अनुपात और समानुपात

आप क्या सीखेंगे

अनुपात बताता है कि गुणन-आधारित तुलना में दो राशियाँ एक-दूसरे की कितनी गुनी हैं। आप राशियों का क्रम और इकाइयाँ सही रखना, अनुपात सरल करना, समानुपात का अज्ञात पद निकालना और कुल, अंतर या दिए हुए भाग से वास्तविक राशियाँ पाना सीखेंगे। साझा राशि के माध्यम से दो अनुपात जोड़कर संयुक्त अनुपात भी बनाएँगे।

इस पाठ में संख्याएँ और गणना मॉड्यूल की सटीक भिन्न तथा दशमलव गणना काम आएगी। यहाँ वर्गमूल की विधियाँ आवश्यक नहीं हैं। बाँटने वाले प्रश्नों में राशियाँ धनात्मक हैं। a:b को a/b के रूप में पढ़ने पर b शून्य नहीं हो सकता। अनुपात संबंध बताता है; सामान्यतः वास्तविक आकार नहीं बताता। 2:3 का अर्थ 2 और 3, 20 और 30, या 0.2 और 0.3 भी हो सकता है।

1 गणना के औजार याद करें

प्रतिक्रिया पढ़ने से पहले ये प्रश्न करें।

1. 18/30 सरल करें।
2. (3/5) × 140 निकालें।
3. 1 m = 100 cm की सहायता से 1.25 m को सेंटीमीटर में बदलें।
4. 72 ÷ 0.6 निकालें।

प्रतिक्रिया:

1. अंश और हर को 6 से भाग दें: 18/30 = 3/5। दोनों को एक ही अशून्य संख्या से भाग देने पर भिन्न का मान नहीं बदलता।
2. 140 का पाँचवाँ भाग 28 है; इसलिए तीन-पाँचवाँ भाग 3 × 28 = 84 है।
3. 1.25 × 100 = 125 cm। इकाई बदलने पर माप की संख्या बदलती है, लंबाई नहीं।
4. भाज्य और भाजक दोनों को 10 से गुणा करें: 72 ÷ 0.6 = 720 ÷ 6 = 120। 1 से छोटी धन संख्या से भाग देने पर उत्तर बड़ा हो सकता है।

भिन्न या दशमलव की इन गणनाओं में कठिनाई हो तो भिन्न दशमलव और सटीक गणना पाठ दोहराएँ। यहाँ गणना करते समय इकाइयाँ लिखते रहें।

2 अनुपात लिखने से पहले तुलना का नाम बताएँ

अंतर पूछता है, “कितना अधिक?” अनुपात पूछता है, “कितनी गुना राशि?” एक ही इकाई में मापी गई राशियों A और B के लिए A:B का अर्थ A/B है, जहाँ B अशून्य है। क्रम बदलने पर सामान्यतः अनुपात बदल जाता है।

श्रेणियों की गिनती करते समय दोनों श्रेणियों के नाम लिखें। “लाल से नीले” और “लाल से कुल” में दूसरी राशि अलग है। भाग-से-भाग अनुपात a:b का अर्थ यह नहीं कि पहला भाग कुल का a/b है। यदि केवल यही दो भाग हैं, तो पहले भाग का कुल में हिस्सा a/(a+b) है।

हल उदाहरण 1 भाग से भाग, फिर भाग से कुल

एक थैली में 15 लाल और 25 नीले टोकन हैं; अन्य टोकन नहीं हैं। लाल:नीले और लाल:कुल निकालें।

लाल:नीले = 15:25 = 3:5, क्योंकि दोनों पदों को 5 से भाग दिया है। कुल 15 + 25 = 40 है, इसलिए लाल:कुल = 15:40 = 3:8। पहली तुलना का आधार नीले टोकन हैं; दूसरी का आधार पूरी थैली है।

जाँच: 15/25 = 3/5, लेकिन 15/40 = 3/8। कुल के 8 बराबर अनुपाती भागों में लाल के 3 भाग हैं। नीले:लाल का अनुपात 5:3 होगा, 3:5 नहीं। अनुपात का अर्थ यह नहीं कि थैली में केवल 3 लाल और 5 नीले टोकन हैं; ये उनके सरलतम अनुपाती पद हैं।

हल उदाहरण 2 पहले इकाइयाँ समान करें

इसी क्रम में 84 cm:1.4 m निकालें।

दूसरी लंबाई बदलें: 1.4 m = 140 cm। फिर दोनों पदों को 28 से भाग देने पर 84:140 = 3:5 है। एक ही प्रकार की माप को समान इकाई में रखने के कारण 84 cm/140 cm में इकाइयाँ कट जाती हैं।

जाँच: 84 cm, 1.4 m से छोटा है और 3/5, 1 से छोटा है। इकाइयाँ समान किए बिना 84 को 1.4 से भाग देना अलग पैमानों की केवल संख्याओं की तुलना होगी। अलग प्रकार की राशियों में ऐसा इकाई-निरसन न करें: ₹44 प्रति kg इकाई वाली दर है, इकाई-रहित लंबाई-से-लंबाई अनुपात नहीं। अगले पाठ में दरों का उपयोग होगा।

3 तुल्य अनुपात में एक ही समान गुणक लगता है

दोनों पदों को एक ही धन संख्या से गुणा करने या भाग देने पर उनका भागफल नहीं बदलता। धन पूर्णांक पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देने पर सरलतम पूर्णांक पद मिलते हैं। दशमलव या भिन्न पद हों तो पहले एक ही समान गुणक से दशमलव स्थान या हर हटाएँ; फिर सरल करें।

दोनों पदों को अलग-अलग सन्निकट नहीं करते। सन्निकटन से उनका संबंध बदल सकता है।

हल उदाहरण 3 भिन्नों वाला अनुपात

(3/4):(5/6) को सटीक रूप में सरल करें।

हर 4 और 6 का एक साझा गुणज 12 है। दोनों पदों को 12 से गुणा करें: (3/4) × 12 = 9 और (5/6) × 12 = 10। इसलिए अनुपात 9:10 है। 5/6 को सन्निकट दशमलव में बदलने की आवश्यकता नहीं है।

भागफल से जाँचें: (3/4) ÷ (5/6) = (3/4) × (6/5) = 18/20 = 9/10। केवल अंश लेकर 3:5 लिखने पर असमान हरों की जानकारी छूट जाएगी।

4 समानुपात का अर्थ है दो अनुपात बराबर होना

A:B = C:D दो क्रमबद्ध तुलनाओं की बराबरी बताता है। B और D अशून्य हों तो A/B = C/D लिखें। दोनों पक्षों को B × D से गुणा करने पर A × D = B × C मिलता है। यही आड़े गुणन का कारण है; प्रश्न में दिखाई देने वाली किन्हीं चार संख्याओं को गुणा करने का नियम नहीं।

गणना से पहले समान राशियों को संगत स्थानों पर रखें और इकाइयाँ समान करें। आसान गुणक दिखाई दे तो उसका उपयोग करें। आड़ा गुणन भी उसी बराबरी को व्यक्त करने का तरीका है।

हल उदाहरण 4 अज्ञात समानुपाती पद निकालें

7:12 = x:60 में x निकालें।

दूसरा पद 12 से 60 होने पर 5 से गुणा हुआ है। पहले पद पर भी वही गुणक लगेगा: x = 7 × 5 = 35।

दूसरी विधि में 7/12 = x/60 से 7 × 60 = 12x, इसलिए x = 420 ÷ 12 = 35 मिलता है।

जाँच: 35:60 सरल करने पर 7:12 है। दूसरे पद में 48 जुड़ा देखकर पहले पद में भी 48 जोड़ने से 55:60 मिलेगा, जो अलग अनुपात है।

जाँच-बिंदु A

1. 45 सेकंड:2 मिनट सरल करें।
2. 4:7 = t:35 में t निकालें।
3. क्या 2:5 और 6:15 बराबर हैं? कारण बताएँ।

प्रतिक्रिया: 2 मिनट = 120 सेकंड, इसलिए 45:120 = 3:8। दूसरे प्रश्न में समान गुणक 5 है, इसलिए t = 20। तीसरे में दोनों पदों को 3 से गुणा किया है; 2/5 = 6/15। केवल एक पद बदलने पर अनुपात बदल जाएगा।

5 बराबर अनुपाती भागों से वास्तविक राशियाँ पाएँ

यदि A:B = a:b है, तो A = a × k और B = b × k लिखें। धन संख्या k एक बराबर अनुपाती भाग का आकार है। उसका मान हमेशा 1 नहीं होता।

वास्तव में दी गई जानकारी के अनुसार समीकरण चुनें:

• कुल T दिया हो: a+b भाग हैं, इसलिए k = T/(a+b)
• B दिया हो: b भागों का मान B है, इसलिए k = B/b
• धन अंतर Δ दिया हो और b>a हो: b−a भागों का मान Δ है, इसलिए k = Δ/(b−a)

a और b संबंध बताते हैं; k उसका वास्तविक पैमाना बताता है। जिन वस्तुओं को बाँटा नहीं जा सकता, उनकी प्राप्त संख्या पूर्णांक होनी चाहिए। भिन्न में संख्या मिलने पर आँकड़े असंगत या विधि गलत हो सकती है; इसका अर्थ आधा व्यक्ति या आधा टोकन गिनने की अनुमति नहीं है।

हल उदाहरण 5 पहले कुल, फिर दिया हुआ भाग

₹630 को निधि A और B में 2:5 के अनुपात में बाँटें।

2+5 = 7 बराबर भाग हैं। एक भाग ₹630 ÷ 7 = ₹90 है। इसलिए A = 2 × ₹90 = ₹180 और B = 5 × ₹90 = ₹450 है।

दोनों शर्तें जाँचें: ₹180 + ₹450 = ₹630 और 180:450 = 2:5।

अब कुल को छिपा दें। मानें केवल A:B = 2:5 और B = ₹450 दिए हैं। B पाँच भाग है, इसलिए एक भाग = ₹450 ÷ 5 = ₹90। A अब भी 2 × ₹90 = ₹180 और कुल 7 × ₹90 = ₹630 होगा। ₹450 को 7 से भाग देने का अर्थ दिए हुए भाग को गलती से कुल मानना होगा।

हल उदाहरण 6 अंतर से भागों का अंतर मिलता है

दो फीते की लंबाइयों का अनुपात 4:7 है और उनमें 81 cm का अंतर है। दोनों लंबाइयाँ निकालें।

लंबे फीते में 7−4 = 3 बराबर भाग अधिक हैं। इन तीन भागों की लंबाई 81 cm है, इसलिए एक भाग 81 ÷ 3 = 27 cm है। छोटी लंबाई 4 × 27 = 108 cm और बड़ी लंबाई 7 × 27 = 189 cm है।

जाँच: 189−108 = 81 cm और 108:189 = 4:7। कुल दिया हो तो 4+7 का योग उपयोगी है, लेकिन यहाँ 81 cm अंतर है। 81 को 11 से भाग देना गलत मॉडल होगा।

6 साझा राशि से अनुपात जोड़ें

A:B और B:C को संयुक्त करने के लिए दोनों कथनों में B वही राशि होनी चाहिए। तुल्य अनुपात बनाकर B के पद समान करें; फिर A:B:C को क्रम में पढ़ें। चार असंगत संख्याओं को केवल साथ लिख देना पर्याप्त नहीं है।

हल उदाहरण 7 अनुपात जोड़ें, फिर तीन भागों में बाँटें

A:B = 3:4 और B:C = 6:5 दिया है। A:B:C निकालें।

साझा B के पद 4 और 6 हैं। सुविधाजनक साझा मान 12 है। 3:4 को 3 से गुणा करके 9:12 मिलता है। 6:5 को 2 से गुणा करके 12:10 मिलता है। इसलिए A:B:C = 9:12:10।

दोनों मूल तुलनाएँ जाँचें: 9:12 = 3:4 और 12:10 = 6:5।

निर्देशित विस्तार: यदि A+B+C = 620 है, तो तीनों राशियाँ निकालें। 9+12+10 = 31 बराबर भाग हैं, इसलिए एक भाग 620 ÷ 31 = 20 है। अतः A = 180, B = 240 और C = 200। उनका योग 620 है; साथ ही 180:240 = 3:4 और 240:200 = 6:5। कुल बाँटने की वही विधि तीन पदों पर लागू होती है; नया सूत्र रटने की आवश्यकता नहीं है।

हल उदाहरण 8 समान जोड़ से अनुपात बदल सकता है

एक डिब्बे में 6 सफेद और 10 काले गुटके हैं। हर रंग के चार और गुटके डाले गए। क्या सफेद:काले का अनुपात वही रहेगा?

पहले 6:10 = 3:5 था। बाद में 10:14 = 5:7 है। ये अलग हैं: 3 × 7 = 21, जबकि 5 × 5 = 25। समान संख्या जोड़ने से गिनतियों का अंतर समान रहता है, लेकिन सामान्यतः उनका भागफल समान नहीं रहता।

यह “समान जोड़ से अनुपात हमेशा बना रहता है” के दावे का प्रतिउदाहरण है। इसका अर्थ यह नहीं कि ऐसा कभी हो ही नहीं सकता। बराबर गिनतियाँ, जैसे 6:6, दोनों में समान संख्या जोड़ने पर भी 1:1 रहती हैं। वास्तविक संबंध जाँचें।

जाँच-बिंदु B

1. A:B = 3:5 और कुल 96 है। A और B निकालें।
2. उसी अनुपात में केवल B = 65 दिया हो तो कुल निकालें।
3. दो धन लंबाइयाँ 2:7 के अनुपात में हैं और अंतर 40 cm है। छोटी लंबाई निकालें।

प्रतिक्रिया: (1) आठ भागों का मान 96 है, इसलिए एक भाग 12 है; A=36 और B=60। (2) पाँच भागों का मान 65 है, इसलिए एक भाग 13 है; कुल 8×13=104। (3) पाँच भागों का 40 cm अंतर है, इसलिए एक भाग 8 cm और छोटी लंबाई 16 cm है। भाग देने से पहले पहचानें कि कुल, भाग या अंतर में से क्या दिया है।

7 स्वतंत्र अभ्यास

उत्तरमाला से पहले सभी बारह प्रश्न करें। एक विकल्प चुनें और उसके समर्थन में तुलना का नाम या बराबर भागों का मॉडल लिखें। यह बिना समय-सीमा का सीखने वाला अभ्यास है: सही उत्तर पर +1, अन्यथा 0; ऋणात्मक अंकन या उत्तीर्ण सीमा नहीं है। यह पूर्ण RRB CBT अनुकरण नहीं है।

1. 12 हरे और 18 पीले गुटके हैं। हरे:पीले का सरलतम अनुपात क्या है?

A. 3:2 B. 2:3 C. 2:5 D. 3:5

2. एक थैली में केवल 21 लाल और 35 नीले टोकन हैं। लाल:कुल का सरलतम अनुपात क्या है?

A. 3:5 B. 5:8 C. 3:8 D. 8:3

3. 0.6:1.5 के तुल्य सरलतम पूर्णांक अनुपात कौन-सा है?

A. 2:5 B. 5:2 C. 6:5 D. 2:3

4. 5:9=x:45 में x का मान निकालें।

A. 41 B. 9 C. 45 D. 25

5. क्रम बनाए रखते हुए 72 cm:1.2 m का सरलतम रूप निकालें।

A. 60:1 B. 3:5 C. 5:3 D. 6:1

6. (2/3):(5/9) को सटीक रूप में सरल करें।

A. 2:5 B. 5:6 C. 6:5 D. 3:5

7. ₹840 को 3:4 के अनुपात में दो हिस्सों में बाँटा गया। छोटा हिस्सा कितना है?

A. ₹360 B. ₹480 C. ₹630 D. ₹120

8. दो धन राशियाँ 5:8 के अनुपात में हैं और अंतर ₹96 है। बड़ी राशि कितनी है?

A. ₹96 B. ₹160 C. ₹416 D. ₹256

9. धन राशियों का अनुपात A:B:C=2:3:7 और A+B+C=360 है। C क्या है?

A. 90 B. 210 C. 360 D. 30

10. धन राशियाँ A, B, C ऐसी हैं कि A:B=4:5 और B:C=10:3 है। A:B:C क्या है?

A. 4:5:3 B. 4:10:3 C. 8:10:3 D. 8:5:3

11. विद्यार्थी कहता है कि 2:5 के दोनों पदों में 3 जोड़ने पर अनुपात वही रहता है। सही प्रतिक्रिया कौन-सी है?

A. गलत: नया अनुपात 5:8 है, 2:5 नहीं B. सही: समान जोड़ हमेशा 2:5 बनाए रखता है C. गलत: नया अनुपात 5:5 है D. गलत: नया अनुपात 2:8 है

12. A:B=7:11 और B=154 है। A+B कितना है?

A. 98 B. 154 C. 168 D. 252

8 समझाई गई उत्तरमाला

1. B. 12:18 के दोनों पदों को 6 से भाग देने पर 2:3 मिलता है। जाँच: 12/18=2/3। A में श्रेणियों का क्रम उलटा है। कुल 30 गुटके हैं, इसलिए C हरे:कुल और D पीले:कुल हैं। प्रश्न हरे की तुलना पीले से करता है, कुल से नहीं।

2. C. कुल=21+35=56। लाल:कुल=21:56=3:8, क्योंकि दोनों को 7 से भाग दिया है। A में दूसरी राशि कुल के बजाय नीले हैं। B नीले:कुल है। D वांछित तुलना को उलटता है। भाग इस धन कुल से बड़ा नहीं हो सकता; इससे भी 8:3 गलत सिद्ध होता है।

3. A. दोनों पदों को 10 से गुणा करके 6:15 पाएँ; फिर दोनों को 3 से भाग दें, तो 2:5 है। जाँच: 0.6/1.5=0.4=2/5। B अनुपात उलटता है। C में पहले पद पर दूसरे जैसा भाग नहीं लगाया गया। D में दूसरी राशि के स्थान पर अंतर लिया गया है: 0.6:(1.5−0.6)=0.6:0.9=2:3। वह अलग तुलना है।

4. D. 45=9×5 है, इसलिए x=5×5=25। दूसरी विधि: 9x=5×45=225, इसलिए x=25। जाँच: 25:45=5:9। A में गुणक लगाने के बजाय 36 का अंतर जोड़ा है। B दिए पद को दोहराता है, बराबरी पूरी नहीं करता। C से 45:45=1:1 होगा।

5. B. 1.2 m=120 cm, इसलिए 72:120=3:5। पहली लंबाई छोटी है और भागफल 3/5, 1 से कम है। A में इकाइयाँ समान किए बिना 72 को 1.2 से भाग दिया है। C क्रम उलटता है। D में मीटर से सेंटीमीटर के लिए 100 के बजाय 10 का गलत गुणक लग गया है।

6. C. दोनों पदों को 9 से गुणा करें: (2/3)×9=6 और (5/9)×9=5। इसलिए 6:5 सही है। जाँच: (2/3)÷(5/9)=(2/3)×(9/5)=6/5। A हरों को छोड़ता है। B भागफल उलटता है। D में दोनों मूल पदों पर समान गुणक नहीं लगा है।

7. A. 3+4=7 बराबर भाग हैं। एक भाग=₹840÷7=₹120; छोटा हिस्सा=3×₹120=₹360। दूसरा हिस्सा ₹480 है और योग ₹840 है। B बड़ा हिस्सा है। C कुल का 3/4 लेकर भाग:भाग को भाग:कुल समझता है। D केवल एक भाग है, तीन नहीं।

8. D. अंतर 8−5=3 भाग है, इसलिए एक भाग=₹96÷3=₹32। बड़ी राशि 8×₹32=₹256 और छोटी ₹160 है। जाँच: ₹256−₹160=₹96 और 160:256=5:8। A अंतर को दोहराता है; B छोटी राशि है; C कुल ₹160+₹256 है।

9. B. कुल भाग=2+3+7=12। एक भाग=360÷12=30। इसलिए C=7×30=210। जाँच: A=60 और B=90, इसलिए 60+90+210=360। विकल्प A में B है, विकल्प C पूरा कुल है और D एक भाग है। भागों के योग में तीनों पद शामिल होंगे।

10. C. B को 10 पर समान करें: 4:5 के दोनों पदों को 2 से गुणा करके A:B=8:10 मिलता है। दूसरा अनुपात पहले से B:C=10:3 है, इसलिए A:B:C=8:10:3। जाँच: 8:10=4:5। A असमान B पदों को जोड़ता है; B में B दुगुना है, A नहीं; D में A दुगुना है, B नहीं। हर गलत विकल्प कम-से-कम एक मूल अनुपात तोड़ता है।

11. A. नए पद 2+3=5 और 5+3=8 हैं, इसलिए 5:8 मिलता है। यह 2:5 के बराबर नहीं: आड़े गुणनफल 5×5=25 और 8×2=16 हैं। B जोड़ को समान गुणक समझता है। C केवल पहला पद बदलता है; D केवल दूसरा। बताए गए जोड़ को दोनों मूल पदों पर लगाना चाहिए।

12. D. B के 11 भाग हैं, इसलिए एक भाग=154÷11=14। तब A=7×14=98 और A+B=(7+11)×14=252। जाँच: 98:154=7:11। विकल्प A केवल A की राशि है; B दी राशि दोहराता है। C=154+14 में B में केवल एक भाग जुड़ा है, जबकि A के सात भाग हैं। दिया 154 कुल नहीं है।

9 स्रोत और सीमा

ये मौलिक व्याख्याएँ और प्रश्न RRB CEN 09/2025 के §14.1, मुद्रित पृ.28 में दिए अनुपात और समानुपात विषय को सिखाते हैं। यह शिक्षण-विस्तार है, प्रश्नों की आवृत्ति या पूर्ण परीक्षा-पाठ्यक्रम का दावा नहीं। गणितीय संदर्भ: NCERT गणित प्रकाश, कक्षा 8, अध्याय 7, पुनर्मुद्रण 2026–27, §§7.1–7.6, मुद्रित पृ.159–177; विशेषकर आड़ा गुणन पृ.168 और कुल बाँटना पृ.172–175; भाग II, अध्याय 3, §§3.1–3.4, मुद्रित पृ.55–60। साझा पद से अनुपात जोड़ना तुल्य अनुपातों का समझाया गया अनुप्रयोग है। स्रोत पृष्ठ या पुस्तक के प्रश्न पुनः प्रस्तुत नहीं किए गए हैं। यहाँ आयु-समीकरण, मिश्रण का आरोप नियम या पूँजी-समय साझेदारी के नियम नहीं पढ़ाए गए हैं।

उदाहरण से समझें

ऐसा पैकिंग-ढाँचा सोचें जिसमें हर 2 लाल गुटकों के साथ 5 नीले गुटके रखे जाते हैं। हर दोहराव में 2-लाल/5-नीले का पूरा बंडल जुड़ता है। तीन दोहराव से 6 लाल और 15 नीले मिलते हैं: दोनों राशियों को 3 से गुणा किया गया है। एक बंडल के सात स्थान बताते हैं कि कुल में लाल का हिस्सा 2/7 है, 2/5 नहीं। केवल नीली संख्या पता हो तो पाँच-पाँच के समूहों से दोहराव की संख्या मिलती है।

सीमा: वास्तविक बंडल पूर्ण गुटकों का मॉडल है। धन, लंबाई या भिन्न राशियों के अनुपात में गुणक पूर्णांक होना आवश्यक नहीं; वास्तविक बंडल भी आवश्यक नहीं है। हर रंग में एक निश्चित संख्या जोड़ना पूरा बंडल जोड़ने जैसा नहीं है; उससे अनुपात बदल सकता है।

सूत्र और नियम

• राशियों के नाम और क्रम रखें: A:B का अर्थ A/B है, B≠0
• एक ही प्रकार की माप: सरल करने से पहले इकाइयाँ समान करें
• तुल्य अनुपात: हर पद को एक ही धन गुणक से गुणा या भाग दें
• धन पूर्णांक पद: महत्तम समापवर्तक से भाग दें; भिन्न पद: एक साझा गुणक से हर हटाएँ
• समानुपात: B,D≠0 पर A/B=C/D से AD=BC
• A:B=a:b ⇒ A=ak, B=bk
• कुल T: k=T/(a+b); B दिया हो: k=B/b
• b>a और अंतर Δ हो: k=Δ/(b−a)
• a:b:c के तीन भाग और कुल T: एक भाग=T/(a+b+c)
• A:B तथा B:C को जोड़ने से पहले B के पद समान करें
• मूल अनुपात और दिए कुल/भाग/अंतर को जाँचें; अविभाज्य वस्तुओं की गिनती पूर्णांक हो
• समान जोड़ से सामान्यतः अनुपात बदलता है; मानने के बजाय जाँचें