प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समानुपात

आप क्या सीखेंगे

गणना से पहले तय करें कि क्या स्थिर रहता है। फिर उसी स्थिर संबंध से दो स्थितियों को जोड़ें। इस पाठ के अंत तक आप:

• स्थिर इकाई दर या भागफल से प्रत्यक्ष समानुपात पहचान सकेंगे
• स्थिर गुणनफल से व्युत्क्रम समानुपात पहचान सकेंगे
• एक इकाई का मान निकालने की विधि और गुणक की विधि समझा सकेंगे
• निश्चित कार्य, भंडार और चित्र के पैमाने वाले प्रश्नों की आवश्यक शर्तें बता सकेंगे
• भागफल या गुणनफल बदलने पर प्रस्तावित समानुपात को गलत ठहरा सकेंगे
• इकाइयाँ समान करके उत्तर का परिमाण और परिवर्तन की दिशा जाँच सकेंगे

यह पाठ अनुपात और समानुपात के बाद आता है तथा पहले सीखी भिन्न और दशमलव की गणनाओं का उपयोग करता है। हमारे मॉडल में राशियाँ धन हैं। विशेष रूप से, धन स्थिर गुणनफल वाले व्युत्क्रम मॉडल में कोई भी चर शून्य नहीं हो सकता। रुपये प्रति किलोग्राम जैसी दर अलग प्रकार की राशियों की तुलना करती है, इसलिए उसकी इकाई होती है। चित्र का पैमाना समान इकाइयों में दो लंबाइयों का अनुपात है, इसलिए वह इकाई-रहित है। सरलीकरण करते समय दर का अर्थ न मिटाएँ।

1 आवश्यक साधन याद करें

प्रतिक्रिया पढ़ने से पहले बिना अंक के ये चार जाँच-प्रश्न हल करें। 1 m = 100 cm लें।

1. 18/30 सरल करें।
2. (3/5) × 140 निकालें।
3. 1.25 m को सेंटीमीटर में बदलें।
4. 72 ÷ 0.6 निकालें।

प्रतिक्रिया:

1. अंश और हर, दोनों को 6 से भाग देने पर 18/30 = 3/5। एक ही अशून्य संख्या से दोनों को भाग देने के कारण अनुपात नहीं बदलता।
2. (140 ÷ 5) × 3 = 28 × 3 = 84। जहाँ गणना आसान हो, पहले भाग दें।
3. 1.25 × 100 = 125 cm। छोटी इकाई लेने से संख्यात्मक मान बदलता है, लंबाई नहीं।
4. 72 ÷ 0.6 = 720 ÷ 6 = 120। भाज्य और भाजक, दोनों को 10 से गुणा करने पर भागफल नहीं बदलता। जाँच: 120 × 0.6 = 72।

पहले दो उत्तर कठिन लगे हों तो सटीक भिन्नों की गणना दोहराएँ। तीसरे में गलती हो तो गणना के पास इकाई-रूपांतरण लिखें। चौथे में गलती हो तो इकाई दर लगाने से पहले दशमलव से भाग देना दोहराएँ। ये मॉडल चुनने और जाँचने के साधन हैं, याद करने के लिए चार नए विषय नहीं।

निर्देशित अभ्यास खंड A: प्रति इकाई मात्रा समान रखें

2 सूत्र लिखने से पहले अपरिवर्ती संबंध पहचानें

अपरिवर्ती संबंध वह है जो तुलना की जा रही स्थितियों में नहीं बदलता। मान लें कि किसी वस्तु के हर किलोग्राम की कीमत समान है; कोई स्थिर शुल्क या अधिक मात्रा खरीदने पर छूट नहीं है। तब दो किलोग्राम की कीमत एक किलोग्राम की दुगुनी और आधे किलोग्राम की कीमत आधी होगी। हर अतिरिक्त किलोग्राम कुल कीमत में समान राशि जोड़ता है। प्रति किलोग्राम कीमत स्थिर है, कुल कीमत नहीं।

खरीदी गई मात्रा को x और कुल कीमत को y कहें। y को x से भाग देने पर एक इकाई की कीमत मिलती है। दिए मॉडल में यह मान k हर जगह समान हो तो y/x = k। दोनों ओर x से गुणा करने पर y = kx। इसे प्रत्यक्ष समानुपात (सीधा समानुपात) कहते हैं। यदि x को धन गुणक f से गुणा करें, तो कीमत kx से k(fx) = f(kx) हो जाती है; अर्थात y भी उसी गुणक f से बदलता है। दोनों राशियों को आधा करने पर भी प्रत्यक्ष समानुपात बना रहता है; यह केवल बढ़ने तक सीमित नहीं है।

दो संगत युग्मों के लिए y₁/x₁ = y₂/x₂। इससे y₂ = y₁ × (x₂/x₁) मिलता है। दो विधियाँ एक ही संबंध का उपयोग करती हैं:

• पहले एक इकाई का मान निकालें: पुराने कुल को पुरानी मात्रा से भाग दें, फिर नई मात्रा से गुणा करें। इसे ऐकिक विधि कहते हैं।
• गुणक विधि: पुराने कुल को नई मात्रा ÷ पुरानी मात्रा से गुणा करें

एक ही चर के दो मानों में अलग इकाइयाँ न रखें। उदाहरण के लिए, समय के दोनों मानों को मिनट में बदलकर तुलना करें। भागफल का क्रम भी समान रखें। कीमत/मात्रा रुपये प्रति किलोग्राम है; मात्रा/कीमत किलोग्राम प्रति रुपया है। दोनों स्थिर हो सकते हैं, लेकिन वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं और उनके अर्थ अलग हैं।

गणितीय आधार: NCERT कक्षा VIII, अध्याय 11, §11.2, मुद्रित पृ.129–135। यह स्पष्ट रूप से चिह्नित पुराना 2024–25 संस्करण है। यहाँ की व्याख्याएँ और प्रश्न नए लिखे गए हैं।

हल उदाहरण 1: प्रत्यक्ष मॉडल की सारणी पढ़ें

दिए गए प्रत्यक्ष समानुपाती मॉडल में नीचे के संगत मान हैं। इकाई दर तथा x = 9 पर y निकालें।

x	y
2	30
4	60
7	105

राशियों को पहचानें: x और y दो धन संख्यात्मक चर हैं। प्रश्न में मॉडल को प्रत्यक्ष बताया गया है; सारणी में संगत युग्म हैं, दो असंबद्ध सूचियाँ नहीं।

अपरिवर्ती संबंध: y/x = 30/2 = 60/4 = 105/7 = 15। इसलिए x की हर एक इकाई के लिए y की 15 इकाइयाँ हैं।

ऐकिक विधि: x = 1 पर y = 15, इसलिए x = 9 पर y = 9 × 15 = 135। गुणक विधि: x = 2 से x = 9 तक गुणक 9/2 है। इसलिए y = 30 × 9/2 = 135। गुणक का पूर्ण संख्या होना आवश्यक नहीं है।

औचित्य-जाँच: 9, 7 से बड़ा है, इसलिए y को 105 से अधिक होना चाहिए। साथ ही 135/9 = 15, जो हर दिए भागफल के बराबर है। 30 में 7 जोड़ने से अंतर स्थिर रहेगा, दी गई इकाई दर नहीं।

सीमित सारणी से पता चल सकता है कि उसके दिए युग्म किसी मॉडल के अनुकूल हैं या उसे गलत ठहराते हैं। कुछ पंक्तियों के मिलने से यह सिद्ध नहीं होता कि कोई अज्ञात वास्तविक प्रक्रिया हर दूसरे मान पर भी उसी मॉडल का पालन करेगी। यहाँ आगे का मान निकालना उचित है क्योंकि प्रश्न में प्रत्यक्ष मॉडल दिया गया है।

हल उदाहरण 2: भिन्नात्मक मात्रा की कीमत निकालें

स्थिर प्रति-किलोग्राम कीमत पर 4 kg वस्तु की कीमत ₹176 है। कोई शुल्क या मात्रा-आधारित छूट नहीं है। 6.5 kg की कीमत क्या होगी?

स्थिर क्या है: प्रति किलोग्राम कीमत। बदलता क्या है: द्रव्यमान और कुल कीमत। अपरिवर्ती संबंध: कीमत/द्रव्यमान = ₹176/4 kg = ₹44 प्रति kg।

पहले एक किलोग्राम की कीमत निकालकर गुणा करें: 6.5 × ₹44 = ₹286। दूसरी विधि में द्रव्यमान का गुणक 6.5/4 = 13/8 है, इसलिए कीमत ₹176 × 13/8 = ₹286। दोनों विधियों में वही गुणा और भाग अलग क्रम में किए गए हैं।

औचित्य-जाँच: 6 kg की कीमत ₹264 और 7 kg की ₹308 है; ₹286 इनके बीच है। यह दोनों कीमतों के ठीक मध्य में है क्योंकि 6.5 kg, 6 और 7 kg के मध्य में है। अपरिवर्ती संबंध जाँचें: 286/6.5 = 44 रुपये प्रति kg। ₹176 से कम उत्तर आने पर परिवर्तन की दिशा गलत होगी।

हल उदाहरण 3: गुणा करने से पहले समय बदलें

एक वस्तु स्थिर चाल से बिना रुके 90 मिनट में 72 km चलती है। वह 2.5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?

स्थिर क्या है: चाल। बदलता क्या है: चलने का समय और दूरी। पहले रूपांतरण करें: 2.5 घंटे = 2.5 × 60 = 150 मिनट। दशमलव .5 घंटे का अर्थ आधा घंटा, यानी 30 मिनट है; 5 मिनट नहीं।

अपरिवर्ती संबंध: दूरी/समय = 72/90 = 0.8 km प्रति मिनट। 150 मिनट में दूरी = 0.8 × 150 = 120 km। दूसरी विधि में समय का गुणक 150/90 = 5/3 है, इसलिए दूरी = 72 × 5/3 = 120 km।

औचित्य-जाँच: 150 मिनट, 90 मिनट से अधिक हैं, इसलिए दूरी 72 km से अधिक होनी चाहिए। दोनों गुणक मिलते हैं: 120/72 = 150/90 = 5/3। दूसरी इकाई में जाँचें: 1.5 घंटे में 72 km, इसलिए चाल 48 km प्रति घंटा है; 48 × 2.5 = 120 km। 72 को 90 से भाग देकर बिना इकाई बदले 2.5 से गुणा करना मिनट और घंटे को मिलाना होगा।

जाँच-बिंदु A: पहले समझाएँ, फिर निकालें

प्रतिक्रिया छिपाकर अपने शब्दों में उत्तर दें।

1. प्रत्यक्ष मॉडल में x को 3/2 से गुणा किया जाता है। y में क्या परिवर्तन होगा और क्यों?
2. उसी बिना शुल्क वाली कीमत पर 2 kg की कीमत ₹70 है। 0.5 kg की कीमत निकालें और अपरिवर्ती संबंध बताएँ।
3. क्या दोनों राशियों का बढ़ना प्रत्यक्ष समानुपात सिद्ध करता है?

प्रतिक्रिया:

1. y को भी 3/2 से गुणा किया जाता है, क्योंकि y/x स्थिर रहना चाहिए। y में संख्या 3/2 जोड़ी नहीं जाती।
2. अपरिवर्ती दर ₹70 ÷ 2 = ₹35 प्रति kg है। इसलिए 0.5 kg की कीमत ₹17.50 है। द्रव्यमान चौथाई है और कीमत भी ₹70 की चौथाई है।
3. नहीं। दी गई शर्तों के अंतर्गत भागफल समान चाहिए। स्थिर शुरुआती शुल्क के कारण दोनों राशियाँ बढ़ सकती हैं, फिर भी उनका भागफल बदल सकता है; उदाहरण 8 में इसे जाँचेंगे।

यदि दिशा पता थी, लेकिन अपरिवर्ती संबंध नहीं, तो खंड 2 दोहराएँ। ऐकिक विधि और गुणक विधि के उत्तर अलग हों तो सुविधाजनक उत्तर चुनने के बजाय इकाइयाँ और गणना जाँचें।

निर्देशित अभ्यास खंड B: कुल समान रखें, फिर मॉडल को परखें

3 स्थिर गुणनफल से व्युत्क्रम समानुपात क्यों बनता है

मान लें कि निश्चित संख्या में लेबल ऐसे पैक करने हैं कि हर पूरा डिब्बा बराबर लेबल रखे। कुल लेबल = प्रति डिब्बा लेबल × डिब्बों की संख्या। यदि हर डिब्बे में दुगुने लेबल रखें, तो आधे डिब्बे चाहिए, बशर्ते पैकिंग पूरी तरह विभाजित हो। कुल स्थिर होने के कारण एक गुणक में परिवर्तन की भरपाई दूसरा गुणक करता है।

दो धन राशियों को x और y कहें। यदि उनका गुणनफल स्थिर k है, तो xy = k। अशून्य x से भाग देने पर y = k/x। इसे व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं। x को f से गुणा करने पर y को f से भाग देना होगा, क्योंकि (fx) × (y/f) = xy। दो स्थितियों के लिए x₁y₁ = x₂y₂, इसलिए y₂ = y₁ × (x₁/x₂)। ध्यान दें कि यहाँ पुराना/नया गुणक है, जबकि प्रत्यक्ष समानुपात में नया/पुराना होता है।

कारण समझे बिना उलटा गुणक न याद करें। पहले स्थिर गुणनफल का नाम लिखें। भंडार के प्रश्न में, प्रति व्यक्ति दैनिक मात्रा अपरिवर्तित हो तो यह व्यक्ति-दिन हो सकता है। निश्चित कार्य के प्रश्न में, समान स्थिर कार्य-दर की शर्त पर यह श्रमिक-घंटे हो सकता है। इन नामों में से कोई भी लोगों के बारे में बिना शर्त लागू नियम नहीं है।

गणितीय आधार: NCERT गणित प्रकाश कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3, §3.6, मुद्रित पृ.63–65, तथा NCERT कक्षा VIII गणित, अध्याय 11, §11.3, मुद्रित पृ.137–140। संबंध लगाने से पहले हम मॉडल की शर्तें स्पष्ट बताते हैं।

हल उदाहरण 4: हर युग्म का गुणनफल लें

दिए गए व्युत्क्रम मॉडल में (x, y) = (3, 24), (4, 18), (6, 12) हैं। x = 9 पर y निकालें।

अपरिवर्ती संबंध: xy = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 72। तीनों दिए गुणनफल बराबर हैं। x = 9 पर 9 × y = 72 चाहिए, इसलिए y = 72/9 = 8।

गुणक विधि से भी यही उत्तर मिलता है: x, 3 से 9 होता है, यानी 3 से गुणा होता है। इसलिए y, 24 से 24/3 = 8 होता है। y को 3 से गुणा करने पर गुणनफल स्थिर रहने के बजाय बदल जाएगा।

औचित्य-जाँच: x को 6 से 9 बढ़ाने पर y को 12 से कम होना चाहिए; 8 कम है। मान रखने पर 9 × 8 = 72। मॉडल प्रश्न में दिया है; केवल तीन पंक्तियाँ मिल जाने से दिए आँकड़ों के बाहर कोई अज्ञात नियम सिद्ध नहीं होगा।

हल उदाहरण 5: पहले कार्य की शर्तें बताएँ

छह श्रमिक एक निश्चित काम 12 घंटे में पूरा करते हैं। उसी काम में नौ श्रमिक कितना समय लेंगे?

आवश्यक शर्तें: सभी श्रमिकों की कार्य-दर समान और स्थिर है; वे पूरी अवधि साथ काम करते हैं; काम इस तरह बाँटा जा सकता है कि वे एक-दूसरे के काम में बाधा न डालें; तैयारी, समन्वय, विराम या किसी अन्य कारण से अतिरिक्त विलंब नहीं है। काम की मात्रा नहीं बदलती। ये इस प्रश्न की शर्तें हैं, हर कार्यस्थल के बारे में दावे नहीं।

एक श्रमिक एक घंटे में एक श्रमिक-घंटे का योगदान देता है। उत्पादकता समान और स्थिर होने से 6 श्रमिक × 12 घंटे, आवश्यक काम के 72 श्रमिक-घंटे देते हैं। नौ ऐसे श्रमिक हर घंटे 9 श्रमिक-घंटे देते हैं।

अपरिवर्ती संबंध: इस निश्चित काम के लिए श्रमिक × घंटे = 72 श्रमिक-घंटे। इसलिए 9 × t = 72, जिससे t = 8 घंटे। गुणक-जाँच: श्रमिकों की संख्या 9/6 = 3/2 से गुणा होती है, इसलिए समय 2/3 से गुणा होगा: 12 × 2/3 = 8 घंटे।

औचित्य-जाँच: अधिक समान श्रमिकों को 12 घंटे से कम लगने चाहिए। साथ ही 9 × 8 = 6 × 12, इसलिए आवश्यक कार्य नहीं बदला। 72 का मान श्रमिक-घंटों में कुल है, पूरे समूह का बीता समय नहीं। कार्य-दर अलग होने या स्थिर तैयारी-विलंब होने पर पूरे समय की यह व्युत्क्रम गणना उचित नहीं होगी।

हल उदाहरण 6: भंडार के साथ दैनिक उपयोग भी स्थिर रखें

एक निश्चित खाद्य भंडार 24 लोगों के लिए 15 दिन चलता है। हर व्यक्ति की दैनिक खपत समान है और दोनों स्थितियों में यह मात्रा नहीं बदलती। नई आपूर्ति, बर्बादी या हानि नहीं होती। वही भंडार 30 लोगों को कितने दिन चलेगा?

एक व्यक्ति के एक दिन के राशन को भंडार की एक इकाई मानें। उपलब्ध भंडार में 24 × 15 = 360 ऐसे दैनिक राशन हैं। यदि 30 लोग एक-एक दैनिक राशन लें, तो प्रतिदिन 30 राशन खर्च होंगे।

अपरिवर्ती संबंध: व्यक्ति × दिन = 360 व्यक्ति-दिन, क्योंकि भंडार और प्रति व्यक्ति दैनिक मात्रा, दोनों स्थिर हैं। अवधि = 360/30 = 12 दिन। दूसरे ढंग से, लोगों की संख्या 30/24 = 5/4 से गुणा हुई है, इसलिए अवधि 4/5 से गुणा होगी: 15 × 4/5 = 12।

औचित्य-जाँच: अधिक लोग भंडार जल्दी उपयोग करेंगे, इसलिए 12, 15 से कम होना चाहिए। मान रखने पर 30 × 12 = 24 × 15 = 360। यदि हर व्यक्ति प्रतिदिन खाने की मात्रा बदल दे, तो समान भंडार से यही व्यक्ति-दिन गुणनफल नहीं मिलेगा। केवल हर समूह के भीतर दैनिक उपयोग बराबर होना पर्याप्त नहीं; दोनों समूहों के बीच भी प्रति व्यक्ति दैनिक उपयोग अपरिवर्तित रहना चाहिए।

4 स्थिर संबंध से विधि चुनें

समय वाला हर प्रश्न व्युत्क्रम और रुपये वाला हर प्रश्न प्रत्यक्ष नहीं होता। स्थिर चाल पर दूरी/समय स्थिर है, इसलिए दूरी और समय प्रत्यक्ष हैं। क्षमता की बताई शर्तों के अंतर्गत निश्चित काम में श्रमिक × समय स्थिर है, इसलिए श्रमिकों की संख्या और समय व्युत्क्रम हैं। पूछें कि कौन-सी दो राशियाँ बदल रही हैं और कौन-सा संबंध स्थिर रखा गया है।

हल उदाहरण 7: चित्र के लिए फिर प्रत्यक्ष मॉडल चुनें

1:25,000 पैमाने वाले चित्र में दो बिंदु 3.6 cm दूर हैं। दर्शाई गई धरातलीय दूरी मीटर में निकालें। 100 cm = 1 m लें।

पैमाने का अर्थ है चित्र की लंबाई:दर्शाई गई धरातलीय लंबाई = 1:25,000, जब इकाइयाँ समान हों। इसलिए चित्र का 1 cm धरातल के 25,000 cm दर्शाता है। दोनों लंबाइयाँ साथ बदलती हैं और पैमाना स्थिर रहता है।

अपरिवर्ती संबंध: दोनों लंबाइयाँ एक ही इकाई में लिखने पर धरातलीय लंबाई/चित्र की लंबाई = 25,000। सेंटीमीटर से सेंटीमीटर कटने के कारण यह भागफल इकाई-रहित है। धरातलीय दूरी = 3.6 × 25,000 = 90,000 cm। उत्तर की इकाई बदलें: 90,000/100 = 900 m।

औचित्य-जाँच: चित्र का 1 cm, 250 m दर्शाता है; इसलिए 3.6 cm को 3.6 × 250 = 900 m दर्शाना चाहिए। यह चित्र के 3 cm से मिलने वाले 750 m और 4 cm से मिलने वाले 1,000 m के बीच है। अनुपात की जाँच 3.6:90,000 = 1:25,000 से होगी; 3.6:900 लेने पर सेंटीमीटर की सीधे मीटर से गलत तुलना होगी। यह चित्र में दर्शाई गई दूरी है; इससे सड़क के रास्ते की लंबाई नहीं निकाली गई है।

पैमाने का आधार: NCERT गणित प्रकाश, कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3, §3.2, मुद्रित पृ.56–57। गणना सही होने पर भी दर्शाई गई धरातलीय दूरी और सड़क की दूरी का अंतर महत्त्वपूर्ण है।

हल उदाहरण 8: दो आकर्षक गलत नियमों को परखें

दावा A: ₹40 तथा प्रति किलोमीटर ₹12 का कुल शुल्क, तय की गई धन दूरी के प्रत्यक्ष समानुपात में है।

स्थिर क्या है: ₹40 शुरुआती शुल्क और हर किलोमीटर पर जुड़ने वाले ₹12। इससे यह नहीं कहा जा सकता कि कुल शुल्क प्रति किलोमीटर स्थिर है। 1 km पर कुल ₹52 और 2 km पर कुल ₹64 है। प्रस्तावित अपरिवर्ती संबंध की जाँच: शुल्क/दूरी पहले 52/1 = ₹52 प्रति km है, लेकिन फिर 64/2 = ₹32 प्रति km है। यह बदलता है, इसलिए कुल शुल्क और दूरी प्रत्यक्ष समानुपाती नहीं हैं। सही शुल्क-संबंध C = 40 + 12d है, जहाँ C रुपये में और d किलोमीटर में है। दूरी वाला हिस्सा C − 40 = 12d प्रत्यक्ष है, लेकिन प्रश्न पूरे शुल्क C के बारे में है। एक वैध जोड़-आधारित मॉडल गणना की गलती नहीं है। औचित्य-जाँच: 1 km को दुगुना करके 2 km करने पर ₹52 दुगुना होकर ₹104 नहीं होता; वास्तविक शुल्क ₹64 है। केवल दूरी वाला शुल्क दुगुना होता है; शुरुआती शुल्क एक बार ही लगता है।

दावा B: युग्म (2, 10), (3, 9), (4, 8) व्युत्क्रम हैं, क्योंकि x बढ़ने पर y घटता है।

प्रस्तावित अपरिवर्ती संबंध की जाँच: xy = 2 × 10 = 20; 3 × 9 = 27; 4 × 8 = 32। गुणनफल बदलता है, इसलिए ये आँकड़े व्युत्क्रम नहीं हैं। वे प्रत्यक्ष भी नहीं हैं: y/x के मान 5, 3 और 2 हैं। यहाँ x + y = 12 स्थिर है; इससे दिखता है कि स्थिर योग के कारण भी एक राशि बढ़ने पर दूसरी घट सकती है। औचित्य-जाँच: x को 2 से 4 करने पर व्युत्क्रम मॉडल में y, 10 से आधा होकर 5 होना चाहिए। दिया y = 8 है, इसलिए गुणक-जाँच भी दावे को गलत ठहराती है। प्रस्तावित अपरिवर्ती संबंध जाँचते समय हर दी हुई पंक्ति महत्त्वपूर्ण है।

दोनों दावे गलत हैं। दिशा अंतिम जाँच में उपयोगी है, लेकिन निर्णय स्थिर भागफल या गुणनफल से होगा। प्रत्यक्ष समानुपात वाली सावधानी का आधार NCERT कक्षा VIII गणित, अध्याय 11, §11.2, मुद्रित पृ.131–132 है; शुल्क और घटती सारणी के ये प्रतिउदाहरण हमारे अपने हैं।

जाँच-बिंदु B: चुनें, निकालें और दावे की सीमा बताएँ

त्वरित संदर्भ देखे बिना प्रयास करें।

1. धन राशियों के व्युत्क्रम मॉडल में x को 5/4 से गुणा किया जाता है। y को किस गुणक से गुणा करेंगे?
2. उसी निश्चित काम में केवल “श्रमिक अधिक हैं” जानना, नया समय व्युत्क्रम समानुपात से निकालने के लिए पर्याप्त क्यों नहीं है?
3. धन मानों की सारणी में युग्म (2, 15), (3, 10), (5, 6) हैं। क्या पंक्तियाँ व्युत्क्रम समानुपात में हैं? क्या सारणी अकेले सिद्ध करती है कि कोई अज्ञात प्रक्रिया हर x पर इसी नियम का पालन करेगी?
4. एक भंडार 10 लोगों को 18 दिन चलता है। हर व्यक्ति का दैनिक उपयोग समान और अपरिवर्तित है; नई आपूर्ति या हानि नहीं होती। 15 लोगों को कितने दिन चलेगा?

प्रतिक्रिया:

1. गुणक 4/5 है। दोनों गुणकों का गुणनफल 1 होने से xy नहीं बदलता।
2. श्रमिकों की दर समान और स्थिर होनी चाहिए; वे बिना बाधा उसी निश्चित काम को बाँट सकें और तैयारी या समन्वय से अतिरिक्त विलंब न हो। अलग दर या अतिरिक्त विलंब होने पर श्रमिक × कुल बीता समय स्थिर नहीं रह सकता।
3. हाँ, दिए गुणनफल सभी 30 हैं। नहीं, कुछ पंक्तियों के मिलने से अज्ञात प्रक्रिया के अन्य मानों का नियम सिद्ध नहीं होता। सारणी के बाहर अनुमान के लिए मॉडल या उसे उचित ठहराने वाली शर्तें चाहिए।
4. अपरिवर्ती गुणनफल 10 × 18 = 180 व्यक्ति-दिन है। अवधि = 180/15 = 12 दिन; 15 × 12 = 180। इन शर्तों में अधिक लोगों के लिए दिन कम होंगे।

केवल दिशा से मॉडल चुना हो तो उदाहरण 8 दोहराएँ। गुणनफल सही था, लेकिन कहानी की शर्तें छूट गईं, तो उदाहरण 5–6 दोहराएँ। चित्र की दूरी का उत्तर 100 गुना बड़ा या छोटा हो तो उदाहरण 7 दोहराएँ और रूपांतरण अलग चरण में लिखें।

5 स्वतंत्र अभ्यास

कुंजी पढ़ने से पहले सभी बारह प्रश्न हल करें। एक विकल्प चुनें और उसका अपरिवर्ती संबंध या मॉडल को गलत ठहराने वाली जाँच लिखें। यह बिना समय-सीमा का सीखने वाला अभ्यास है: प्रत्येक प्रश्न का 1 अंक, ऋणात्मक अंक 0 और उत्तीर्ण होने की कोई सीमा नहीं। यह पूर्ण RRB CBT का अनुकरण नहीं है।

1. दिए गए प्रत्यक्ष मॉडल में x = 3 पर y = 21 है। x = 8 पर y क्या है?

A. 26 B. 56 C. 168 D. 63/8

2. धन राशियों के व्युत्क्रम मॉडल में x = 4 और y = 27 है। स्थिर गुणनफल k क्या है?

A. 27/4 B. 31 C. 108 D. 23

3. स्थिर इकाई कीमत पर तीन समान कॉपियाँ ₹81 की हैं। कोई शुल्क या मात्रा-आधारित छूट नहीं है। पाँच की कीमत क्या है?

A. ₹48.60 B. ₹83 C. ₹405 D. ₹135

4. धन राशियों के व्युत्क्रम मॉडल में x दुगुना होता है। y को किस गुणक से गुणा किया जाता है?

A. 1/2 B. 2 C. −2 D. 1

5. निश्चित 2,400 लेबल पहले हर पूरे डिब्बे में 30 लेबल रखकर पैक किए गए हैं। उसी खेप को हर पूरे डिब्बे में 40 लेबल रखकर, बिना कुछ बचाए, फिर पैक करें तो कितने डिब्बे चाहिए?

A. 80 B. 60 C. 106 2/3 D. 70

6. एक कॉपियर बिना शुरुआती विलंब या रुकावट के स्थिर दर से छापता है। वह 3 मिनट में 84 पृष्ठ छापता है। 2.5 मिनट में कितने पृष्ठ छापेगा?

A. 58 1/3 पृष्ठ B. 56 पृष्ठ C. 70 पृष्ठ D. 100.8 पृष्ठ

7. आठ समान मशीनें, प्रत्येक समान स्थिर दर पर काम करके, एक निश्चित खेप 15 घंटे में बनाती हैं। काम बिना बाधा बाँटा जाता है; तैयारी, रुकावट या समन्वय से अतिरिक्त विलंब नहीं है। उन्हीं शर्तों में साथ काम करने वाली 12 ऐसी मशीनों को उसी खेप के लिए कितना समय चाहिए?

A. 10 घंटे B. 22.5 घंटे C. 11 घंटे D. 120 घंटे

8. एक चित्र का पैमाना 1:40,000 है। उस पर दो बिंदु 2.8 cm दूर हैं। दर्शाई गई धरातलीय दूरी मीटर में क्या है? 100 cm = 1 m लें।

A. 112,000 m B. 112 m C. 1.12 m D. 1,120 m

9. निश्चित सामग्री 18 लोगों को 20 दिन चलती है। हर व्यक्ति की दैनिक उपयोग-मात्रा समान है और दोनों स्थितियों में नहीं बदलती; नई आपूर्ति या हानि नहीं होती। वही सामग्री 24 लोगों को कितने दिन चलेगी?

A. 26 2/3 दिन B. 15 दिन C. 14 दिन D. 360 दिन

10. किराया स्थिर ₹35 तथा हर किलोमीटर के ₹9 है। क्या कुल किराया धन दूरी के प्रत्यक्ष समानुपात में है? सही निर्णय और कारण चुनें।

A. हाँ; हर किलोमीटर पर जुड़ने वाला शुल्क ₹9 है B. हाँ; किराया और दूरी, दोनों बढ़ते हैं C. नहीं; 1 km और 2 km पर कुल किराया/दूरी ₹44/km और ₹26.50/km है D. नहीं; किराया और दूरी व्युत्क्रम हैं, इसलिए अधिक दूरी का किराया कम होगा

11. दिए युग्म (x, y) = (2, 18), (3, 15), (6, 6) हैं। x बढ़ने पर y घटता है, इसलिए विद्यार्थी इन्हें व्युत्क्रम कहता है। कौन-सी जाँच सही है?

A. वे व्युत्क्रम हैं, क्योंकि y घटता है B. वे व्युत्क्रम हैं, क्योंकि पहले और अंतिम गुणनफल दोनों 36 हैं C. वे प्रत्यक्ष हैं, क्योंकि हर y/x का मान 9 है D. वे व्युत्क्रम नहीं हैं, क्योंकि गुणनफल 36, 45 और 36 हैं

12. पाँच श्रमिक एक निश्चित काम 18 घंटे में करते हैं। वही काम करने वाले नौ श्रमिकों का समय निकालने के लिए मानें कि सभी की दर समान और स्थिर है, सभी साथ काम करते हैं तथा काम बिना बाधा, तैयारी-विलंब या समन्वय-विलंब के बाँटा जा सकता है। कौन-सा निष्कर्ष गणना और उसकी शर्तों, दोनों का पालन करता है?

A. दी गई शर्तों में 10 घंटे; उनके बिना यह अनुमान लागू होना आवश्यक नहीं B. किन्हीं भी नौ श्रमिकों के लिए 10 घंटे, चाहे उनकी दरें या विलंब अलग हों C. दी गई शर्तों में 32.4 घंटे, क्योंकि श्रमिक बढ़ने पर समय बढ़ता है D. 14 घंटे, क्योंकि चार श्रमिक जोड़ने पर चार घंटे घटते हैं

6 व्याख्या सहित उत्तर-कुंजी

1. B सही है: अपरिवर्ती भागफल y/x = 21/3 = 7 है, इसलिए y = 7 × 8 = 56। जाँच: 56/8 = 7। A में x का अंतर 8 − 3 = 5, 21 में जोड़ा गया है; समान जोड़ से यह दर स्थिर नहीं रहती। C में पुराने x = 3 से भाग दिए बिना 21 को 8 से गुणा किया गया है। D में व्युत्क्रम गुणक से 21 × 3/8 = 63/8 निकाला गया है; इस प्रत्यक्ष मॉडल में x बढ़ने पर y को घटाना गलत है।

2. C सही है: व्युत्क्रम समानुपात में xy स्थिर है, इसलिए k = 4 × 27 = 108। y = k/x में रखने पर 108/4 = 27। A में y/x निकाला गया है, जो प्रत्यक्ष मॉडल की जाँच का भागफल है; माँगा गया गुणनफल नहीं। B में 4 + 27 = 31 जोड़ा गया है; व्युत्क्रम मॉडल में यह योग सामान्यतः स्थिर नहीं रहता। D में 27 − 4 = 23 घटाया गया है; स्थिर अंतर व्युत्क्रम का अपरिवर्ती संबंध नहीं है।

3. D सही है: एक कॉपी 81/3 = ₹27 की है, इसलिए पाँच 5 × 27 = ₹135 की होंगी। अपरिवर्ती दर कीमत/कॉपियों की संख्या = ₹27 प्रति कॉपी है। A में व्युत्क्रम गणना 81 × 3/5 = 48.60 से अधिक कॉपियों की कीमत कम कर दी गई है। B में दो अतिरिक्त कॉपियों को रुपये की राशि में 81 + 2 की तरह जोड़ा गया है; संख्या और रुपये मिला दिए गए हैं। C में 81 × 5 = 405 से तीन कॉपियों की कीमत को एक की कीमत मान लिया गया है।

4. A सही है: (2x) × (y/2) = xy, इसलिए गुणक 1/2 है। B में y भी दुगुना करके गुणनफल चार गुना हो जाता है। C में धन y ऋण हो जाएगा; −2 से गुणा करना न आधा करना है, न 2 घटाना। केवल 2 घटाने से भी गुणनफल सामान्यतः स्थिर नहीं रहेगा। D में y नहीं बदलता, जिससे xy स्थिर रहने के बजाय दुगुना होगा।

5. B सही है: प्रति डिब्बा लेबल × डिब्बे = 2,400, इसलिए डिब्बे = 2,400/40 = 60। पहले 2,400/30 = 80 डिब्बे थे; व्युत्क्रम गुणक से 80 × 30/40 = 60। A में पैकिंग बढ़ने पर भी पुराने 80 डिब्बे रखे गए हैं। C में प्रत्यक्ष गुणक से 80 × 40/30 = 106 2/3 निकाला गया है; कुल स्थिर नहीं रहता और यहाँ पूरे डिब्बों की संख्या भी इतनी नहीं हो सकती। D में प्रति डिब्बा वृद्धि 40 − 30 = 10 को 80 से घटाया गया है; 70 डिब्बों में 40-40 लेबल रखने पर 2,800 होंगे, 2,400 नहीं।

6. C सही है: दर 84/3 = 28 पृष्ठ प्रति मिनट है, इसलिए 28 × 2.5 = 70 पृष्ठ। जाँच: कम समय में 84 से कम पृष्ठ मिलते हैं और 70/2.5 = 28। A में 2.5 मिनट को 2 मिनट 5 सेकंड समझा गया है: 84 × 125/180 = 58 1/3। वास्तव में 2.5 मिनट, 150 सेकंड या 2 मिनट 30 सेकंड है। B में केवल 2 मिनट गिने गए और आधा मिनट छोड़ा गया है। D में व्युत्क्रम गणना 84 × 3/2.5 = 100.8 की गई है, जबकि स्थिर दर पर उत्पादन और समय प्रत्यक्ष हैं।

7. A सही है: निश्चित खेप के लिए 8 × 15 = 120 मशीन-घंटे चाहिए, इसलिए 12t = 120 और t = 10 घंटे। जाँच: 12 × 10 = 120 और अधिक समान मशीनों को कम समय लगता है। B में प्रत्यक्ष गुणक 15 × 12/8 = 22.5 से समय बढ़ा दिया गया है। C में चार अतिरिक्त मशीनों की संख्या 15 घंटों से घटाई गई है; अलग राशियाँ मिलती हैं और 12 × 11 = 132 से भी जाँच असफल है। D में कुल 120 मशीन-घंटों को पूरे समूह के बीते घंटे मान लिया गया है; बीता समय पाने के लिए 12 मशीनों से भाग दें।

8. D सही है: पैमाना समान लंबाई-इकाइयों की तुलना करता है, इसलिए धरातलीय दूरी = 2.8 × 40,000 = 112,000 cm = 1,120 m। जाँच: चित्र का एक सेंटीमीटर 400 m दर्शाता है; 2.8 × 400 = 1,120। A में 100 से भाग दिए बिना सेंटीमीटर के मान पर मीटर लिख दिया गया है। B में सेंटीमीटर के मान को 100 के बजाय 1,000 से भाग दिया गया है। C में किलोमीटर में बदलकर 1.12 मिला, लेकिन इकाई मीटर लिख दी गई है। इस दर्शाई गई दूरी से अपने-आप सड़क के रास्ते की लंबाई नहीं मिलती।

9. B सही है: प्रति व्यक्ति दैनिक मात्रा अपरिवर्तित होने से अपरिवर्ती गुणनफल व्यक्ति × दिन = 18 × 20 = 360 व्यक्ति-दिन है। इसलिए दिन = 360/24 = 15 और 24 × 15 = 360। A में प्रत्यक्ष गुणक 20 × 24/18 = 26 2/3 से अधिक लोगों के लिए भंडार अधिक दिन चला दिया गया है। C में छह अतिरिक्त लोगों की संख्या 20 दिनों से घटाकर इकाइयाँ मिलाई गई हैं; 24 × 14 = 336, 360 नहीं। D में 24 लोगों से भाग दिए बिना कुल 360 व्यक्ति-दिन को बीते दिन बता दिया गया है।

10. C सही है: F = 35 + 9d से 1 km पर F = ₹44 और 2 km पर ₹53। इसलिए F/d, 44 से 26.50 रुपये प्रति km हो जाता है; संबंध प्रत्यक्ष नहीं है। A में स्थिर अतिरिक्त दर ₹9/km को औसत कुल किराया प्रति किलोमीटर मान लिया गया है, जिसमें स्थिर ₹35 भी शामिल हैं। B में केवल दिशा देखी गई है, जो पर्याप्त जाँच नहीं है। D की शुरुआत में 'नहीं' सही है, लेकिन संबंध को व्युत्क्रम कहना गलत है: किराया बढ़ता है और गुणनफल 1 × 44 = 44 तथा 2 × 53 = 106 अलग हैं। केवल F − 35, दूरी के प्रत्यक्ष समानुपात में है।

11. D सही है: 2 × 18 = 36, 3 × 15 = 45 और 6 × 6 = 36। एक भी असंगत पंक्ति दिए आँकड़ों के लिए स्थिर-गुणनफल मॉडल को गलत ठहराती है। A में केवल दिशा जाँची गई है, गुणनफल नहीं। B में बीच की पंक्ति छोड़ दी गई है; सिरों के मिलने से विरोध मिट नहीं जाता। C में भागफल गलत निकाले गए हैं: 18/2 = 9, 15/3 = 5 और 6/6 = 1, इसलिए सारणी प्रत्यक्ष भी नहीं है।

12. A सही है: दी गई शर्तों में निश्चित काम के लिए 5 × 18 = 90 श्रमिक-घंटे चाहिए। नौ ऐसे श्रमिक 90/9 = 10 घंटे लेंगे और 9 × 10 = 5 × 18। B का संख्यात्मक उत्तर समान है, लेकिन उसे असमान दरों या अतिरिक्त विलंब पर भी लागू कहना गलत है; तब केवल श्रमिकों की संख्या से स्थिर गुणनफल सिद्ध नहीं होता। C में व्युत्क्रम गुणक के बजाय प्रत्यक्ष गुणक 18 × 9/5 = 32.4 लगाया गया है। D में अंतर से 18 − 4 = 14 निकाला गया है; 9 × 14 = 126 श्रमिक-घंटे, 90 से नहीं मिलते।

7 अपनी गलतियों से दोहराने का विषय चुनें

• प्रश्न 1, 3, 6: इकाई दर और ऐकिक विधि के लिए खंड A दोहराएँ
• प्रश्न 2, 4, 5: स्थिर गुणनफल और उलटे गुणक के लिए खंड B का आरंभ दोहराएँ
• प्रश्न 7, 9, 12: स्थिर कार्य/भंडार और दर की शर्तों के लिए उदाहरण 5–6 दोहराएँ
• प्रश्न 8: समान लंबाई-इकाइयों और पैमाने के लिए उदाहरण 7 दोहराएँ
• प्रश्न 10–11: दिशा के बजाय हर भागफल/गुणनफल जाँचने के लिए उदाहरण 8 दोहराएँ

दोहराने के बाद संबंधित प्रश्न बिना कुंजी देखे फिर करें और समझाएँ कि बाकी तीन विकल्प क्यों गलत हैं।

स्रोत और इस पाठ की सीमा

RRB की आधिकारिक गणित विषय-सूची में Ratio and Proportion है: RRB CEN 09/2025, §14.1, मुद्रित पृ.28। यह विषय-सीमा का आधार है; इससे प्रश्नों की आवृत्ति या भविष्य की परीक्षा का अनुमान नहीं लगाया गया है।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम संबंधों का गणितीय आधार NCERT कक्षा VIII गणित, अध्याय 11 के §11.2 पृ.129–137 तथा §11.3 पृ.137–143 और NCERT गणित प्रकाश, कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3 के §3.6 पृ.63–65 में है। पैमाने के लिए NCERT गणित प्रकाश, कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3 §3.2 पृ.56–57 देखें। उद्धृत अवधारणाओं पर इस पाठ की सभी व्याख्याएँ, उदाहरण, प्रश्न और प्रतिउदाहरण स्वतंत्र रूप से लिखे गए हैं; किसी पुस्तक का प्रश्न या स्कैन नहीं लिया गया। समान स्थिर कार्य-दर, निश्चित कार्य, अपरिवर्तित प्रति व्यक्ति दैनिक उपयोग तथा अतिरिक्त विलंब न होने की शर्तें हमारे मॉडल में स्पष्ट रखी गई हैं। असमान श्रमिकों की संयुक्त दर, पाइप, सापेक्ष चाल और कई बदलती राशियों के संयुक्त समानुपात इस पाठ की सीमा से बाहर हैं।

उदाहरण से समझें

कल्पना करें कि समान आयताकार कार्ड एक कतार में समतल रखे हैं; न बीच में खाली जगह है, न एक कार्ड दूसरे पर चढ़ा है। हर कार्ड 6 cm चौड़ा हो तो दुगुने कार्डों की कुल चौड़ाई दुगुनी होगी। प्रति कार्ड स्थिर चौड़ाई एक भागफल है: कुल चौड़ाई/कार्डों की संख्या = 6 cm प्रति कार्ड। यह प्रत्यक्ष संबंध का चित्र है।

अब एक 60 cm रिबन स्थिर रखें और बिना सामग्री खोए उसे बराबर टुकड़ों में काटें। अधिक बराबर टुकड़ों की लंबाई कम होगी: 5 टुकड़े 12-12 cm के हैं, जबकि 10 टुकड़े 6-6 cm के हैं। टुकड़ों की संख्या × प्रति टुकड़ा लंबाई = 60 cm स्थिर रहता है। यह व्युत्क्रम संबंध का चित्र है, क्योंकि पूरा रिबन स्थिर है, टुकड़े की लंबाई नहीं।

दोनों चित्रों में उपयोगी प्रश्न है: “हम क्या अपरिवर्तित रख रहे हैं?” चित्रों की सीमाएँ भी हैं: असमान कार्ड, बीच की जगह, रिबन के असमान टुकड़े या कटाई की हानि संबंध बदल देंगे। इनसे यह भी सिद्ध नहीं होता कि श्रमिकों का हर बड़ा समूह उसी अनुपात में तेज होगा; उसके लिए समान दर और अतिरिक्त विलंब न होने की अलग शर्तें चाहिए। चित्र अपरिवर्ती संबंध का नाम पहचानने में मदद करता है, लेकिन कहानी की शर्तें जाँचना फिर भी आवश्यक है।

सूत्र और नियम

गणना से पहले चुनें

1. बदलती हुई दो राशियों के नाम और स्थिर रहने वाला संबंध लिखें।
2. एक ही राशि के दोनों मान एक ही इकाई में रखें।
3. अपरिवर्ती संबंध जाँचें, फिर गणना करें; उत्तर वापस रखकर उसकी दिशा जाँचें।

प्रत्यक्ष समानुपात: भागफल समान

• y/x = k; y = kx, यहाँ उपयोग किए धन मानों के लिए
• y₂ = y₁ × (x₂/x₁): x को f से गुणा करें तो y भी f से गुणा होता है
• ऐकिक विधि: पुराना y ÷ पुराना x, फिर नए x से गुणा
• सामान्य शर्त: बिना शुल्क/छूट की अपरिवर्तित इकाई कीमत, या बिना शुरुआती विलंब की अपरिवर्तित उत्पादन दर
• दर की इकाइयाँ रखें: ₹/kg, पृष्ठ/मिनट, km/घंटा

व्युत्क्रम समानुपात: गुणनफल समान

• xy = k; y = k/x; x और y धन हैं तथा x ≠ 0
• y₂ = y₁ × (x₁/x₂): x को f से गुणा करें तो y को 1/f से गुणा करते हैं
• निश्चित कार्य: श्रमिक × समय तभी, जब श्रमिक समान स्थिर दर वाले हों, वही काम बाँटा जा सके और बाधा या अतिरिक्त विलंब न हो
• निश्चित भंडार: व्यक्ति × दिन तभी, जब हर व्यक्ति का समान दैनिक उपयोग दोनों स्थितियों में अपरिवर्तित हो तथा नई आपूर्ति/हानि न हो
• निश्चित पैकिंग: प्रति पूरे डिब्बे की वस्तुएँ × डिब्बों की संख्या = कुल वस्तुएँ; पूरे डिब्बों की व्यावहारिक शर्त भी जाँचें

इकाइयाँ और भ्रम

• 1 घंटा = 60 मिनट; 2.5 मिनट = 2 मिनट 30 सेकंड
• 1 m = 100 cm; 1 km = 1,000 m = 100,000 cm
• पैमाना 1:n का अर्थ, समान इकाइयों में चित्र की लंबाई:दर्शाई गई धरातलीय लंबाई = 1:n; चित्र की लंबाई को n से गुणा करें, फिर उत्तर की इकाई बदलें
• चित्र की दूरी दर्शाई गई धरातलीय दूरी है, मान ली गई सड़क-मार्ग की लंबाई नहीं
• दोनों का बढ़ना प्रत्यक्ष और विपरीत दिशा में बदलना व्युत्क्रम सिद्ध नहीं करता
• कुल कीमत में स्थिर शुल्क होने पर प्रत्यक्ष मॉडल सामान्यतः लागू नहीं होता: कुल कीमत/मात्रा जाँचें
• हर दी हुई पंक्ति जाँचें। सीमित पंक्तियों का मिलना अनुकूलता दिखाता है, सार्वभौमिक वास्तविक नियम नहीं
• न भागफल स्थिर हो, न गुणनफल, तो किसी भी मॉडल को जबरन न लगाएँ

गलती सुधारें

इकाई गलत: रूपांतरण फिर लिखें। दिशा गलत: चुना मॉडल फिर जाँचें। दिशा सही, मान गलत: वास्तविक भागफल/गुणनफल जाँचें। शर्तें गायब: संख्यात्मक अनुमान अभी उचित नहीं ठहराया गया है।