भिन्न दशमलव और सटीक गणना

आप क्या सीखेंगे

एक भिन्न और एक दशमलव एक ही संख्या के दो रूप हो सकते हैं। सुविधाजनक रूप चुनने से मात्राओं की तुलना, सही गणना और सटीक उत्तर तथा सन्निकट उत्तर में अंतर करना आसान होता है। पाठ के अंत तक आप:

• अंश, हर और तय किए गए पूर्ण को समझा सकेंगे तथा मिश्र भिन्न और विषम भिन्न को एक-दूसरे में बदल सकेंगे
• तुल्य भिन्न बना सकेंगे, उन्हें सरलतम रूप में लिख सकेंगे और समान आकार के हिस्सों से तुलना कर सकेंगे
• भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग कर सकेंगे तथा विधियों का कारण बता सकेंगे
• दशमलव के स्थानीय मान और चारों संक्रियाओं का उपयोग कर सकेंगे
• सांत दशमलव तथा एक सरल आवर्ती दशमलव को सटीक भिन्न में बदल सकेंगे
• बीच की गणना में सटीक मान बनाए रख सकेंगे, माँगे जाने पर ही निकटतम मान लिख सकेंगे और उत्तर का चिह्न तथा आकार जाँच सकेंगे

यह संख्याएँ और गणना का चौथा पाठ है। इसमें RRB गणित पाठ्यक्रम में दिए गए भिन्न और दशमलव विषय विकसित किए गए हैं। इससे किसी विषय के प्रश्नों की संख्या का अनुमान नहीं लगाया गया है। प्रतिशत, व्यावसायिक गणित और सामान्य समीकरण हल करना इस पाठ के दायरे में नहीं हैं।

1 पहले सीखे साधनों को याद करें

हल पढ़ने से पहले इन्हें आजमाएँ। ये पिछले पाठों की याद दिलाने वाले प्रश्न हैं, समयबद्ध प्रवेश परीक्षा नहीं।

1. HCF(18, 24) ज्ञात करें।
2. LCM(8, 12) ज्ञात करें।
3. 18 ÷ 3 × 2 निकालें।
4. −7 − (−2) निकालें।

हल और संकेत:

1. 6। यह 18 और 24 दोनों को निःशेष भाग देने वाली सबसे बड़ी धनात्मक संख्या है: 18 = 6 × 3 और 24 = 6 × 4। इसका उपयोग भिन्न को सरल करने में करेंगे।
2. 24। यह सबसे छोटा धनात्मक समापवर्त्य है: 24 = 8 × 3 = 12 × 2। इससे समान आकार के हिस्से चुनेंगे। कोई भी समापवर्त्य काम करेगा; सबसे छोटा लेने से सामान्यतः गणना छोटी रहती है।
3. 12। भाग और गुणा की प्राथमिकता समान है: 18 ÷ 3 × 2 = 6 × 2 = 12।
4. −5। −2 को घटाने पर उसकी विपरीत संख्या जुड़ती है: −7 + 2 = −5।

यदि किसी चरण में संदेह हो, तो चिह्न और संक्रिया-क्रम वाला पाठ या HCF/LCM वाला पाठ फिर देखें। यहाँ इन साधनों को केवल जरूरत पड़ने पर याद करेंगे। आगे बढ़ने के लिए अंकों की कोई न्यूनतम शर्त नहीं है।

2 भिन्न समान हिस्से और भाग दर्शाते हैं

पहले पूरा आकार या इकाई तय करें। यदि एक पट्टी को पाँच समान हिस्सों में बाँटें, तो हर हिस्सा उस पट्टी का 1/5 है। ऐसे तीन हिस्से 3/5 हैं। हर, यानी 5, बताता है कि कितने समान हिस्से मिलकर एक पूर्ण बनाते हैं; अंश, यानी 3, बताता है कि उस आकार के कितने हिस्से लिए गए हैं। असमान हिस्सों को केवल गिनकर समान पाँचवें हिस्से नहीं मान सकते।

भिन्न भाग भी दर्शाता है: 3/5 = 3 ÷ 5। तीन एक जैसी पट्टियाँ पाँच लोगों में बराबर बाँटने पर प्रत्येक को एक पट्टी का 3/5 मिलेगा। इसलिए यही संकेत एक पूर्ण से बड़ी मात्राओं और संख्या रेखा की संख्याओं के लिए भी काम करता है। 3/5 अंकित करने के लिए 0 से 1 की दूरी को पाँच समान चरणों में बाँटें और 0 से तीन चरण दाईं ओर जाएँ।

धनात्मक भिन्नों में उचित भिन्न का अंश हर से छोटा होता है, जैसे 3/5। विषम भिन्न का अंश हर के बराबर या उससे बड़ा होता है, जैसे 13/5 या 5/5। मिश्र भिन्न, जैसे 2 3/5, पूर्ण इकाइयों और उचित भिन्न का योग दर्शाता है: 2 + 3/5। इसका अर्थ 2 × 3/5 नहीं है।

हर शून्य नहीं हो सकता। अंश शून्य हो सकता है: 0/5 = 0। धनात्मक और ऋणात्मक भिन्नों की तुलना करते समय हर धनात्मक रखें: 3/(−5) = −3/5 और (−3)/(−5) = 3/5। पाठ 1 के चिह्न-नियम यहाँ भी लागू हैं। ऋणात्मक भिन्न शून्य के बाईं ओर होता है। ऋणात्मक मिश्र मात्रा के लिए −(2 + 3/5) लिखें, ताकि साफ रहे कि ऋण चिह्न पूरे योग पर लागू है।

तुल्य भिन्न में मात्रा नहीं बदलती

पट्टी के प्रत्येक पाँचवें हिस्से को दो बराबर हिस्सों में काटें। अब पूरे में दस हिस्से हैं और पहले के तीन पाँचवें हिस्सों में छह हिस्से हैं। इसलिए 3/5 = 6/10। लिए गए हिस्सों की संख्या और पूरे में हिस्सों की संख्या, दोनों दोगुनी हुई हैं; मात्रा वही है।

अंश और हर को एक ही अशून्य संख्या से गुणा करने पर भिन्न का मान नहीं बदलता। यहाँ पूर्णांक अंश और हर वाले भिन्नों के लिए अशून्य पूर्णांक गुणक लें। दोनों को एक ही धनात्मक उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देने पर भी मान नहीं बदलता। भिन्न सरलतम रूप में तब है जब अंश और धनात्मक हर का 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। HCF से एक ही चरण में यह रूप मिल जाता है।

हल किया उदाहरण 1 मिश्र रूप और सरलीकरण

2 3/5 को विषम भिन्न में बदलें, फिर उलटा रूपांतरण करें और 18/24 को सरलतम रूप में लिखें।

1. हर पूर्ण में पाँच पाँचवें हिस्से हैं। दो पूर्णों में 2 × 5 = 10 पाँचवें हिस्से हैं। तीन और जोड़ने पर 2 3/5 = (10 + 3)/5 = 13/5।
2. उलटे रूपांतरण में 13 ÷ 5 का भागफल 2 और शेषफल 3 है: 13 = 2 × 5 + 3। इसलिए 13/5 = 2 + 3/5।
3. HCF(18, 24) = 6, इसलिए 18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4। 3 और 4 का HCF 1 है, इसलिए यह सरलतम रूप है।

जाँच: 13/5 का मान 2 = 10/5 और 3 = 15/5 के बीच है। 18/24 के सरलीकरण से उसका मान या संख्या रेखा पर स्थान नहीं बदलना चाहिए।

गलती की जाँच: सरलीकरण में उभयनिष्ठ गुणनखंड कटते हैं, एक जैसे दिखने वाले अंक नहीं। उदाहरण के लिए, 3 से भाग देने पर 12/15 = 4/5; अंक 1 मिटाने पर 2/5 मिलेगा, जो अलग संख्या है। इसी तरह (3 + 6)/3 के अंश में केवल एक पद को नहीं काट सकते। पूरा अंश 9 है, इसलिए मान 3 है।

3 समान आकार के हिस्सों से तुलना करें

समान धनात्मक हर होने पर अंशों की तुलना करें: 7/12 > 5/12, क्योंकि सात बारहवें हिस्से पाँच बारहवें हिस्सों से अधिक हैं। हर अलग हों, तो पहले दोनों को समान हर वाली तुल्य भिन्नों में बदलें। इकाइयों वाली मात्राओं में पूर्ण भी समान होना चाहिए: बड़ी शीट का आधा हिस्सा जरूरी नहीं कि छोटी शीट के तीन चौथाई से छोटा हो।

हल किया उदाहरण 2 दो भिन्नों की तुलना

5/8 और 7/12 में कौन बड़ा है?

1. LCM(8, 12) = 24।
2. 5/8 = (5 × 3)/(8 × 3) = 15/24।
3. 7/12 = (7 × 2)/(12 × 2) = 14/24।
4. 15 > 14, इसलिए 5/8 > 7/12। इनका अंतर एक चौबीसवाँ हिस्सा है।

दोनों भिन्न 1/2 और 1 के बीच हैं; यह एक उपयोगी मोटी जाँच है। 96 जैसा दूसरा समान हर भी काम करेगा; 24 लेना केवल अधिक सुविधाजनक है।

गलती की जाँच: पूर्ण समान हो तो बड़ा हर प्रत्येक हिस्से को छोटा बनाता है, लेकिन कितने हिस्से लिए गए हैं, यह भी जरूरी है। केवल 8 और 12 की तुलना करने से अलग-अलग अंशों की उपेक्षा हो जाती है। दोनों चिह्न बदलकर ऋणात्मक करने पर क्रम उलटता है: −5/8 = −15/24 < −14/24 = −7/12।

रुककर समझाएँ: 4/9, 5/9 से छोटा क्यों है? दोनों में समान आकार के नौवें हिस्से गिने गए हैं और चार, पाँच से छोटा है।

4 समान इकाइयों को जोड़ें और घटाएँ

दो पाँचवें हिस्सों में एक पाँचवाँ हिस्सा जोड़ने पर तीन पाँचवें हिस्से मिलते हैं: 2/5 + 1/5 = 3/5। हर 5 ही रहता है, क्योंकि गिनी जा रही इकाई अब भी पाँचवाँ हिस्सा है। हर अलग हों, तो पहले तुल्य भिन्न बनाकर हर समान करें; फिर चिह्नों सहित अंश जोड़ें या घटाएँ। संभव हो तो परिणाम सरल करें।

हल किया उदाहरण 3 जोड़ और घटाव एक साथ

5/6 − 1/4 + 1/3 निकालें।

1. समान हर के लिए LCM(6, 4, 3) = 12 ले सकते हैं।
2. 5/6 − 1/4 + 1/3 = 10/12 − 3/12 + 4/12।
3. बाएँ से दाएँ करें: 10/12 − 3/12 = 7/12; फिर 7/12 + 4/12 = 11/12।
4. उत्तर 11/12 है और पहले से सरलतम रूप में है।

जाँच: −1/4 + 1/3 का कुल प्रभाव 5/6 = 10/12 में 1/12 जोड़ना है। उत्तर धनात्मक और 1 से थोड़ा कम है।

गलती की जाँच: (5 − 1 + 1)/(6 − 4 + 3) न निकालें। हरों को जोड़ने या घटाने से हिस्सों की संख्या के साथ उनका आकार भी बदल जाएगा। साधारण उदाहरण में भी 1/2 + 1/2 = 1, जबकि गलत नियम से 2/4 = 1/2 मिलेगा।

चिह्नों का अर्थ बना रहता है: −2/3 + 1/4 = −8/12 + 3/12 = −5/12। इसी तरह 1/4 − (−1/2) = 1/4 + 2/4 = 3/4। संक्रिया-चिह्न के बाद आने वाली ऋणात्मक भिन्न को कोष्ठक में रखें।

5 गुणा का अर्थ किसी मात्रा का हिस्सा लेना है

किसी धनात्मक मात्रा को 3/4 से गुणा करने का अर्थ है उसे चार बराबर हिस्सों में बाँटना और उनमें से तीन लेना। भिन्न का भिन्न लेने पर हिस्सों का विभाजन फिर होता है। इसी से नियम मिलता है: अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करें। पूर्ण संख्या को हर 1 के साथ लिख सकते हैं; मिश्र भिन्न को पहले विषम भिन्न में बदलें।

हल किया उदाहरण 4 भिन्न का भिन्न

एक पूरी शीट के 2/5 भाग का 3/4 ज्ञात करें।

1. कल्पना करें कि पूरी शीट पाँच बराबर स्तंभों में बँटी है। पहले दो स्तंभ शीट का 2/5 बनाते हैं।
2. हर स्तंभ को चार बराबर हिस्सों में बाँटें। पूरी शीट में 5 × 4 = 20 बराबर हिस्से हैं। चुने गए दोनों स्तंभों में से प्रत्येक के चार में से तीन हिस्से लेने पर 3 × 2 = 6 हिस्से मिलते हैं।
3. इसलिए (3/4) × (2/5) = (3 × 2)/(4 × 5) = 6/20 = पूरी शीट का 3/10।

जाँच: 3/10 < 2/5, क्योंकि किसी धनात्मक मात्रा का केवल 3/4 लेने पर पूरी मात्रा से कम मिलता है। गुणा हमेशा संख्या बढ़ाता नहीं है। धनात्मक मात्रा को 1 से बड़ी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर मान बढ़ता है; 0 और 1 के बीच की संख्या से गुणा करने पर घटता है।

गुणा से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड सरल कर सकते हैं: (3 × 2)/(4 × 5) = (3 × 1)/(2 × 5) = 3/10। यह इसलिए सही है क्योंकि 2 पूरे अंश के गुणनफल और पूरे हर के गुणनफल, दोनों को भाग देता है। यह जोड़ के पदों को काटना नहीं है।

गलती की जाँच: इस वाक्य में किसी मात्रा का हिस्सा लेने को स्पष्ट गुणा (3/4) × (2/5) में लिखा गया है। अंग्रेजी शब्द “of” के लिए BODMAS में कोई नया सार्वभौमिक प्राथमिकता-स्तर नहीं बनता। अलग चिह्नों के नियम से −(3/4) × (2/5) = −3/10 भी है।

6 भाग में पूछें कि भाजक को किससे गुणा करना है

A ÷ B उस संख्या को पूछता है जिसे B से गुणा करने पर A मिले; B अशून्य होना चाहिए। किसी अशून्य संख्या का व्युत्क्रम वह संख्या है जिससे गुणा करने पर 1 मिलता है। उदाहरण के लिए, (3/8) × (8/3) = 1, इसलिए 8/3, 3/8 का व्युत्क्रम है। 4 का व्युत्क्रम 1/4 है। शून्य का व्युत्क्रम नहीं होता।

भाग देते समय व्युत्क्रम से गुणा क्यों करते हैं? मान लें कि हमें ऐसी मात्रा चाहिए जिसे 3/8 से गुणा करने पर A मिले। मात्रा A × (8/3) यह काम करती है, क्योंकि इसे 3/8 से गुणा करने पर A × 1 = A मिलता है। इसी कारण A ÷ (3/8) = A × (8/3) है। इसका अर्थ यह नहीं है कि सामने दिखने वाली हर भिन्न को उलट दें।

हल किया उदाहरण 5 समान हिस्से

9/4 लीटर में 3/8 लीटर के कितने हिस्से ठीक-ठीक बनेंगे?

1. हिस्सों की संख्या = कुल आयतन ÷ हर हिस्से का आयतन = (9/4) ÷ (3/8)।
2. केवल भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें: (9/4) × (8/3)।
3. सरल करें: 9 ÷ 3 = 3 और 8 ÷ 4 = 2, इसलिए उत्तर 3 × 2 = 6 हिस्से है।
4. जाँच: 6 × (3/8) = 18/8 = 9/4 लीटर, जो ठीक प्रारंभिक आयतन है।

दूसरा तरीका समान इकाइयों का है: 9/4 लीटर = 18/8 लीटर। अठारह आठवें हिस्सों में तीन आठवें हिस्सों वाले छह समूह बनते हैं। उत्तर हिस्से गिन रहा है, इसलिए 6 हिस्से है, 6 लीटर नहीं।

गलती की जाँच: 1 से छोटी धनात्मक संख्या से भाग देने पर संख्यात्मक मान बढ़ सकता है। भाजक के स्थान पर भाज्य को उलटना प्रश्न बदल देता है। मिश्र भिन्न से भाग दे रहे हों, तो पहले उसे विषम भिन्न में बदलें। भाजक 0 हो तो रुकें, क्योंकि भाग अपरिभाषित है।

पूर्ण संख्या से भाग देने में भी यही विधि है: (3/5) ÷ 2 = (3/5) × (1/2) = 3/10। चिह्न वाली संख्याओं में पहले की तरह चिह्न तय करें: (−3/5) ÷ (−2) = 3/10।

7 दशमलव स्थानीय मान का विस्तार हैं

दशमलव बिंदु के दाईं ओर पहले तीन स्थान दशांश, शतांश और सहस्रांश हैं। प्रत्येक स्थान का मान उसके ठीक बाईं ओर के स्थान का दसवाँ भाग है। इसलिए 4.072 = 4 + 0/10 + 7/100 + 2/1000। शून्य बताता है कि इस स्थानीय-मान विस्तार में दशांश नहीं हैं।

किसी सांत दशमलव को उसके दशमलव स्थानों की संख्या के अनुसार 10, 100, 1000 आदि हर वाली पूर्णांक भिन्न में सटीक रूप से बदल सकते हैं। चिह्न बनाए रखें और फिर सरल करें। उलटी दिशा में, भिन्न एक भाग है: अंश को हर से भाग दें या सुविधाजनक हो तो हर को 10 की किसी उपयुक्त घात में बदलें।

हल किया उदाहरण 6 तुलना और सटीक रूपांतरण

0.7 और 0.65 की तुलना करें, फिर 0.375 को भिन्न में बदलें।

1. 0.7 = 7/10 = 70/100 = 0.70। इसलिए 0.70 > 0.65, क्योंकि 70 शतांश, 65 शतांश से अधिक हैं।
2. 0.375 में दशमलव के तीन स्थान हैं, इसलिए 0.375 = 375/1000।
3. अंश और हर को 125 से भाग दें: 375/1000 = 3/8।
4. उलटा रूपांतरण करके जाँचें: 3/8 = (3 × 125)/(8 × 125) = 375/1000 = 0.375।

गलती की जाँच: दशमलव के अधिक अंक होने से संख्या जरूरी नहीं कि बड़ी हो। सांत दशमलव के अंत में शून्य जोड़ने से मान नहीं बदलता: 0.7 = 0.70 = 0.700। स्थानीय-मान के बीच के स्थानों का शून्य महत्वपूर्ण हो सकता है: 0.07 सात शतांश है, सात दशांश नहीं।

रुककर समझाएँ: 0.04 = 4/100 = 1/25, जबकि 0.4 = 4/10 = 2/5। अंक 4 का स्थान बदलने से उसका मान 10 गुना बदलता है।

8 दशमलव की गणना में स्थानीय मान बनाए रखें

इस खंड की लिखित दशमलव-स्थान विधियाँ सांत दशमलवों के लिए हैं। आवर्ती दशमलवों के लिए सटीक भिन्न का उपयोग करें; खंड 9 में एक सरल रूपांतरण समझाया गया है।

जोड़ और घटाव में दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें, ताकि इकाइयों के नीचे इकाइयाँ और दशांश के नीचे दशांश आएँ। जरूरत हो तो अंत में शून्य जोड़ें। हासिल और उधार की प्रक्रिया पूर्ण संख्याओं जैसी है, क्योंकि किसी स्थान की दस इकाइयाँ उससे बाएँ वाले स्थान की एक इकाई बनाती हैं।

गुणा में भिन्न रूप समझाता है कि दशमलव स्थानों की संख्याएँ क्यों जुड़ती हैं। दो दशमलव स्थानों का अर्थ 100 से भाग है; एक और स्थान का अर्थ 10 से भाग है; गुणनफल में 1000 से भाग होगा। इससे सामान्य विधि मिलती है: अंकों को पूर्ण संख्याएँ मानकर गुणा करें और फिर दोनों गुणकों के कुल दशमलव स्थानों के अनुसार दशमलव लगाएँ। जरूरत पड़ने पर शुरुआत में आवश्यक शून्य रखें।

भाग में भाज्य और अशून्य भाजक, दोनों को 10 की समान घात से गुणा करने पर भागफल नहीं बदलता। ऐसी घात चुनें जिससे भाजक पूर्णांक बन जाए, फिर चिह्न-नियमों का ध्यान रखते हुए भाग दें। दोनों संख्याओं को समान गुणक से बदलने के कारण यह विधि सही है; केवल एक संख्या में दशमलव बिंदु खिसकाने के कारण नहीं।

हल किया उदाहरण 7 दशमलव की चार संक्रियाएँ

4.08 + 0.7, 4.08 − 0.7, 0.24 × 0.5 और 3.6 ÷ 0.12 निकालें।

1. जोड़: 4.08 + 0.70 = 408/100 + 70/100 = 478/100 = 4.78। अंक 7 दशांश के स्तंभ में है, शतांश के स्तंभ में नहीं।
2. घटाव: 4.08 − 0.70 = 408/100 − 70/100 = 338/100 = 3.38। स्तंभ-विधि में 4 इकाइयाँ 0 दशांश 8 शतांश को 3 इकाइयाँ 10 दशांश 8 शतांश के रूप में फिर लिखें। 7 दशांश हटाने पर 3 इकाइयाँ 3 दशांश 8 शतांश बचते हैं।
3. गुणा: 0.24 × 0.5 = (24/100) × (5/10) = 120/1000 = 0.120 = 0.12। अंतिम अनावश्यक शून्य हटाने से पहले दोनों गुणकों के 2 + 1 = 3 दशमलव स्थान हैं। 0.24 का आधा 0.12 होना चाहिए, 1.2 नहीं।
4. भाग: 3.6 ÷ 0.12 = (3.6 × 100) ÷ (0.12 × 100) = 360 ÷ 12 = 30। जाँच: 30 × 0.12 = 3.6।

गलती की जाँच: जोड़ में अंतिम लिखे अंकों को एक सीध में रखने से 0.7 को 0.07 मान लिया जाएगा। भाग में 360 ÷ 0.12 और 3.6 ÷ 12, दोनों मूल भागफल से अलग हैं, क्योंकि केवल एक संख्या बदली गई है।

आकार की छोटी जाँच अक्सर गलत दशमलव स्थान पकड़ लेती है: 4.08 और 0.7 का योग 4 और 5 के बीच होना चाहिए; किसी धनात्मक संख्या का आधा उससे छोटा होना चाहिए; 3.6 में 0.12 के कई हिस्से आएँगे। ऋणात्मक दशमलव में अन्य परिमेय संख्याओं जैसे ही चिह्न-नियम लगते हैं: −0.6 × 0.2 = −0.12। चिह्न सहित भाग में, 1.5 ÷ (−0.3) = 15 ÷ (−3) = −5: दोनों संख्याओं को 10 से गुणा किया गया और भाजक ऋणात्मक पूर्णांक बन गया।

बीच की जाँच: आगे पढ़ने से पहले 0.06 × 0.4 और 1.5 ÷ 0.3 निकालें। 0.06 × 0.4 = 24/1000 = 0.024; 1.5 ÷ 0.3 = 15 ÷ 3 = 5। पहले उत्तर में दशमलव बिंदु और 2 के बीच शून्य चाहिए। दूसरे की जाँच 5 × 0.3 = 1.5 से करें।

9 सटीक दशमलव और सन्निकट मान अलग हैं

सांत दशमलव सीमित दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है, जैसे 0.375। आवर्ती दशमलव में कोई अंक या अंकों का समूह हमेशा दोहराता है। शुरुआत में कुछ अंक न भी दोहराएँ, जैसे 0.8333… में केवल 3 दोहराता है। बिंदुओं का अर्थ स्पष्ट रूप से बताया गया लगातार चलने वाला क्रम होना चाहिए। केवल कुछ अंक दिखने से क्रम सिद्ध नहीं होता।

सांत दशमलव और पूरी तरह बताया गया आवर्ती दशमलव, दोनों सटीक मान दे सकते हैं। अनंत आवर्ती दशमलव का सीमित स्थानों तक लिखा निकटतम मान सन्निकट होता है। समानता के लिए = और सन्निकटन के लिए ≈ लिखें।

हल किया उदाहरण 8 भाग से समाप्ति और आवृत्ति समझें

3/8 = 0.375 और 5/6 = 0.8333… समझें। फिर 0.272727… को सटीक भिन्न में लिखें, जिसमें 27 का समूह हमेशा दोहराता है।

3 ÷ 8 के लिए:

1. 3, 8 से छोटा है, इसलिए दशमलव बिंदु से पहले 0 लिखें। 3 इकाइयों को 30 दशांश मानें। 30 ÷ 8 से 3 दशांश मिलते हैं और 6 दशांश बचते हैं।
2. वे 6 दशांश, 60 शतांश हैं। 60 ÷ 8 से 7 शतांश मिलते हैं और 4 शतांश बचते हैं।
3. वे 4 शतांश, 40 सहस्रांश हैं। 40 ÷ 8 से 5 सहस्रांश मिलते हैं और कुछ नहीं बचता।
4. इसलिए 3/8 = 0.375 सटीक है। शेषफल 0 होने पर दशमलव समाप्त हो जाता है।

5 ÷ 6 के लिए:

1. 50 दशांश को 6 से भाग देने पर 8 दशांश मिलते हैं और 2 दशांश बचते हैं।
2. 20 शतांश को 6 से भाग देने पर 3 शतांश मिलते हैं और 2 शतांश बचते हैं।
3. हर अगले स्थान पर शेषफल की वही गणना फिर आती है। इसलिए 5/6 = 0.8333… सटीक है और 3 हमेशा दोहराता है। प्रारंभिक 8 के बाद के अंक ही दोहराते हैं।

0.272727… के लिए:

1. पूरी आवर्ती संख्या को छोटा नाम दें: x = 0.272727…। यहाँ x इसी एक संख्या का स्थानधारक है, कोई नई संक्रिया नहीं।
2. दोहराने वाले समूह में दो अंक हैं, इसलिए 100 से गुणा करें: 100 × x = 27.272727…। इससे एक पूरा समूह दशमलव बिंदु के बाईं ओर चला जाता है।
3. सौ प्रतियों में से एक प्रति घटाएँ। दोनों में दशमलव के बाद का एक जैसा अनंत आवर्ती भाग ठीक-ठीक कट जाता है: 100 × x − x = 27, इसलिए 99 × x = 27।
4. 27 को 99 बराबर प्रतियों में बाँटें: x = 27/99 = 3/11।
5. भाग देकर जाँचें: 3 ÷ 11 से दशमलव के दो स्थानों तक 0.27 मिलता है और शेषफल फिर 3 हो जाता है। इसलिए 27 का समूह फिर शुरू होकर हमेशा दोहराता है।

यह घटाव सही है क्योंकि दोनों में दशमलव के बाद का पूरा आवर्ती मान एक ही है। यह दो ऐसे दशमलवों का घटाव नहीं है जिन्हें कुछ अंकों के बाद काट दिया गया हो। दोहराने वाले समूह में दो अंक होने के कारण 100 लिया गया है; एक अंक के समूह के लिए 10 लेते हैं।

गलती की जाँच: 0.27 = 27/100, जबकि 0.272727… = 3/11। ये बराबर नहीं हैं। “27 हमेशा दोहराता है” लिखने से बिंदुओं का अर्थ अस्पष्ट नहीं रहता। गणना के बीच सटीक मान को 0.27 से न बदलें।

अभाज्य गुणनखंडों से उपयोगी संबंध

प्रत्येक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है या किसी स्थान से आवर्ती हो जाता है। धनात्मक पूर्णांक b से लंबे भाग में शेषफल 0, 1, …, b − 1 में से कोई होता है। वह या तो 0 हो जाएगा या सीमित संभव अशून्य शेषफलों में से कोई दोहराएगा। समान शेषफल से आगे की गणना समान शुरू होती है, इसलिए फिर अंक दोहराते हैं। भिन्न को धनात्मक हर वाले सरलतम रूप में लिखने के बाद उसका दशमलव ठीक तभी सांत होता है जब हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो; हर 1 होने पर भी दशमलव सांत है। 10 की घातों में केवल 2 और 5 होते हैं, इसलिए ऐसे हर को गुणा करके 10 की किसी घात में बदल सकते हैं। बचा हुआ कोई अलग अभाज्य गुणनखंड इस तरह नहीं हट सकता।

उदाहरण के लिए, 3/8 का हर 2³ है और इसका दशमलव सांत है। 5/6 के सरलतम हर 6 = 2 × 3 में 3 अभी भी है, इसलिए दशमलव आवर्ती है। पहले सरल करना जरूरी है: 3/6 = 1/2 का दशमलव सांत है, भले ही बिना सरल किए हर 6 में 3 हो। यह जाँच प्रसार का प्रकार बताती है; उसके अंक भाग से मिलते हैं। असांत और अनावर्ती दशमलव परिमेय नहीं होता; वर्गमूल वाले पाठ 5 में इस अंतर पर फिर आएँगे।

हल किया उदाहरण 9 माँगे गए चरण पर ही निकटतम मान लिखें

7.286 को दशमलव के दो स्थानों तक निकटतम मान में लिखें।

1. दो दशमलव स्थानों में दशांश और शतांश रखे जाते हैं। शतांश का अंक 8 है; उसके बाद सहस्रांश का अंक 6 है।
2. यहाँ अऋणात्मक संख्याओं के लिए सामान्य विद्यालयी सन्निकटन-नियम अपनाएँगे: अगला अंक 0 से 4 हो, तो रखे जाने वाले अंतिम अंक को न बदलें; 5 से 9 हो, तो उसमें 1 जोड़ें और जरूरत हो तो हासिल आगे ले जाएँ।
3. इसलिए दो दशमलव स्थानों तक 7.286 ≈ 7.29। मूल सटीक संख्या अब भी 7.286 = 7286/1000 है।
4. जाँच: 7.286, 7.29 से 0.004 कम और 7.28 से 0.006 अधिक है। इसलिए 7.29 अधिक पास वाला शतांश है।

गलती की जाँच: अंतिम अंक को केवल हटा देने पर 7.28 मिलता है; यह अंकों को काटना है, माँगा गया निकटतम मान नहीं। 7.286 = 7.29 भी न लिखें। यहाँ सन्निकटन से मान बदलता है।

बीच की जाँच: बताए नियम से दो दशमलव स्थानों तक 2.344 ≈ 2.34 और 2.345 ≈ 2.35। हासिल अगले स्थान तक जा सकता है: 1.996 ≈ 2.00। दोनों शून्य माँगे गए दो दशमलव स्थान दिखाते हैं। जब तक प्रश्न स्पष्ट रूप से अनुमान न माँगे, बीच की गणना में सटीक भिन्न बनाए रखें।

10 BODMAS से पहले सुविधाजनक सटीक रूप चुनें

गणना जिस सटीक रूप में साफ हो, उसे चुनें। सांत दशमलव को भिन्न में बदल सकते हैं; सुविधाजनक भिन्न को सांत दशमलव में बदल सकते हैं। फिर कोष्ठक, घात, बाएँ से दाएँ गुणा और भाग तथा बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव का क्रम रखें। जाँचें कि गणना के बाद भाजक अशून्य है।

हल किया उदाहरण 10 एक व्यंजक में भिन्न और दशमलव

(3/4 + 0.5) ÷ (5/8) निकालें।

1. सटीक रूपांतरण करें: 0.5 = 1/2।
2. कोष्ठक का मान निकालें: 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4।
3. भाग दें: (5/4) ÷ (5/8) = (5/4) × (8/5) = 2।
4. जाँच: भाज्य 5/4 = 1.25, भाजक 5/8 = 0.625 का दोगुना है और 2 × (5/8) = 5/4।

गलती की जाँच: भाग देने से पहले पूरा योग एक समूह में रखें। 3/4 + 1/2 को 4/6 बनाना असमान हिस्सों का गलत जोड़ होगा। सटीक उत्तर 2 का सन्निकटन करने की जरूरत नहीं है।

अंतिम सावधानी: (1/2) ÷ (0.75 − 3/4) अपरिभाषित है, क्योंकि कोष्ठक में भाजक 0 है। लिखे हुए सभी हर अशून्य होने पर भी गणना से मिलने वाला भाजक शून्य हो सकता है।

11 स्वतंत्र अभ्यास

उत्तर-कुंजी देखने से पहले सभी बारह प्रश्न हल करें। एक विकल्प चुनें और गणना या कारण लिखें। ये मौलिक अध्ययन-अभ्यास प्रश्न हैं; कोई समय-सीमा, ऋणात्मक अंकन या उत्तीर्ण होने की न्यूनतम अंक-शर्त नहीं है। ये पूर्ण RRB CBT का अनुकरण नहीं हैं।

1. 21/35 का सरलतम रूप क्या है?

A. 7/5 B. 3/5 C. 3/7 D. 1/5

2. मिश्र भिन्न 3 2/5 को विषम भिन्न में लिखें।

A. 6/5 B. 5/5 C. 11/5 D. 17/5

3. कौन-सी तुलना सही है?

A. 7/10 > 2/3 B. 7/10 < 2/3 C. 7/10 = 2/3 D. इन संख्याओं की तुलना नहीं की जा सकती

4. 0.09 और 0.1 की सही तुलना कौन-सी है?

A. 0.09 > 0.1 B. 0.09 = 0.1 C. 0.09 < 0.1 D. सन्निकटन के बिना इनकी तुलना नहीं की जा सकती

5. 7/12 + 5/18 निकालें।

A. 2/5 B. 12/36 C. 31/36 D. 7/6

6. 5/6 − 3/8 निकालें।

A. 11/24 B. 1/7 C. −1 D. 2/24

7. (4/9) × (3/8) निकालें।

A. 7/17 B. 4/3 C. 1/3 D. 1/6

8. (5/6) ÷ (10/9) निकालें।

A. 25/27 B. 3/4 C. 4/3 D. 1/2

9. 2.75 + 0.6 − 1.08 निकालें।

A. 2.27 B. 1.73 C. 3.23 D. 2.87

10. एक विद्यार्थी कहता है कि 0.84 ÷ 0.07 = 1.2। कौन-सा सुधार सही है?

A. 0.12, क्योंकि केवल 0.07 को 7 करना है B. 120, क्योंकि भागफल में एक अतिरिक्त शून्य चाहिए C. 1.2 सही है, क्योंकि दोनों दशमलवों में दो स्थान हैं D. 12, क्योंकि दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करने पर 84 ÷ 7 मिलता है

11. यदि 36 का समूह हमेशा दोहराए, तो कौन-सी भिन्न 0.363636… के ठीक बराबर है?

A. 9/25 B. 4/11 C. 36/11 D. 2/11

12. (2/3 + 1/6) × 1.2 का सटीक मान क्या है?

A. 0.9 B. 1.02 C. 1 D. 1.2

12 कारण सहित उत्तर कुंजी

1. B. HCF(21, 35) = 7। अंश और हर, दोनों को 7 से भाग दें: 21/35 = 3/5। 3 और 5 का 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए यह सरलतम रूप है। दोनों में से केवल एक को भाग देने पर मान बदल जाएगा।

2. D. 3 2/5 = 3 + 2/5 = 15/5 + 2/5 = 17/5। जाँच: 17 = 3 × 5 + 2। मिश्र भिन्न में तीन पूर्णों में दो पाँचवें हिस्से जुड़ते हैं; 3 को 2/5 से गलत ढंग से गुणा करने पर 6/5 मिलेगा।

3. A. हर 30 लें: 7/10 = 21/30 और 2/3 = 20/30। 21 > 20, इसलिए 7/10 > 2/3। अलग हर तुलना को नहीं रोकते; पहले हिस्सों का आकार समान करें।

4. C. 0.1 = 0.10 = 10/100, जबकि 0.09 = 9/100। नौ शतांश, दस शतांश से कम हैं। स्थानीय मान छोड़कर अंक 9 की तुलना अंक 1 से करने पर गलत परिणाम मिलता है; सन्निकटन की जरूरत नहीं है।

5. C. LCM(12, 18) = 36। इसलिए 7/12 + 5/18 = 21/36 + 10/36 = 31/36। 31 और 36 का 1 से बड़ा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। सीधे अंश और हर जोड़ने पर 12/30 = 2/5 मिलेगा, जिसमें समान आकार के हिस्से नहीं गिने गए हैं।

6. A. LCM(6, 8) = 24। दोनों भिन्न बदलें: 5/6 = 20/24 और 3/8 = 9/24। अंतर (20 − 9)/24 = 11/24 है। यह धनात्मक है, क्योंकि 5/6 > 3/8। हरों को घटाना गलत होगा।

7. D. (4/9) × (3/8) = 12/72 = 1/6। या गुणा से पहले 4 और 8 तथा 3 और 9 को सरल करके (1 × 1)/(3 × 2) पाएँ। उत्तर 4/9 से छोटा है, क्योंकि उसका धनात्मक गुणक 3/8, 1 से कम है। अंशों और हरों को जोड़ना गुणा नहीं है।

8. B. भाज्य को रखें और केवल अशून्य भाजक का व्युत्क्रम लें: (5/6) × (9/10) = 45/60 = 3/4। जाँच: (10/9) × (3/4) = 30/36 = 5/6। उत्तर 5/6 से छोटा है, क्योंकि धनात्मक भाजक 10/9, 1 से बड़ा है।

9. A. स्थान मिलाएँ और बाएँ से दाएँ करें: 2.75 + 0.60 = 3.35, फिर 3.35 − 1.08 = 2.27। समान रूप से, (275 + 60 − 108)/100 = 227/100। 0.6 को 0.06 मानने पर गलत उत्तर 1.73 मिलेगा।

10. D. दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करें: 0.84 ÷ 0.07 = 84 ÷ 7 = 12। जाँच 12 × 0.07 = 0.84 से उत्तर पुष्ट होता है। 1.2 गलत है, क्योंकि 1.2 × 0.07 = 0.084। केवल एक संख्या को गुणा करने पर भागफल बदल जाता है।

11. B. पूरे आवर्ती दशमलव को x नाम दें। तब 100 × x = 36.363636…। x घटाएँ: 99 × x = 36, इसलिए x = 36/99 = 4/11। सांत दशमलव 0.36 का मान 36/100 = 9/25 है; वह दिया गया अनंत आवर्ती मान नहीं है।

12. C. पहले कोष्ठक हल करें: 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6। 1.2 का सटीक रूप 12/10 = 6/5 है। गुणनफल (5/6) × (6/5) = 1 है। सन्निकटन की जरूरत नहीं है। शुरुआत में 2/3 की जगह 0.67 रखने से सटीक गणना में सन्निकट मान आ जाएगा।

13 गलतियों से अगला अभ्यास चुनें

• मिश्र रूप या सरलीकरण में गलती: खंड 2 और हल किया उदाहरण 1 फिर देखें
• तुलना या भिन्नों के जोड़/घटाव में गलती: खंड 3–4 फिर देखें और हर हिस्से का आकार बताएँ
• गुणा/भाग में गलती: खंड 5–6 फिर देखें; मात्रा कैसे बदलती है समझाएँ या वापस गुणा करके जाँचें
• दशमलव स्थान या संक्रिया में गलती: खंड 7–8 फिर देखें; 10, 100 या 1000 हर वाली भिन्न से जाँचें
• आवर्ती दशमलव या सन्निकटन में गलती: खंड 9 फिर देखें; पूरा दोहराने वाला समूह पहचानें और = तथा ≈ में अंतर करें
• मिश्र व्यंजक में गलती: खंड 10 फिर देखें; कोष्ठक और सटीक मान बनाए रखें

उत्तर-कुंजी ढककर गलत हुए प्रश्न फिर हल करें। यह भी समझाएँ कि सरल करने पर 3/6 का दशमलव सांत क्यों है, 0.27 और 27 हमेशा दोहराने वाले 0.272727… में क्या अंतर है, तथा बताए नियम से 2.345 का दो दशमलव स्थानों तक निकटतम मान 2.35 क्यों है। कोई कारण स्पष्ट न हो, तो केवल कुल अंक बढ़ाने के बजाय संबंधित उदाहरण फिर देखें। अंकों की कोई न्यूनतम उत्तीर्ण शर्त नहीं है।

स्रोत और अगला कदम

व्याख्याएँ, शिक्षण क्रम और अभ्यास मौलिक हैं। निम्न स्रोत गणितीय अवधारणाओं का आधार हैं:

• RRB CEN 09/2025, §14.1, मुद्रित पृ.28: पाठ्यक्रम में भिन्न और दशमलव शामिल हैं; किसी विषय से आने वाले प्रश्नों की संख्या का दावा नहीं है
• NIOS गणित 211 अध्याय 1, §§1.4–1.7, मुद्रित पृ.11–21: तुल्य भिन्न, तुलना और परिमेय गणना; §1.8 नाम वाले दोनों खंड, पृ.22–25: दशमलव प्रसार और सटीक रूपांतरण; §1.13, पृ.30–31: सन्निकटन
• NCERT गणित प्रकाश कक्षा 7 अध्याय 3, §3.4, मुद्रित पृ.58 से आगे; शून्य पर चर्चा, पृ.70; §3.7, पृ.74–75: दशमलव स्थानीय मान और जोड़/घटाव
• NCERT गणित प्रकाश कक्षा 7 अध्याय 8, §8.1, मुद्रित पृ.173–186 और §8.2, पृ.186–190: भिन्नों का गुणा और भाग
• IIT कानपुर SATHEE पर NCERT कक्षा VII भिन्न और दशमलव, §§2.1.1, 2.2, 2.3 और 2.4: किसी मात्रा का भिन्न लेने का अर्थ, व्युत्क्रम से भाग तथा दशमलव का गुणा/भाग

अगला पाठ वर्ग वर्गमूल और उचित अनुमान, भिन्नों के सरलीकरण, अभाज्य गुणनखंडों और सटीक दशमलवों से वर्गमूल समझाएगा। उससे पहले भिन्न की कोई नई विधि सीखने की जरूरत नहीं है।

उदाहरण से समझें

पट्टी को फिर काटने से उसकी लंबाई नहीं बदलती

एक पट्टी को पूर्ण मानें। उस पर चार समान लंबाइयाँ चिह्नित करके तीन रखें: आपके पास पट्टी का 3/4 है। अब हर चौथाई लंबाई को आधा काटें और कल्पना करें कि पूरी पट्टी भी इसी तरह चिह्नित है। पूरे में आठ समान लंबाइयाँ हैं और रखे गए भाग में छह हैं। लंबाई वही है: 3/4 = 6/8।

इससे समझ आता है कि अंश और हर, दोनों एक साथ क्यों बदलते हैं। रखे हुए भाग को अधिक टुकड़ों में काटने से पट्टी बढ़ नहीं जाती। उसी पूर्ण का 1/4 और 1/8 जोड़ने के लिए 1/4 को 2/8 लिखें; फिर 2/8 + 1/8 = 3/8। गिने गए हिस्सों की संख्याएँ इसलिए जोड़ सकते हैं, क्योंकि अब हर हिस्सा आठवाँ भाग है।

इस तुलना के लिए पूर्ण समान और हिस्से बराबर आकार के होने चाहिए। यह तुल्यता और समान हर वाले जोड़ को समझाती है। व्युत्क्रम से भाग तथा दशमलव का सन्निकटन समझने के लिए पाठ की अलग व्याख्याएँ देखें।

सूत्र और नियम

अर्थ और तुल्य रूप

a/b में b अशून्य है। धनात्मक हर हिस्से का आकार बताता है और अंश ऐसे हिस्सों को गिनता है। पूर्ण और इकाई समान रखें। मिश्र भिन्न योग है: 2 3/5 = 2 + 3/5 = 13/5। भिन्न का अर्थ भाग भी है।

तुल्य भिन्न के लिए अंश और हर को एक ही अशून्य पूर्णांक से गुणा करें; सरल करने के लिए दोनों को एक ही धनात्मक उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें। HCF से एक चरण में सरलतम रूप मिलता है। पूरे गुणनफलों के गुणनखंड काटें, अंक या योग के अलग-अलग पद नहीं। तुलना में हर धनात्मक रखें।

भिन्नों की संक्रियाएँ

• तुलना: समान धनात्मक हर चुनें और चिह्नों सहित अंशों की तुलना करें
• जोड़/घटाव: समान आकार के हिस्सों में बदलें, अंशों पर संक्रिया करें और वही हर रखें
• गुणा: अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करें; पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड सरल कर सकते हैं
• भाग: भाज्य को केवल अशून्य भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें; वापस गुणा करके जाँचें
• गुणा या भाग से पहले मिश्र भिन्न को विषम भिन्न में बदलें
• धनात्मक मात्रा को 0 और 1 के बीच की संख्या से गुणा करने पर मान घटता है; ऐसी संख्या से भाग देने पर बढ़ता है
• चिह्न-नियम और BODMAS अब भी लागू हैं; गणना से भाजक 0 मिलने पर भाग अपरिभाषित है

दशमलव स्थानीय मान और संक्रियाएँ

दशांश, शतांश और सहस्रांश क्रमशः 10, 100 और 1000 हर के अनुरूप हैं। इसलिए 0.375 = 375/1000 = 3/8। अंत में जोड़े गए शून्य मान नहीं बदलते: 0.7 = 0.70, लेकिन 0.07 अलग है।

ये लिखित दशमलव-स्थान विधियाँ सांत दशमलवों के लिए हैं। जोड़/घटाव में स्थान मिलाएँ। गुणा में दोनों गुणकों के कुल दशमलव स्थानों से दशमलव लगाएँ; उसके बाद अनावश्यक अंतिम शून्य हटा सकते हैं। भाग में भाज्य और अशून्य भाजक, दोनों को 10 की एक ही घात से गुणा करें, जिससे भाजक पूर्णांक हो जाए। चिह्न और आकार जाँचें; भाग की जाँच वापस गुणा करके करें।

सटीक या सन्निकट

स्पष्ट अनंत आवर्ती क्रम सटीक मान देता है: 27 हमेशा दोहराने वाला 0.272727… = 3/11, जबकि सांत 0.27 = 27/100। पूरी आवर्ती संख्या को x नाम दें, 100 से गुणा करके पूरा समूह बाईं ओर करें, एक जैसे आवर्ती भाग घटाएँ और फिर भाग दें: 99 × x = 27।

दशमलव का प्रकार पहचानने से पहले सरल करें। धनात्मक हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो तो प्रसार सांत है; हर 1 पर भी सांत है। अन्य सरलतम हरों से आवर्ती प्रसार मिलता है।

यहाँ अऋणात्मक संख्याओं का निकटतम मान लिखने के लिए पहला हटाया जाने वाला अंक देखें: 0–4 होने पर रखा गया अंतिम अंक वही रहे; 5–9 होने पर उसमें 1 जोड़ें और जरूरत हो तो हासिल लें। मान बदलने पर ≈ लिखें: 7.286 ≈ 7.29। माँगे गए सन्निकटन-चरण तक सटीक मान बनाए रखें। अध्ययन अभ्यास में न्यूनतम उत्तीर्ण अंक नहीं हैं।