय नहीं मिलता। केवल संख्या समान होने से दरें समान सिद्ध नहीं होतीं।
गलती के अनुसार दोहराव चुनें
- प्रश्न 1–2: अंतराल का लेखा और अतिरिक्त तथा कुल समय का अंतर दोहराएँ
- प्रश्न 3: कर्मी-घंटों की सारणी और प्रतिदिन बदले घंटे दोहराएँ
- प्रश्न 4–5: जुड़ने के समय का अर्थ और अनुमत परास दोहराएँ
- प्रश्न 6 और 8: निश्चित उत्तर कहने से पहले दो मान्य मॉडल बनाएँ
- प्रश्न 7: पहली समाप्ति के समय की अगली तय घटना से तुलना करें
संबंधित प्रश्न बिना कुंजी फिर हल करें और हर अस्वीकार किए विकल्प का कारण दें।
स्रोत और सीमा
RRB CEN 09/2025 §14.1, मुद्रित और भौतिक पृ.28 में समय और कार्य तथा पाइप और टंकी का उल्लेख है। यह विषय-दायरे का प्रमाण है, प्रश्न-आवृत्ति की भविष्यवाणी नहीं। सूची उदाहरणात्मक है और आवश्यक नहीं कि पूर्ण हो; यहाँ बाद के संशोधनों की जाँच पूरी नहीं हुई है।
NCERT गणित प्रकाश कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3 §3.6, मुद्रित पृ.63–68 निश्चित कार्य के समानुपाती तर्क और संयुक्त दरों का आधार देता है। आधिकारिक आरंभिक पृष्ठों के PDF पृ.2 से प्रथम संस्करण दिसंबर 2025 की पुष्टि होती है। NIOS माध्यमिक गणित 211, अध्याय 5 §§5.2–5.3, मुद्रित पृ.142–146 सरल संतुलन-समीकरण बनाने और जाँचने का आधार है; उपलब्ध अध्याय से उसका प्रकाशन-वर्ष स्थापित नहीं होता। यहाँ समय-सारणी, चिह्न सहित प्रवाह तथा संभव होने और सीमा पर रुकने की जाँच समझाकर दिए गए विस्तार हैं, आधिकारिक नामित प्रश्न-प्रकारों का दावा नहीं। सभी व्याख्याएँ, पैनल, उदाहरण और अभ्यास मौलिक हैं।
बारी-बारी उपस्थिति या वाल्व के चक्र, मजदूरी बाँटना, कर्मियों की संख्या पूर्णांक करने के नियम, अनेक अज्ञात वाले समीकरण और दबाव के साथ बदलते प्रवाह के भौतिक नियम इस मॉड्यूल से बाहर हैं।
उदाहरण से समझें
एक निश्चित लंबाई की प्रगति-पट्टी पर स्थिर गति से रंग भरे जाने की कल्पना करें। पहले अंतराल में एक कर्मी रंग भरता है; अगले में सहायक अलग अधूरे भागों पर भी रंग भरता है। जुड़ने के समय पहले रंगा भाग रंगा ही रहता है। केवल बिना रंगे भाग के घटने की दर बदलती है।
लेखा वास्तविक योगदानों का रिकॉर्ड है। वह देर से आए सहायक को पहले का कार्य देने या चले गए कर्मी का बाद का योगदान गिनने से रोकता है। पूरी पट्टी रंगते ही रुकने को भी बताता है, भले ही बाद में कोई बदलाव तय हो।
तुलना में बराबर टुकड़े बराबर कार्य-मात्राएँ बताते हैं और दो कर्मी एक ही भाग को दो बार नहीं रंगते। वास्तविक कार्य में तैयारी, क्रम की शर्तें या जाँच आवश्यक हो सकती हैं। उनके लिए दी गई जानकारी चाहिए; बाँटे जा सकने वाले कार्य की सरल पट्टी में वे अपने-आप शामिल नहीं हैं।
सूत्र और नियम
- एक निश्चित पूरा कार्य और समय की स्पष्ट शुरुआत लें
- जुड़ने, जाने या कार्य-घंटे बदलने पर अंतराल बाँटें; सक्रिय कर्मी, दर, अवधि और कार्य लिखें
- किया गया कार्य बना रहता है। शेष कार्य = पूरा कार्य − पहले किया गया कार्य
- धन दर वाले हर अंतराल में पूरा तय समय लगाने से पहले शेष कार्य / दर की तुलना अगली घटना तक के समय से करें
- कार्य उसी अंतराल में या ठीक उसके अंत में पूरा हो तो वहीं रुकें; ऋण शेष या अनावश्यक अगला अंतराल न बनाएँ
- बदलाव के बाद का अतिरिक्त समय, मूल शुरुआत से कुल समय नहीं है
- कर्मी-घंटे = कर्मी × वास्तविक कार्य-घंटे, समान अपरिवर्तित प्रति-घंटा उत्पादकता में ही कार्य का पैमाना हैं। दिन हों तो बताए गए प्रतिदिन कार्य-घंटे शामिल करें
- कुल अवधि T में B, x समय पर जुड़े तो B का कार्य-समय T − x है। योगदानों का संतुलन बनाएँ और उत्तर मूल कथन में रखें
- सभी अवधियाँ शून्य या धन हों और जुड़ने या जाने की दी गई शर्तों में सही बैठें
- असंगत जानकारी में कोई मान्य कार्यक्रम नहीं। अपर्याप्त जानकारी में एक से अधिक हैं; अनिश्चितता बताते समय दो उदाहरण दें
- कोई कर्मी पहली समाप्ति के बाद आने वाला हो तो उसकी अज्ञात दर अप्रासंगिक हो सकती है
- कोई कर्मी पहले चला जाए तो पूरे समय साथ काम करने वाली अकेले-समय की सीमा न लगाएँ
इस पाठ के नोट्स
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