कार्य की इकाइयाँ संयुक्त दर और कार्य दक्षता

आप क्या सीखेंगे

पूरा करने का समय बताता है कि पूरे कार्य में कितना समय लगता है। कार्य-दर बताती है कि वास्तविक कार्य-समय की एक इकाई में कितना कार्य होता है। दोनों में अंतर आवश्यक है: दो लोग साथ काम करें तो उनका किया कार्य जुड़ता है, उनके अकेले पूरा करने के समय नहीं।

इस पाठ के अंत तक आप पूरा कार्य और दर की इकाइयाँ स्पष्ट कर सकेंगे, आंशिक कार्य से दर निकाल सकेंगे, स्थिर स्वतंत्र दरें जोड़ सकेंगे, किसी एक कर्मी का अज्ञात योगदान निकाल सकेंगे और एक ही कार्य के लिए कार्य-दक्षता तथा समय की तुलना कर सकेंगे। आप यह भी जाँचेंगे कि दी गई जानकारी से बताया गया उत्तर निकल सकता है या नहीं।

इस पाठ में संख्याओं और अनुपात वाले पाठों की सटीक भिन्नें, तुल्य अनुपात और व्युत्क्रम समानुपात काम आएँगे। यहाँ “कार्य-दक्षता” का अर्थ प्रति इकाई वास्तविक कार्य-समय में पूरा किया गया कार्य है। इसका अर्थ काम की गुणवत्ता, शारीरिक मेहनत, व्यक्ति का मूल्य या ऊर्जा-दक्षता नहीं है। बदलती टीम और टंकी में प्रवाह अगले दो पाठों में आएँगे।

1 पहले के साधन याद करें

प्रतिक्रिया देखने से पहले हल करें। ये बिना अंक वाले दोहराव के प्रश्न हैं, प्रवेश-परीक्षा नहीं।

1. 1/12 + 1/18 निकालें।
2. (3/4) ÷ (5/36) निकालें।
3. 0.4 घंटे को मिनट में बदलें।
4. एक ही निश्चित कार्य में समान दर वाले छह कर्मी 10 कार्य-घंटे लेते हैं। अपरिवर्तित स्वतंत्र दरों पर बारह ऐसे कर्मी 5 घंटे क्यों लेंगे?

प्रतिक्रिया:

1. समान आकार के भाग लें: 1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36।
2. भिन्न से भाग देने के लिए उसके व्युत्क्रम से गुणा करें: (3/4) × (36/5) = 27/5।
3. एक घंटे में 60 मिनट हैं, इसलिए 0.4 × 60 = 24 मिनट। दशमलव के बाद के अंक घंटे का भिन्नात्मक भाग बताते हैं, सीधे मिनटों की संख्या नहीं।
4. दी गई समान प्रति-घंटा उत्पादकता पर कार्य के लिए 6 × 10 = 60 कर्मी-घंटे चाहिए। बारह कर्मी एक घंटे में 12 कर्मी-घंटों का योगदान देते हैं, इसलिए 60/12 = 5 घंटे। दरें अलग हों या कर्मी एक-दूसरे के काम में बाधा डालें तो केवल संख्या से यह निष्कर्ष नहीं निकलेगा।

भिन्नों में कठिनाई हो तो भिन्न दशमलव और सटीक गणना दोहराएँ। चौथी व्याख्या में कठिनाई हो तो प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समानुपात पर लौटें। यहाँ गणना के साथ इकाइयाँ भी लिखेंगे।

2 दर निकालने से पहले पूरा कार्य तय करें

एक पूरे, अपरिवर्तित कार्य को 1 कार्य मानें। उसका आधा भाग 1/2 कार्य है। यह मापने का चुनाव है: एक कार्य का अर्थ तय खेप पैक करना, तय दीवार रंगना या कोई निश्चित काम पूरा करना हो सकता है। भिन्न तभी जोड़ें जब वे उसी पूरे कार्य के भाग हों।

स्थिर दर का अर्थ है कि वास्तविक कार्य-समय के समान अंतरालों में समान मात्रा में काम होता है। यदि 2 घंटे में 1 घंटे से दुगुना कार्य हो, तो किए कार्य को कार्य-समय से भाग देने पर एक घंटे का कार्य मिलता है:

कार्य-दर = पूरा किया गया कार्य ÷ वास्तविक कार्य-समय

प्रति घंटे के इस कार्य को कार्य-घंटों की संख्या से गुणा करने पर किया गया कार्य मिलता है। इसलिए कार्य = दर × वास्तविक कार्य-समय; आवश्यक कार्य को धन दर से भाग देने पर आवश्यक समय मिलता है। ये एक ही मॉडल को अलग दिशाओं से बताते हैं।

मॉडल की शर्तें हैं। इस पाठ में निश्चित कार्य कर्मियों के बीच बाँटा जा सकता है। हर कर्मी की दर स्थिर है। योगदान स्वतंत्र हैं और हर योगदान एक बार गिना जाता है। जब तक प्रश्न अलग से न कहे, तैयारी, विराम, तालमेल या बाधा में अतिरिक्त समय नहीं लगता। ये गणितीय धारणाएँ हैं, हर वास्तविक कार्यस्थल के बारे में वादा नहीं। कोई प्रश्न जानबूझकर कोई शर्त अज्ञात छोड़े तो उसे अपनी ओर से न मानें।

हल उदाहरण 1 आंशिक कार्य से दर निकालें

एक कर्मी स्थिर दर से 3 कार्य-घंटों में एक निश्चित कार्य का 3/8 भाग पूरा करता है। कार्य-दर, शुरू से पूरा कार्य करने का समय और शेष कार्य के लिए अतिरिक्त समय निकालें।

दिए गए 3 घंटे, 3/8 कार्य के लिए हैं, पूरे कार्य के लिए नहीं। दर = (3/8) ÷ 3 = 1/8 कार्य प्रति घंटा। इस दर से पूरा कार्य करने में 1 ÷ (1/8) = 8 घंटे लगते हैं।

पैनल 1 एक कार्य के आठ बराबर भाग

कार्य का बराबर भाग	1	2	3	4	5	6	7	8
3 घंटे बाद स्थिति	पूरा	पूरा	पूरा	शेष	शेष	शेष	शेष	शेष
हर भाग का आकार	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

पैनल में 3/8 पूरा और 5/8 शेष है। यह कार्य की पट्टी है, आठ अलग आकार के वास्तविक कामों का चित्र नहीं। 1/8 कार्य प्रति घंटे की दर से शेष 5/8 भाग को (5/8) ÷ (1/8) = 5 और घंटे चाहिए। कुल बीता समय 3 + 5 = 8 घंटे है।

मात्राएँ फिर बनाकर जाँचें: 3 × 1/8 = 3/8 और 8 × 1/8 = 1। दर 1/3 कार्य प्रति घंटा लेने का अर्थ पहले तीन घंटों को पूरे कार्य का समय मान लेना होगा।

इसी कार्य को 80 बराबर कार्य-इकाइयों का नाम दे सकते हैं। तब कर्मी प्रति घंटे 10 इकाइयाँ पूरा करेगा। दर का संख्यात्मक मान बदलता है, लेकिन समय 80/10 = 8 घंटे ही रहता है। इकाई चुनने से उत्तर नहीं बदल सकता।

रुकें और समझाएँ

1. 1/6 कार्य प्रति घंटे की दर से 2 घंटे में कितना कार्य होगा? शेष भाग में कितना समय लगेगा?
2. उन 2 घंटों के बाद दर बदल जाए तो क्या केवल पुरानी दर से अतिरिक्त समय निकाल सकते हैं?

प्रतिक्रिया: 2 × 1/6 = 1/3 कार्य पूरा और 2/3 शेष है। अपरिवर्तित दर पर (2/3)/(1/6) = 4 और घंटे लगेंगे। लेकिन आगे की दर बदलती हो और नई दर न दी गई हो तो चार घंटे का अनुमान उचित नहीं। एक अंतराल की औसत दर दूसरे अंतराल को निर्धारित नहीं करती।

3 उसी समयांतराल में किए कार्य जोड़ें

हर कर्मी से पूछने की कल्पना करें, “अगले एक घंटे में इसी कार्य का कितना भाग करोगे?” दोनों सक्रिय हों और स्वतंत्र योगदान दें तो वे मात्राएँ जोड़ सकते हैं। अकेले कार्य पूरा करने का समय, कार्य की मात्रा नहीं है; इसलिए उन समयों को जोड़ना या उनका औसत लेना इस प्रश्न का उत्तर नहीं देता।

हल उदाहरण 2 दो कर्मी और दो तुल्य निरूपण

एक ही बाँटे जा सकने वाले कार्य को A अकेले 12 घंटे और B अकेले 18 घंटे में पूरा करता है। दोनों साथ शुरू करते हैं और अंत तक अपनी-अपनी स्थिर स्वतंत्र दर से काम करते हैं।

पैनल 2 साथ काम करने का एक घंटा

योगदान देने वाला	प्रति घंटे कार्य की दर	यदि 1 कार्य में 36 बराबर इकाइयाँ हों
A	1/12 = 3/36	3 इकाइयाँ प्रति घंटा
B	1/18 = 2/36	2 इकाइयाँ प्रति घंटा
A और B साथ	5/36	5 इकाइयाँ प्रति घंटा

एक घंटे में दोनों मिलकर 5/36 कार्य करते हैं। आवश्यक समय = 1 ÷ (5/36) = 36/5 घंटे। दाएँ स्तंभ से भी यही उत्तर है: 36 इकाइयाँ ÷ 5 इकाइयाँ प्रति घंटा = 36/5 घंटे। हमने 36 इसलिए चुना क्योंकि यह 12 और 18 का सुविधाजनक समापवर्त्य है। कोई दूसरा समापवर्त्य भी काम करेगा; वह बराबर कार्य-इकाइयों का नाम बदल देगा।

सटीक रूपांतरण करें: 36/5 = 7 + 1/5 घंटे। घंटे का पाँचवाँ भाग (1/5) × 60 = 12 मिनट है। इसलिए उत्तर 7 घंटे 12 मिनट है, 7 घंटे 20 मिनट नहीं।

उसी कुल समय में दोनों के योगदान जाँचें:

• A का कार्य = (1/12) × (36/5) = 3/5
• B का कार्य = (1/18) × (36/5) = 2/5
• दोनों का योग 1 कार्य है

जब दोनों धन स्वतंत्र दरों से पूरे समय काम करें, संयुक्त समय दोनों के अकेले लिए समय से कम होना चाहिए। यहाँ 36/5, 12 और 18 दोनों से कम है। समयों का औसत 15 घंटे इस जाँच में गलत है। आगे किसी प्रश्न में कोई कर्मी पहले चला जाए तो यह सीमा बिना शर्त लागू न करें।

छोटा सूत्र लगाने से पहले रुकें इन्हीं दोनों कर्मियों के साथ शुरू करने पर केवल आधा कार्य शेष हो। रिक्त स्थान भरें:

• आवश्यक मात्रा = □ कार्य
• संयुक्त दर = □ कार्य प्रति घंटा
• आवश्यक समय = □ घंटे

प्रतिक्रिया: मात्रा 1/2 है, दर 5/36 ही है, और समय = (1/2)/(5/36) = 18/5 घंटे = 3 घंटे 36 मिनट। उसी दर पर आधे कार्य में आधा समय लगता है। पूरे कार्य का सूत्र बिना बदलाव लगाने से कार्य अधिक गिना जाएगा।

एक ही पूरे कार्य के धन अकेले समय a और b हों तो ऊपर के तर्क से t = 1 ÷ (1/a + 1/b) = ab/(a + b) मिलता है। यह समझाकर निकाला गया संक्षिप्त रूप है, शर्तें पढ़ने का विकल्प नहीं। यह तब लागू है जब दोनों अंत तक अपरिवर्तित, जोड़ी जा सकने वाली दरों से काम करें; आंशिक कार्य के लिए इसे बदलना होगा। दर वाली विधि इकाइयाँ और योगदान भी स्पष्ट रखती है।

गणितीय आधार: NCERT गणित प्रकाश कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3 §3.6, मुद्रित पृ.66–67 में पूरे कार्य की इकाई और असमान दर वाले कर्मियों की संयुक्त दर विकसित की गई है। यहाँ की सारणियाँ, उदाहरण और व्याख्याएँ मौलिक हैं।

4 अज्ञात कर्मी का योगदान निकालें

यदि एक ही घंटे में संयुक्त योगदान और एक व्यक्ति का योगदान ज्ञात हों, तो दूसरे का योगदान घटाकर निकालें। उनके पूरा करने के समयों को घटाने का ऐसा अर्थ नहीं है।

हल उदाहरण 3 B की दर और शर्तों की जाँच

A और B मिलकर एक निश्चित कार्य 6 घंटे में पूरा करते हैं। A अकेले 10 घंटे लेता है। दोनों की दरें धन, स्थिर और स्वतंत्र हैं। B का अकेले लिया समय निकालें।

संयुक्त दर = 1/6 कार्य प्रति घंटा। A की दर = 1/10। इसलिए B की दर = 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15 कार्य प्रति घंटा। B अकेले 1 ÷ (1/15) = 15 घंटे लेगा।

जाँच: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6। साथ काम करने का समय दोनों के अकेले समय से कम है: 6, 10 और 15 दोनों से कम है। घटाव 10 − 6 = 4 से B की दर या अकेले समय नहीं मिलता।

अब अलग दावा जाँचें: A अकेले 10 घंटे ही लेता है, पर उन्हीं धन स्वतंत्र दरों की शर्तों में दोनों का संयुक्त समय 12 घंटे बताया गया है। इससे B की दर 1/12 − 1/10 = −1/60 कार्य प्रति घंटा निकलेगी। यह धन योगदान की शर्त का विरोध करती है। यह इस मॉडल में असंगत जानकारी है, ऋण समय में काम पूरा करने वाला कर्मी नहीं।

यदि संयुक्त समय और A का अकेले समय दोनों ठीक 10 घंटे हों, तो B की निकाली गई दर शून्य होगी। शून्य दर से कोई प्रगति नहीं होती, इसलिए अशून्य कार्य के लिए उसका कोई सीमित अकेले पूरा करने का समय नहीं होगा। यह B की दर धन होने की शर्त का भी विरोध है। समय निकालने के लिए कभी शून्य से भाग न दें।

रुकें और वर्गीकृत करें A अकेले 9 घंटे लेता है। A और B का संयुक्त समय 5 घंटे बताया गया है। क्या निकाली गई B की दर का चिह्न सही होगा? यदि संयुक्त समय 11 घंटे बताया जाए तो?

प्रतिक्रिया: 1/5 − 1/9 = 4/45 धन है; B का अकेले समय 45/4 घंटे होगा। लेकिन 1/11 − 1/9 = −2/99 ऋण है, इसलिए दूसरा दावा धन योगदान वाले मॉडल में गलत है। यहाँ आवश्यक संख्याएँ मौजूद हैं; समस्या विरोध की है, जानकारी के अभाव की नहीं।

5 कार्य-दक्षता एक ही कार्य की दरों की तुलना है

एक ही निश्चित कार्य W के लिए दर × अकेले लिया समय = W। दर को किसी धन गुणक से गुणा करें तो समय उसी गुणक से भाग होगा। अनुपात वाले पाठ में इसी व्युत्क्रम संबंध का अध्ययन किया था।

हल उदाहरण 4 दर और अकेले समय की तुलना

एक ही कार्य के लिए A और B की कार्य-दरों का अनुपात 3:2 है। B अकेले 15 घंटे लेता है। अपरिवर्तित स्वतंत्र दरों पर A का अकेले लिया समय और दोनों का संयुक्त समय निकालें।

B की दर 1/15 कार्य प्रति घंटा है। A की दर (3/2) × (1/15) = 1/10 कार्य प्रति घंटा है, इसलिए A अकेले 10 घंटे लेता है। संयुक्त दर 1/10 + 1/15 = 1/6 होने से दोनों साथ 6 घंटे लेते हैं।

पैनल 3 बराबर कार्य से जुड़े उलटे अनुपात

तुलना, हर बार A से B	A	B	A:B
दर	1/10 कार्य प्रति घंटा	1/15 कार्य प्रति घंटा	3:2
एक कार्य का अकेले समय	10 घंटे	15 घंटे	2:3
समान 2 घंटों में किया कार्य	1/5 कार्य	2/15 कार्य	3:2

दर का अनुपात और समान समय के उत्पादन का अनुपात एक है। उसी कार्य के लिए समय का अनुपात उलट जाता है। गुणनफल (1/10) × 10 और (1/15) × 15 दोनों एक कार्य हैं।

स्पष्ट आधार वाली प्रतिशत तुलना एक अलग कार्य-तुलना में B, 12 घंटे लेता है और A की दर B की दर से 25% अधिक है। “अधिक” का आधार B की दर है। A की दर का गुणक 1 + 25/100 = 5/4 है, इसलिए A के समय का गुणक इसका व्युत्क्रम 4/5 है। A का समय = 12 × 4/5 = 48/5 घंटे = 9 घंटे 36 मिनट।

समय में कमी 1 − 4/5 = 1/5, यानी 20% है। 25% अधिक दर का अर्थ 25% कम समय नहीं। जाँच: दर का गुणक × समय का गुणक = (5/4) × (4/5) = 1, जिससे कार्य समान रहता है। “25% अधिक कार्य-दक्ष” कहा जाए तो उसका अर्थ प्रति इकाई समय में किया गया कार्य स्पष्ट होना चाहिए।

रुकें और तुलना का आधार समझाएँ

1. A की दर B की दुगुनी है। उसी कार्य में B, 14 घंटे लेता है। A का अकेले समय क्या होगा?
2. क्या केवल दरों के अनुपात A:B = 3:2 से A का वास्तविक अकेले लिया समय निकाल सकते हैं?
3. A, 12 मिनट में 60 लेबल तैयार करता है; B, 15 मिनट में 90 लेबल। स्थिर दरों पर कौन प्रति मिनट अधिक लेबल तैयार करता है?

प्रतिक्रिया:

1. सात घंटे: एक ही कार्य के लिए दुगुनी दर का अर्थ आधा समय है।
2. नहीं। दरें 1/10 और 1/15 हों तो अकेले समय 10 और 15 घंटे हैं; दरें 1/20 और 1/30 भी 3:2 के अनुपात में हैं, लेकिन समय 20 और 30 घंटे हैं। एक वास्तविक दर या अकेले समय जैसा माप-आधार चाहिए।
3. A की दर 60/12 = 5 लेबल प्रति मिनट और B की दर 90/15 = 6 है। लिखा समय अधिक होने पर भी B की दर अधिक है, क्योंकि कार्य-मात्राएँ अलग हैं। सीधे पूरा करने के समय तभी तुलना करें जब कार्य-मात्रा समान हो और संबंधित शर्तें पूरी हों।

6 अर्थ बनाए रखने वाली विधि

1. अपरिवर्तित पूरा कार्य और आवश्यक मात्रा पहचानें
2. सभी समय एक इकाई में रखें और सक्रिय अंतराल पहचानें
3. हर दर को प्रति इकाई वास्तविक कार्य-समय की मात्रा के रूप में निकालें
4. साथ सक्रिय स्वतंत्र दरें जोड़ें, या ज्ञात कुल योगदान से ज्ञात योगदान घटाएँ
5. आवश्यक कार्य को मान्य धन दर से भाग दें
6. इकाई, चिह्न, परिमाण और योगदानों का योग जाँचें

अगले पाठ में समय के साथ सक्रिय कर्मी बदलेंगे। जब प्रश्न में अलग कार्यक्रम हो तो आज की साथ शुरू और साथ समाप्त करने की शर्तें अपने-आप न मानें।

स्वयं अभ्यास

उत्तर-कुंजी से पहले सभी प्रश्न हल करें। ये बिना समय-सीमा के सीखने के प्रश्न हैं: सही उत्तर का एक अंक, अन्यथा शून्य; ऋण अंकन या उत्तीर्ण होने की सीमा नहीं। ये स्थानीय अभ्यास-नियम RRB परीक्षा के अंकन-नियम नहीं हैं।

1. एक कर्मी स्थिर दर से 2.5 कार्य-घंटों में एक निश्चित कार्य का 5/12 भाग पूरा करता है। कौन-सा युग्म सही दर और उसी दर पर शेष कार्य का अतिरिक्त समय बताता है?

A. 1/6 कार्य प्रति घंटा; 3 घंटे 30 मिनट

B. 2/5 कार्य प्रति घंटा; 3 घंटे 30 मिनट

C. 1/6 कार्य प्रति घंटा; 6 घंटे

D. 1/6 कार्य प्रति घंटा; 3 घंटे 5 मिनट

2. A अकेले एक बाँटे जा सकने वाले कार्य को 8 घंटे और B अकेले 12 घंटे में पूरा करता है। दोनों साथ शुरू करके बिना विलंब अपनी अपरिवर्तित स्वतंत्र स्थिर दरों से अंत तक काम करते हैं। कितना समय लगेगा?

A. 10 घंटे

B. 4 घंटे 8 मिनट

C. 4 घंटे 48 मिनट

D. 20 घंटे

3. एक ही निश्चित कार्य में A अकेले 15 घंटे और B अकेले 12 घंटे लेता है। दोनों अंत तक अपनी अपरिवर्तित स्वतंत्र स्थिर दरों से साथ काम करते हैं। पूरे कार्य को 60 बराबर कार्य-इकाइयाँ मानें। कौन-सी पंक्ति A की इकाइयाँ प्रति घंटा, B की इकाइयाँ प्रति घंटा और संयुक्त समय बताती है?

A. 15; 12; 20/9 घंटे

B. 4; 5; 20/3 घंटे

C. 1/15; 1/12; 20/3 घंटे

D. 4; 5; 9 घंटे

4. A और B मिलकर एक निश्चित कार्य 4 घंटे में पूरा करते हैं। A अकेले 6 घंटे लेता है। दोनों की स्थिर धन दरें स्वतंत्र हैं और जुड़ती हैं। B का अकेले कार्य पूरा करने का समय क्या है?

A. 2 घंटे

B. 10 घंटे

C. 1/12 घंटे

D. 12 घंटे

5. A अकेले एक कार्य 6 घंटे में पूरा करता है। एक विवरण के अनुसार A और B दोनों पूरे समय धन, अपरिवर्तित और स्वतंत्र दरों से काम करें तो 7 घंटे लगते हैं। क्या निष्कर्ष निकलता है?

A. B अकेले अवश्य 42 घंटे लेगा

B. विवरण दी गई दरों के मॉडल का विरोध करता है

C. B अकेले अवश्य 13 घंटे लेगा

D. B अकेले अवश्य 1 घंटा लेगा

6. एक ही कार्य के लिए A:B की कार्य-दरें 5:3 के अनुपात में हैं। B अपनी स्थिर दर पर अकेले 20 घंटे लेता है। A अकेले कितना समय लेगा?

A. 100/3 घंटे

B. 18 घंटे

C. 12 घंटे

D. 8 घंटे

7. A वास्तविक कार्य-समय के हर घंटे में B से 20% अधिक कार्य पूरा करता है। उसी कार्य में B, 15 घंटे लेता है। दोनों की अकेले दरें स्थिर हैं। A का अकेले समय निकालें।

A. 12 घंटे 30 मिनट

B. 12 घंटे

C. 18 घंटे

D. 15 घंटे 20 मिनट

8. एक ही निश्चित कार्य के लिए A:B की स्थिर कार्य-दरों का अनुपात 7:4 है। कोई वास्तविक दर या अकेले लिया समय नहीं दिया गया है। A के अकेले समय के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

A. वह अवश्य 4 घंटे है

B. वह अवश्य 7 घंटे है

C. वह अवश्य 11/2 घंटे है

D. उसे निश्चित रूप से नहीं निकाला जा सकता

उत्तर-कुंजी और व्याख्याएँ

1. A; 2. C; 3. B; 4. D; 5. B; 6. C; 7. A; 8. D

1. A सही है। 2.5 घंटे = 5/2 घंटे। दर = (5/12)/(5/2) = 1/6 कार्य प्रति घंटा। शेष कार्य 7/12 है, इसलिए अतिरिक्त समय = (7/12)/(1/6) = 7/2 घंटे = 3 घंटे 30 मिनट। जाँच: 5/12 + (1/6)(7/2) = 1। B में 1/2.5 = 2/5 लेकर 2.5 घंटे को पूरे कार्य का समय मान लिया गया है। C में अतिरिक्त समय के बजाय पूरे कार्य का समय 6 घंटे दिया है। D में आधे घंटे को 5 मिनट समझा गया है; वह 30 मिनट है।

2. C सही है। दर = 1/8 + 1/12 = 5/24 कार्य प्रति घंटा। समय = 24/5 घंटे = 4.8 घंटे = 4 घंटे 48 मिनट। योगदान (24/5)/8 = 3/5 और (24/5)/12 = 2/5 हैं, जिनका योग 1 है। A में 8 और 12 का औसत लिया है; D में उन्हें जोड़ा है। दोनों कार्य-योगदानों का योग नहीं हैं और दोनों अकेले समयों से कम होने की जाँच में गलत हैं। B में 0.8 घंटे को 8 मिनट समझा है, जबकि 0.8 × 60 = 48 मिनट।

3. B सही है। A प्रति घंटे 60/15 = 4 चुनी गई इकाइयाँ और B, 60/12 = 5 इकाइयाँ पूरा करता है। संयुक्त दर 9 इकाइयाँ प्रति घंटा है, इसलिए समय 60/9 = 20/3 घंटे, यानी 6 घंटे 40 मिनट है। जाँच: 9 × 20/3 = 60। A में अकेले समयों को इकाई-दर मानकर उनके योग से भाग दिया गया है। C की दरें पूरे कार्य प्रति घंटे में हैं, जबकि प्रश्न चुनी गई इकाइयाँ प्रति घंटे पूछता है; केवल समय सही होने से पूरी पंक्ति सही नहीं होती। D में संयुक्त दर के संख्यात्मक मान 9 को समय मान लिया है, जबकि आवश्यक कार्य को उससे भाग देना चाहिए।

4. D सही है। B की दर = 1/4 − 1/6 = 1/12 कार्य प्रति घंटा, इसलिए B का समय 12 घंटे है। जाँच: 1/6 + 1/12 = 1/4। A में पूरा करने के समय 6 − 4 घटाए हैं; B में जोड़े हैं। कोई भी प्रक्रिया अज्ञात प्रति-घंटा योगदान नहीं निकालती। C में दर के संख्यात्मक मान 1/12 को घंटे लिखा है; पूरे कार्य के समय के लिए उसका व्युत्क्रम चाहिए।

5. B सही है। निकाली गई B की दर 1/7 − 1/6 = −1/42 कार्य प्रति घंटा है, धन नहीं। जब दोनों अंत तक धन कार्य जोड़ें तो जोड़ी A अकेले से धीमी भी नहीं हो सकती। A में ऋण चिह्न हटाकर 42 घंटे कहा है, लेकिन उससे संयुक्त समय 21/4 घंटे होगा, 7 घंटे नहीं। C में दर का अर्थ बनाए बिना 6 + 7 जोड़ा है। D में 7 − 6 घटाया है; एक घंटे वाला B जोड़ी को बहुत तेज करेगा और संयुक्त समय 6/7 घंटे होगा। दी गई शर्तों में जानकारी असंगत है; यह ऋण वास्तविक समय का प्रमाण नहीं।

6. C सही है। A की दर 5/3 गुनी है, इसलिए उसी कार्य का समय B के समय का 3/5 होगा: 20 × 3/5 = 12 घंटे। दूसरी विधि: A की दर = (5/3)(1/20) = 1/12। समय का अनुपात 12:20 = 3:5 है, जो 5:3 का उलटा है। A में दर का गुणक समय पर सीधे लगा दिया गया है, जिससे तेज कर्मी अधिक समय लेता है। B में अनुपात-पदों का अंतर 5 − 3, 20 से घटाया गया है; इसका कोई इकाई या समानुपाती आधार नहीं। D में समयों का अंतर 20 − 12 = 8 उत्तर दे दिया है; 8 घंटे से दरों का अनुपात 20:8 = 5:2 होगा, 5:3 नहीं।

7. A सही है। प्रतिशत का आधार B की दर है: A की दर का गुणक 1.20 = 6/5। समय का गुणक 5/6 है, इसलिए A का समय = 15 × 5/6 = 25/2 घंटे = 12 घंटे 30 मिनट। जाँच: (6/5)(5/6) = 1। B में समय सीधे 20% घटाया है, जबकि व्युत्क्रम संबंध में वही प्रतिशत परिवर्तन नहीं लगता। C में समय 20% बढ़ाकर दिशा उलट दी है। D में दर के प्रतिशत को जोड़ने के 20 मिनट समझा है; प्रतिशत और समयावधि को मिला दिया गया है।

8. D सही है। 1/4 और 1/7 कार्य प्रति घंटे की दरों का अनुपात 7:4 है और A का समय 4 घंटे है। दोनों दरें आधी करके 1/8 और 1/14 कर दें तो अनुपात 7:4 ही रहता है, लेकिन A का समय 8 घंटे हो जाता है। दोनों दी गई जानकारी के अनुकूल हैं, इसलिए माप-आधार नहीं दिया गया है। A में एक संभावित समय को आवश्यक मान लिया है। B में दर-अनुपात के पहले पद को घंटों की संख्या मान लिया है। C में अनुपात-पदों का औसत लिया है; उससे न वास्तविक दर मिलती है, न उचित समय। सही सापेक्ष निष्कर्ष है: अकेले समयों का अनुपात A:B = 4:7।

गलती के अनुसार दोहराव चुनें

• प्रश्न 1: उदाहरण 1 में पूरा कार्य, आंशिक मात्रा और अतिरिक्त समय दोहराएँ
• प्रश्न 2–3: उदाहरण 2 में दर और इकाई के स्तंभ तथा योगदान-जाँच दोहराएँ
• प्रश्न 4–5: उदाहरण 3 में अज्ञात दर का घटाव और धन दर की शर्तें दोहराएँ
• प्रश्न 6–8: उदाहरण 4 में समय के व्युत्क्रम गुणक, प्रतिशत का आधार और अनुपस्थित माप-आधार दोहराएँ

दोहराने के बाद संबंधित प्रश्न बिना कुंजी के हल करें और बताएँ कि बाकी तीन विकल्प क्यों गलत हैं।

स्रोत और पाठ की सीमा

RRB CEN 09/2025, §14.1, मुद्रित पृ.28 में गणित के अंतर्गत समय और कार्य का उल्लेख है। इससे विषय का दायरा मिलता है, प्रश्नों की आवृत्ति का अनुमान नहीं। आधिकारिक सूची उदाहरणात्मक है और आवश्यक नहीं कि पूर्ण हो; यहाँ सभी बाद के संशोधनों की जाँच नहीं की गई है।

NCERT गणित प्रकाश कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3 §3.6, मुद्रित पृ.63–68 निश्चित कार्य के समानुपाती तर्क और संयुक्त दरों का आधार देता है। इसके आधिकारिक आरंभिक पृष्ठों, PDF पृ.2 पर प्रथम संस्करण दिसंबर 2025 लिखा है। यहाँ अज्ञात दर का घटाव, संभव होने की जाँच और प्रतिशत-कार्य-दक्षता की तुलना हमारी समझाकर दी गई विस्तारित प्रक्रियाएँ हैं, आधिकारिक परीक्षा के नामित प्रश्न-प्रकार नहीं। सभी व्याख्याएँ, पैनल, हल उदाहरण और अभ्यास मौलिक हैं।

यह पाठ स्थिर स्वतंत्र कार्य-दरों तक सीमित है। जुड़ने या जाने का कार्यक्रम, कार्य-दिन में बदलाव और चिह्न सहित टंकी का प्रवाह अगले पाठों में आएँगे। मजदूरी बाँटना, बारी-बारी उपस्थिति के चक्र, कर्मियों की संख्या को पूर्णांक करने के नियम और बदलते वास्तविक प्रवाह के भौतिक नियम इस पाठ से बाहर हैं।

उदाहरण से समझें

एक तय खेप के साधारण लेबल तैयार होकर एक ट्रे में जाते हैं। एक कर्मी प्रति घंटे तीन बराबर गट्ठर तैयार करता है और दूसरा दो। यदि वे उसी घंटे में स्वतंत्र रूप से काम करें तो ट्रे में पाँच गट्ठर पहुँचते हैं। ट्रे में रखने की लक्ष्य-मात्रा अपरिवर्तित है, इसलिए अधिक प्रति-घंटा योगदान से वह जल्दी पूरी होती है।

यह तुलना बताती है कि प्रति घंटे का उत्पादन क्यों जोड़ते हैं, अकेले पूरा करने के समय क्यों नहीं। हर गट्ठर को दो छोटे बराबर गट्ठरों में नाम दें तो दर और लक्ष्य दोनों के संख्यात्मक मान दुगुने होंगे, लेकिन समय वही रहेगा।

सीमा ध्यान में रखें: वास्तविक लेबल अविभाज्य हो सकते हैं, कर्मी एक ही औजार बाँट सकते हैं और तैयारी या जाँच में समय लग सकता है। हमारा लगातार बाँटे जा सकने वाले कार्य का मॉडल ये बातें अपने-आप शामिल नहीं करता। वास्तविक प्रक्रिया को बिना प्रमाण पूरी तरह जोड़ने योग्य मानने के बजाय स्थिर दरें और स्वतंत्र योगदान स्पष्ट करें।

सूत्र और नियम

• दरों की तुलना या जोड़ से पहले एक ही पूरा कार्य और समय की एक समान इकाई तय करें
• दर = पूरा किया गया कार्य / वास्तविक कार्य-समय; स्थिर-दर वाले अंतराल में कार्य = दर × वास्तविक कार्य-समय
• आवश्यक मात्रा का समय = आवश्यक कार्य / धन दर
• पूरा कार्य t समय-इकाइयों में हो तो दर = 1/t कार्य प्रति समय-इकाई; आंशिक कार्य का समय पूरे कार्य का समय नहीं है
• अंत तक साथ सक्रिय स्वतंत्र कर्मियों की संयुक्त दर = उनकी दरों का योग। एक पूरे कार्य के धन अकेले समय a,b हों तो इसी योग से t = ab/(a+b) मिलता है
• कोई भी समान कार्य-इकाई पैमाना ठीक है, यदि पूरा कार्य और हर दर उसी पैमाने पर हों
• अज्ञात योगदान = संयुक्त दर − ज्ञात दर। ऋण या शून्य परिणाम, धन योगदान की शर्त के विरुद्ध है; शून्य दर पर अशून्य कार्य का सीमित पूरा करने का समय नहीं होता
• उसी कार्य की दरें a:b हों तो अकेले समयों का अनुपात b:a है। दर का गुणक f हो तो समय का गुणक 1/f है
• केवल अनुपात से सापेक्ष आकार मिलते हैं; वास्तविक समय के लिए दर या समय का माप-आधार चाहिए
• घंटे के भिन्नात्मक भाग को 60 से गुणा करके मिनट निकालें; इस चरण तक भिन्न सटीक रखें
• इकाई, चिह्न और योगदान जाँचें। “संयुक्त समय दोनों के अकेले समय से कम” वाली जाँच के लिए दोनों धन स्वतंत्र दरों से पूरे समय सक्रिय होने चाहिए