पाइप रिसाव और टंकी में शुद्ध प्रवाह
आप क्या सीखेंगे
टंकी के प्रवाह में कार्य वाले मात्रा–दर–समय के तर्क का उपयोग होता है, लेकिन पानी अंदर आने के साथ बाहर भी जा सकता है। आप पहले से मौजूद पानी का लेखा रखेंगे, जमा मात्रा में परिवर्तन को चिह्नों से दिखाएँगे और पहली बार पूरी भरने या खाली होने की माँगी गई घटना पर रुकेंगे।
आप भरने वाले पाइपों की दरें जोड़ेंगे, निकासी या रिसाव घटाएँगे, आयतन तथा समय की इकाइयाँ बदलेंगे, दो भरने के प्रयोगों से स्थिर रिसाव निकालेंगे और वाल्व बदलने वाला प्रश्न हल करेंगे। शून्य या ऋण शुद्ध संचय पहचानेंगे और तय करेंगे कि अनुपस्थित जानकारी लक्ष्य-घटना से पहले आवश्यक है या नहीं।
ये आदर्श गणितीय मॉडल हैं। जब तक प्रश्न जानबूझकर कोई शर्त अज्ञात न छोड़े, हर बताई दर दिए आयतन-परास में स्थिर है; प्रवाह स्वतंत्र रूप से जुड़ते हैं; टंकी की क्षमता निश्चित है; कोई अनकहा प्रवाह या विलंब नहीं है। दबाव पर निर्भर वास्तविक प्रवाह को अलग मॉडल चाहिए। जमा पानी खाली और क्षमता की सीमाओं के बीच रहना चाहिए।
1 दर के माप वाले प्रयोग को वास्तविक शुरुआत से अलग रखें
यदि भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 6 घंटे में भरता है और दर स्थिर है, तो उसकी दर 1/6 टंकी प्रति घंटा है। यदि निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को खाली 9 घंटे में करता है, तो बाहर जाने की दर का परिमाण 1/9 टंकी प्रति घंटा है। ये पूरी क्षमता के बीच दर मापने के प्रयोग हैं। इनसे यह नहीं पता चलता कि वास्तविक प्रश्न में टंकी खाली या भरी शुरू होती है।
उदाहरण के लिए, अभी टंकी एक-तिहाई भरी हो तो भरने के लिए केवल दो-तिहाई क्षमता शेष है, भले ही पाइप की पूरे-टैंक वाली दर अपरिवर्तित हो। शुरू और अंत के स्तरों के बिना “6 घंटे में भरता है” अस्पष्ट हो सकता है। व्युत्क्रम लेने से पहले दोनों स्तर पहचानें।
ये दोहराव-जाँच करें:
- 1/4 और 1/6 जोड़ें।
- 1/6 में से 1/9 घटाएँ।
- टंकी एक-तिहाई भरी हो तो भरने के लिए कितना भाग शेष है?
- 0.5 L/मिनट को L/घंटा में बदलें।
प्रतिक्रिया: 1/4 + 1/6 = 5/12; 1/6 − 1/9 = 1/18; शेष भाग 2/3 है; 0.5 × 60 = 30 L/घंटा। टंकी के भाग और लीटर मात्रा की दो संभव इकाइयाँ हैं, लेकिन रूपांतरण के बिना उन्हें एक योग में न मिलाएँ।
2 चिह्न बताता है कि जमा पानी पर क्या प्रभाव पड़ता है
अंदर आने वाले पानी का योगदान धन और बाहर जाने वाले का ऋण लें। निकासी की बाहर जाने वाली दर का परिमाण धन है; जमा पानी के संतुलन में उसका योगदान ऋण है। इसलिए:
पानी जमा होने की शुद्ध दर = कुल अंदर आने की दर − कुल बाहर जाने की दर
जिस अंतराल में दरें लागू हों, नई जमा मात्रा = पुरानी जमा मात्रा + शुद्ध दर × अंतराल का समय। खाली या पूरा भरा होने पर क्या बदलेगा, इसे जाँचे बिना यह व्यंजक उसके आगे न चलाएँ।
दो भरने वाले पाइपों के चिह्न दोनों धन होंगे। कार्य-दरों से छोटा स्थानांतरण लें: एक पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 4 घंटे में और दूसरा 6 घंटे में भरता है। दोनों स्थिर स्वतंत्र पाइप चलें और निकासी न हो तो दर 1/4 + 1/6 = 5/12 टंकी प्रति घंटा है। खाली टंकी 12/5 घंटे = 2 घंटे 24 मिनट में भरती है। संदर्भ बदला है, दरें जोड़ने का तर्क नहीं।
हल उदाहरण 1 विपरीत प्रवाह और प्रारंभिक पानी
एक भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 6 घंटे में भरता है। निकासी पाइप अकेले भरी टंकी को 9 घंटे में खाली करता है। बताई गई भरने की पूरी सीमा में दोनों दरें स्थिर हैं। दोनों साथ चलते हैं। पहले खाली शुरुआत से पूरा भरने का समय, फिर अलग संचालन में एक-तिहाई भरी शुरुआत से समय निकालें।
पैनल 1 एक टंकी में अंदर और बाहर का प्रवाह
| टंकी में प्रवेश | टंकी में जमा पानी | टंकी से निकास |
|---|---|---|
| भरने वाला पाइप → 1/6 टंकी प्रति घंटा | क्षमता 1 टंकी; दूसरे संचालन में शुरुआत 1/3 टंकी | 1/9 टंकी प्रति घंटा → निकासी पाइप |
| हर घंटे +1/6 जोड़ता है | शुद्ध परिवर्तन = +1/6 − 1/9 = +1/18 प्रति घंटा | हर घंटे −1/9 का योगदान |
खाली शुरुआत पर 1 टंकी जोड़नी है, इसलिए समय 1/(1/18) = 18 घंटे। एक-तिहाई भरी शुरुआत पर 1 − 1/3 = 2/3 टंकी जोड़नी है, इसलिए समय (2/3)/(1/18) = 12 घंटे।
दूसरे संचालन की जाँच: 1/3 + 12×1/18 = 1। उसी प्रारंभिक स्थिति में केवल भरने वाला पाइप (2/3)/(1/6) = 4 घंटे लेता, इसलिए सक्रिय निकासी से भरने का समय बढ़ना उचित है।
18 इकाइयों का पैमाना वही घटाव समझाता है: क्षमता 18 इकाइयाँ है, भरने वाला पाइप प्रति घंटे 3 जोड़ता और निकासी पाइप 2 हटाता है। शुद्ध संचय 1 इकाई प्रति घंटा है। शुरुआत में 6 इकाइयाँ हों तो 12 और जोड़नी हैं। अकेले समय 9 − 6 घटाने से इनमें से कोई प्रवाह-मात्रा नहीं मिलती।
रुकें और आवश्यक मात्रा पहचानें धन शुद्ध दर 1/10 टंकी प्रति घंटा है और टंकी आधी भरी शुरू होती है। पहली बार पूरा भरने का समय निकालें। क्या इस शुरुआत के लिए 1/(1/10) सही गणना होगी?
प्रतिक्रिया: केवल 1/2 टंकी जोड़नी है, इसलिए समय (1/2)/(1/10) = 5 घंटे। पूरे-टैंक का व्युत्क्रम 10 घंटे देता है और प्रारंभिक पानी छोड़ देता है।
हल उदाहरण 2 लीटर प्रति घंटा और लीटर प्रति मिनट
720 L की टंकी में शुरुआत में 180 L है। स्थिर भरने वाला पाइप 90 L/घंटा देता है और स्थिर निकासी पाइप 0.5 L/मिनट निकालता है। दोनों पहली बार टंकी पूरी भरने तक चलते हैं। समय निकालें।
दरें मिलाने से पहले रूपांतरण करें: 0.5 L/मिनट × 60 मिनट/घंटा = 30 L/घंटा बाहर। रूपांतरण में मिनट की इकाइयाँ कटती हैं। शुद्ध संचय 90 − 30 = 60 L/घंटा है।
पैनल 2 एक समान इकाई में आयतन-संतुलन
| मात्रा | मान |
|---|---|
| क्षमता | 720 L |
| प्रारंभिक पानी | 180 L |
| शेष क्षमता | 720 − 180 = 540 L |
| शुद्ध संचय | 90 − 30 = 60 L/घंटा |
| पहली बार भरने का समय | 540/60 = 9 घंटे |
जाँच: 180 + 60×9 = 720 L। नौ घंटों में 810 L अंदर आता है और 270 L बाहर जाता है। अंतर 540 L, जमा पानी की वृद्धि है। कुछ पानी बाहर जा रहा हो तो कुल अंदर आया पानी टंकी की क्षमता से अधिक हो सकता है; यह एक समय पर रखा पानी नहीं है।
टंकी के भागों में भी कर सकते हैं: प्रारंभिक भाग 180/720 = 1/4; शुद्ध दर 60/720 = 1/12 टंकी प्रति घंटा; समय (3/4)/(1/12) = 9 घंटे। उत्तर अपरिवर्तित है। पहले रूपांतरण किए बिना 90 − 0.5 घटाने से अलग समय-आधारित इकाइयाँ मिल जाएँगी।
रुकें और इकाई का अर्थ बनाए रखें दर 2 L/मिनट है। प्रति घंटे कितनी होगी? क्या रूपांतरण से वास्तविक प्रवाह बदलता है?
प्रतिक्रिया: 2×60 = 120 L/घंटा। केवल इकाई में विवरण बदलता है। बदली हुई प्रति-घंटा दर के साथ समय पहले से घंटों में हो तो फिर 60 का गुणक न लगाएँ।
3 रिसाव बाहर जाने वाला योगदान है
भरने की दर और तुलनीय स्थितियों में देखी गई शुद्ध भरने की दर ज्ञात हों तो रिसाव निकाल सकते हैं। समय का अंतर अपने-आप रिसाव का खाली करने का समय नहीं है।
हल उदाहरण 3 रिसाव की दर निकालें
रिसाव बंद होने पर एक पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 6 घंटे में भरता है। उसी रिसाव को पूरे समय खुला रखने पर वही पाइप उसी खाली टंकी को पूरा 8 घंटे में भरता है। मानें कि पूरे आयतन-परास में भरने और रिसाव की दरें स्थिर हैं तथा रिसाव टंकी को पूरी तरह खाली कर सकता है। रिसाव की दर और केवल रिसाव से पूरी भरी टंकी खाली होने का समय निकालें।
पैनल 3 रिसाव बंद और खुले होने पर एक घंटे का संचय
| संचालन | अंदर आने की दर | बाहर रिसाव का परिमाण | शुद्ध संचय |
|---|---|---|---|
| रिसाव बंद | 1/6 टंकी प्रति घंटा | 0 | 1/6 |
| रिसाव खुला | 1/6 टंकी प्रति घंटा | निकालना है | 1/8 |
शुद्ध दर = अंदर की दर − रिसाव, इसलिए रिसाव = अंदर की दर − शुद्ध दर = 1/6 − 1/8 = 1/24 टंकी प्रति घंटा बाहर। जमा पानी में इसका चिह्न सहित योगदान −1/24 है। केवल इस रिसाव से पूरी भरी टंकी को खाली होने में 1/(1/24) = 24 घंटे लगेंगे।
जाँच: 1/6 − 1/24 = 1/8, जो देखी गई भरने की दर है। 8 − 6 = 2 घंटे का अंतर रिसाव का प्रभाव है; यह न दर है, न पूरी भरी टंकी खाली करने का समय।
निष्कर्ष स्थिर दर और पूरे पानी को निकाल सकने की शर्त पर निर्भर है। तली से ऊपर का छेद, टंकी खाली होने से पहले ही पानी निकालना रोक सकता है; वास्तविक रिसाव दबाव और स्तर पर निर्भर हो सकता है। दो भरने के समय ये बातें नहीं बताते, इसलिए ऐसे वास्तविक मामलों का निष्कर्ष अपनी ओर से न निकालें।
4 वाल्व बदलने पर वास्तविक स्तर आगे ले जाएँ
वाल्व की घटना बदलती है कि कौन-सा प्रवाह सक्रिय है। प्रारंभिक पानी और अब तक जुड़ा सारा शुद्ध पानी लेखे में रहता है। कर्मियों के जुड़ने या जाने की तरह नई शुद्ध दर केवल घटना के बाद लगाएँ।
हल उदाहरण 4 तीन घंटे बाद निकासी बंद करें
भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 8 घंटे में भरता है; निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 12 घंटे में खाली करता है। बताए गए परास में दरें स्थिर मानें। वास्तविक संचालन में टंकी एक-चौथाई भरी शुरू होती है। दोनों 3 घंटे चलते हैं, फिर निकासी बंद होती है और भरने वाला पाइप चलता रहता है। बंद करने के बाद का अतिरिक्त समय और शुरुआत से कुल समय निकालें।
पैनल 4 प्रारंभिक पानी और दो अंतराल
| चरण | सक्रिय प्रवाह | टंकी प्रति घंटे की शुद्ध दर | पानी में बदलाव | चरण के बाद जमा मात्रा |
|---|---|---|---|---|
| शुरुआत | अभी नहीं गिने | — | प्रारंभिक 1/4 | 1/4 |
| पहले 3 घंटे | भरना और निकासी | 1/8 − 1/12 = 1/24 | 3/24 = 1/8 | 1/4 + 1/8 = 3/8 |
| बंद करने के बाद | केवल भरना | 1/8 | शेष 5/8 | पहली बार भरने पर 1 |
तीन घंटे बाद स्तर 3/8 है, इसलिए बदलाव से पहले न पूरी भरी न खाली होने की सीमा आई है। शेष क्षमता 5/8 है। अतिरिक्त समय (5/8)/(1/8) = 5 घंटे। कुल = 3 + 5 = 8 घंटे।
पूरे संचालन की जाँच: प्रारंभिक 1/4 + भरने का योगदान 8/8 − निकासी का योगदान 3/12 = 1। निकासी केवल अपने तीन सक्रिय घंटों में योगदान देती है। पूरे आठ घंटे उसकी दर घटाना, बंद होने के बाद भी संचालन मान लेना होगा।
रुकें और अगली पंक्ति चुनें बंद करने की घटना पर अगला अंतराल किस युग्म से शुरू होगा: प्रारंभिक मात्रा 1/4 और दर 1/24 से, या जमा मात्रा 3/8 और दर 1/8 से?
प्रतिक्रिया: 3/8 और 1/8 लें। पहला युग्म मूल शुरुआत और पिछली शुद्ध दर बताता है। टंकी को फिर शुरुआत पर लौटाने के बजाय नई स्थिति आगे ले जाएँ।
5 चिह्न बताता है कि कौन-सी सीमा आ सकती है
क्षमता से कम भरी टंकी में धन शुद्ध दर पानी को पूरे भरने की ओर ले जाती है। शून्य शुद्ध दर जमा मात्रा बनाए रखती है। ऋण शुद्ध दर, पानी उपलब्ध रहने तक उसे खाली होने की ओर घटाती है। “भरने के समय” के भाग से निकला ऋण उत्तर भविष्य में भरने की घटना नहीं है।
हल उदाहरण 5 शून्य और ऋण शुद्ध प्रवाह
दो अलग आदर्श स्थिर-प्रवाह स्थितियाँ लें।
A: भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 6 घंटे में भरता है और निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 6 घंटे में खाली करता है। वास्तविक संचालन में टंकी शुरू में एक-चौथाई भरी है और दोनों साथ चलते हैं।
B: भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 12 घंटे में भरता है और निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 8 घंटे में खाली करता है। वास्तविक संचालन में टंकी शुरू में आधी भरी है और दोनों साथ चलते हैं।
संचालन इसी तरह जारी रहने पर क्या किसी स्थिति में टंकी पूरी भरेगी? B में पहली बार कौन-सी सीमा कब आएगी?
पैनल 5 दिशा और पहली सीमा
| स्थिति | प्रारंभिक मात्रा | शुद्ध दर | संचालन बदलने से पहले परिणाम |
|---|---|---|---|
| A | 1/4 टंकी | 1/6 − 1/6 = 0 | 1/4 भरी रहती है; पूरा भरने का सीमित समय नहीं |
| B | 1/2 टंकी | 1/12 − 1/8 = −1/24 | पानी घटता है; पहले खाली होती है |
B में शुरुआती आधी टंकी निकालने का समय (1/2)/(1/24) = 12 घंटे। जाँच: 1/2 − 12/24 = 0। यह संचालन अपरिवर्तित रहने तक पूरी भरी होने की सीमा नहीं आती।
खाली होते ही ऋण-दर वाली गणना रोकें। 24 घंटे तक वही व्यंजक चलाएँ तो 1/2 − 24/24 = −1/2 टंकी मिलेगा, जो असंभव है। खाली सीमा पर वास्तविक निकासी, भंडारित और अंदर आने वाले उपलब्ध पानी से अधिक नहीं हो सकती। आदर्श सीधे-बहाव की स्थिति में यदि निकासी की क्षमता आने वाले प्रवाह के बराबर या अधिक बनी रहे, तो खाली शुरुआत से पानी जमा नहीं होता; जमा पानी कभी ऋण नहीं होता। बाद में अलग वाल्व क्रिया बतानी हो तो वह क्रिया दी जानी चाहिए।
A में शून्य से भाग न दें और “भरने में शून्य घंटे” न कहें। टंकी पूरी भरी शुरू नहीं होती और दिए संचालन में पानी बढ़ता ही नहीं। यह पहले से पूरी भरी टंकी से अलग है: उसकी पहली बार भरी होने की अवधि तत्काल 0 है, क्योंकि लक्ष्य-स्थिति पहले ही मौजूद है।
रुकें और प्रश्नों में अंतर करें
- आधी भरी टंकी की शुद्ध दर शून्य है। क्या पहली बार पूरा भरने का कोई सीमित समय है?
- टंकी पूरी भरी शुरू होती है। अभी से मापें तो पहली बार भरी होने का समय क्या है?
- टंकी की स्थिर धन शुद्ध दर 1/12 टंकी प्रति घंटा ज्ञात है, लेकिन शुरुआती मात्रा नहीं दी। क्या पहली बार भरने का एक सटीक समय तय है?
प्रतिक्रिया: (1) वह शून्य दर जारी रहने तक पूरा भरने का सीमित समय नहीं है। (2) शून्य समय: लक्ष्य-स्थिति पहले ही है। (3) निश्चित उत्तर नहीं। खाली शुरुआत से 12 घंटे, आधी भरी से 6 घंटे लगेंगे। केवल शुद्ध दर से शेष आवश्यक मात्रा नहीं मिलती।
हल उदाहरण 6 तय निकासी-घटना से पहले टंकी भर जाती है
टंकी शुरू में तीन-चौथाई भरी है। भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 4 घंटे में भरता है और दर स्थिर है। यदि टंकी अभी भर रही हो तो ही शुरुआत के 2 घंटे बाद निकासी पाइप खोलना तय है। पहली बार पूरा भरने का समय निकालें।
पैनल 6 पहली संबंधित घटना पर रुकें
| घटना | शुरुआत से समय | जमा मात्रा या भूमिका |
|---|---|---|
| भरने वाला पाइप शुरू | 0 | 3/4 टंकी पहले से है |
| पहली बार पूरी भरी | (1/4)/(1/4) = 1 घंटा | क्षमता आ गई; रुकें |
| निकासी खुलना तय | 2 घंटे पर, केवल भरना जारी हो तो | पहली बार भरने को प्रभावित करने के लिए बहुत देर |
शेष क्षमता 1/4 टंकी है। पाइप प्रति घंटे 1/4 टंकी जोड़ता है, इसलिए पहली बार पूरी भरने का समय 1 घंटा है, दो घंटे की घटना से पहले। इस प्रश्न में निकासी की दर आवश्यक नहीं। अनुपस्थित जानकारी तभी बाधा है जब माँगी गई घटना को प्रभावित करे।
पहला चरण दो घंटे तक चलाकर 5/4 टंकी जमा न दिखाएँ। जिस भरने की प्रक्रिया के दौरान निकासी चलनी थी, वह पहले ही पूरी हो जाए तो निकासी को जबरन पहले सक्रिय न करें। यह उसी घटना-क्रम की जाँच है जैसे कार्य पूरा होने के बाद किसी कर्मी का जाना तय हो।
6 सीमाओं के भीतर प्रवाह की विधि
- दर मापने के खाली-से-पूरी-भरी और पूरी-भरी-से-खाली स्तर पढ़ें; क्षमता और वास्तविक प्रारंभिक पानी अलग रखें
- सभी आयतन और समय-आधारित दरें समान इकाइयों में बदलें
- सक्रिय भरने और निकासी के अंतराल चिह्नित करें; जमा पानी के योगदानों को चिह्न दें
- भाग देने से पहले शुद्ध दर और उसकी दिशा निकालें
- संबंधित सीमा तक समय की तुलना अगले वाल्व-बदलाव के समय से करें
- बदलाव पर वास्तविक जमा मात्रा आगे ले जाएँ; माँगा लक्ष्य पहली बार भरना या खाली होना हो तो उस सीमा पर रुकें
- पूरे आयतन का संतुलन जाँचें और हर बीच की मात्रा को 0 तथा क्षमता के बीच रखें
इसके बाद के मिश्रित अभ्यास में कर्मी और टंकी दोनों संदर्भ आएँगे। याद किए संकेत-शब्द के बजाय दी गई शर्तों से मॉडल चुनें।
स्वयं अभ्यास
कुंजी से पहले प्रयास करें। ये बिना समय-सीमा के सीखने के प्रश्न हैं: सही उत्तर का एक अंक, अन्यथा शून्य; ऋण अंकन या उत्तीर्ण सीमा नहीं। ये स्थानीय सीखने के नियम आधिकारिक RRB अंकन-योजना नहीं हैं।
- दो भरने वाले पाइप अकेले उसी खाली टंकी को पूरा क्रमशः 6 घंटे और 10 घंटे में भरते हैं। अब दोनों स्थिर स्वतंत्र दरों से खाली टंकी में साथ चलते हैं और कोई निकासी नहीं है। पहली बार भरने का समय निकालें।
A. 8 घंटे
B. 3 घंटे 45 मिनट
C. 16 घंटे
D. 4 घंटे
- भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 5 घंटे में भरता है; निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 10 घंटे में खाली करता है। पूरे परास में दोनों दरें स्थिर हैं। अब टंकी एक-पाँचवाँ भाग भरी शुरू होती है और दोनों सक्रिय रहते हैं। पहली बार पूरी भरने का समय निकालें।
A. 2 घंटे
B. 10 घंटे
C. 8/3 घंटे
D. 8 घंटे
- 900 L की टंकी में शुरुआत में 300 L पानी है। स्थिर भरने वाला पाइप 75 L/घंटा देता है और स्थिर निकासी 0.25 L/मिनट निकालती है। दोनों पहली बार पूरी भरने तक साथ चलते हैं। कितना समय लगेगा?
A. 10 घंटे
B. 15 घंटे
C. 8 घंटे
D. 40 घंटे
- रिसाव बंद होने पर एक पाइप खाली टंकी को पूरा 4 घंटे में भरता है। उसी रिसाव को पूरे समय खुला रखने पर वही खाली टंकी पूरी भरने में 5 घंटे लगते हैं। पूरे परास में भरने और रिसाव की दरें अपरिवर्तित व स्थिर मानें और रिसाव पूरी टंकी खाली कर सकता है। केवल रिसाव से पूरी भरी टंकी कितने समय में खाली होगी?
A. 1 घंटा
B. 5 घंटे
C. 20 घंटे
D. 20/9 घंटे
- भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 6 घंटे में भरता है; निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 12 घंटे में खाली करता है। दोनों दरें स्थिर हैं। अब टंकी एक-तिहाई भरी शुरू होती है। दोनों 2 घंटे चलते हैं, फिर निकासी बंद होती है और भरने वाला पाइप चलता रहता है। पहली बार भरने तक कुल समय निकालें।
A. 3 घंटे
B. 5 घंटे
C. 7 घंटे
D. 8 घंटे
- एक पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 7 घंटे में भरता है और निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 7 घंटे में खाली करता है; दरें स्थिर हैं। वास्तविक संचालन में टंकी दो-पाँचवाँ भाग भरी शुरू होती है और दोनों बिना अन्य प्रवाह के सक्रिय रहते हैं। यह संचालन अपरिवर्तित रहने पर क्या होता है?
A. 7 घंटे बाद पूरी भरती है
B. समय 0 पर पहली बार पूरी भरी है
C. 7 घंटे बाद खाली होती है
D. दो-पाँचवाँ भाग भरी ही रहती है
- भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 15 घंटे में भरता है; निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 10 घंटे में खाली करता है। वास्तविक टंकी तीन-पाँचवाँ भाग भरी शुरू होती है। दोनों उन्हीं स्थिर दरों से पहली खाली या पूरी भरी घटना तक चलते हैं। कौन-सी सीमा पहले कब आएगी?
A. 18 घंटे बाद खाली
B. 30 घंटे बाद खाली
C. 12 घंटे बाद पूरी भरी
D. 6 घंटे बाद खाली
- टंकी चार-पाँचवाँ भाग भरी शुरू होती है। स्थिर दर वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 10 घंटे में भरता है। टंकी अभी भर रही हो तो ही 3 घंटे बाद निकासी खोलना तय है; उसकी दर नहीं दी गई। पहली बार पूरी भरने का समय निकालें।
A. 3 घंटे
B. 10 घंटे
C. 2 घंटे
D. निकासी की दर के बिना नहीं निकाल सकते
- भरने वाला पाइप अकेले खाली टंकी को पूरा 8 घंटे में भरता है; निकासी पाइप अकेले पूरी भरी टंकी को 24 घंटे में खाली करता है। अब दोनों स्थिर दरों से साथ चलते हैं और आगे कोई बदलाव नहीं है। वास्तविक प्रारंभिक पानी की मात्रा नहीं बताई गई है। पहली बार भरने के समय के बारे में कौन-सा दावा उचित है?
A. वह अवश्य 12 घंटे है
B. वह अवश्य 6 घंटे है
C. वह अवश्य 8 घंटे है
D. प्रारंभिक मात्रा के बिना एक निश्चित समय नहीं मिलता
उत्तर-कुंजी और व्याख्याएँ
- B; 2. D; 3. A; 4. C; 5. B; 6. D; 7. A; 8. C; 9. D
- B सही है। दोनों भरने वाले पाइप हैं, इसलिए दर 1/6+1/10 = 4/15 टंकी प्रति घंटा। समय 15/4 घंटे = 3 घंटे 45 मिनट। जाँच: (4/15)(15/4)=1 और समय दोनों अकेले समयों से कम है। A में अकेले समयों का औसत लिया है। C में उन्हें जोड़ा है। D में 10−6 घटाया है, लेकिन समय घटाना न अंदर आती मात्राएँ जोड़ना है, न आवश्यक मात्रा को दर से भाग देना।
- D सही है। शुद्ध दर 1/5−1/10 = 1/10 टंकी प्रति घंटा। शेष क्षमता 4/5 है, इसलिए समय (4/5)/(1/10)=8 घंटे। जाँच: 1/5+8/10=1। A में शेष क्षमता के बजाय प्रारंभिक मात्रा 1/5 को शुद्ध दर से भाग दिया है। B में एक पूरी टंकी लेकर शुरुआती पानी छोड़ दिया है। C में निकासी को भरने वाला पाइप मानकर जोड़ा है: (4/5)/(1/5+1/10)=8/3, जो अलग संचालन है।
- A सही है। निकासी 0.25×60 = 15 L/घंटा। शुद्ध संचय 75−15 = 60 L/घंटा; शेष आयतन 900−300 = 600 L। समय 600/60=10 घंटे। जाँच: 300+10×60=900। B में 900/60=15 घंटे करके शुरुआती 300 L छोड़ा है। C में 600/75=8 घंटे से निकासी छोड़ी है। D में 600/15=40 घंटे करके बाहर जाने वाली दर के परिमाण को शेष जगह भरने की दर मान लिया है। प्रवाह घटाने से पहले मिनट को घंटे में बदलें।
- C सही है। अंदर की दर 1/4 और देखी गई शुद्ध दर 1/5 टंकी प्रति घंटा है। रिसाव का परिमाण 1/4−1/5=1/20, इसलिए केवल रिसाव से खाली होने का समय 20 घंटे है। जाँच: 1/4−1/20=1/5। A में भरने के समयों के अंतर 5−4 को खाली करने का समय मान लिया है। B में शुद्ध भरने के समय को केवल रिसाव का समय समझा है। D में 1/4+1/5 का व्युत्क्रम लेकर देखी गई शुद्ध दर को दूसरा अंदर आने वाला प्रवाह मान लिया है।
- B सही है। पहली शुद्ध दर 1/6−1/12=1/12 है; 2 घंटे में 1/6 टंकी जुड़ती है। जमा मात्रा 1/3+1/6=1/2 हो जाती है। शेष आधी टंकी केवल भरने की दर 1/6 पर 3 घंटे लेती है; कुल 5 घंटे। जाँच: 1/3+5/6−2/12=1। A में केवल बंद करने के बाद का समय है। C में प्रारंभिक पानी छोड़ दिया, जिससे पहले चरण के बाद 5/6 शेष मानकर गलत 2+5=7 घंटे मिले। D में निकासी पूरे समय सक्रिय रखी है: (2/3)/(1/12)=8 घंटे अलग कार्यक्रम का उत्तर है।
- D सही है। शुद्ध दर 1/7−1/7=0 है, इसलिए जमा मात्रा 2/5 रहती है। A में सक्रिय निकासी और प्रारंभिक स्थिति के बिना अकेले भरने का प्रयोग लगा दिया है। B में शून्य शुद्ध दर को पूरा भरने का शून्य समय समझा है; टंकी पूरी भरी शुरू नहीं होती। C में संतुलित करने वाले अंदर के प्रवाह को छोड़ा और पूरी-भरी-से-खाली वाला प्रयोग वास्तविक संचालन पर मान लिया। यह शून्य-शुद्ध-दर संचालन जारी रहने तक पूरा भरने का सीमित समय नहीं है।
- A सही है। शुद्ध दर 1/15−1/10=−1/30 टंकी प्रति घंटा, इसलिए पानी घटता है। खाली होने का समय (3/5)/(1/30)=18 घंटे; 3/5−18/30=0। B में शुरुआती 3/5 के बजाय पूरी टंकी ली है। C में अमान्य भरने के व्यंजक (2/5)/(−1/30)=−12 घंटे का परिमाण लिया है; चिह्न बदलने से भविष्य की भरने की घटना नहीं बनती। D में केवल निकासी ली है: (3/5)/(1/10)=6 घंटे, अंदर का प्रवाह छोड़ दिया। खाली होने पर रुकें; बाद में ऋण जमा पानी मान्य नहीं।
- C सही है। शेष क्षमता 1/5 और भरने की दर 1/10 टंकी प्रति घंटा है, इसलिए समय (1/5)/(1/10)=2 घंटे। 2<3 होने से पहली बार पूरी भरने से पहले निकासी सक्रिय नहीं है। A में समाप्ति की जगह तय घटना का समय दिया है। B में शुरुआती चार-पाँचवाँ भाग छोड़ा है। D ऐसी दर माँगता है जो पहले आने वाली माँगी घटना में अप्रासंगिक है। जाँच: 4/5+2/10=1।
- D सही है। शुद्ध दर 1/8−1/24=1/12 टंकी प्रति घंटा। खाली शुरुआत पर 12 घंटे, आधी भरी पर 6 घंटे और एक-तिहाई भरी पर 8 घंटे लगते हैं। शुरुआती मात्रा न बताने पर हर स्थिति संभव है। A, B और C हर एक संभव प्रारंभिक स्थिति के उत्तर को आवश्यक मानते हैं। पूरे-टैंक वाला प्रयोग दर निश्चित करता है, वास्तविक प्रारंभिक भंडार या शेष क्षमता नहीं।
गलती के अनुसार दोहराव चुनें
- प्रश्न 1–2: पाइपों के चिह्न, शेष क्षमता और प्रारंभिक पानी का अंतर दोहराएँ
- प्रश्न 3: लीटर प्रति मिनट का रूपांतरण और आयतन-संतुलन दोहराएँ
- प्रश्न 4: अंदर की दर और देखी गई शुद्ध दर के अंतर के रूप में रिसाव दोहराएँ
- प्रश्न 5: निकासी बंद होने पर चरणों का लेखा फिर बनाएँ
- प्रश्न 6–7: भाग देने से पहले दिशा और पहली मान्य सीमा तय करें
- प्रश्न 8–9: पूछें कि अनुपस्थित जानकारी माँगी गई पहली घटना को बदलती है या नहीं
बिना कुंजी फिर हल करें और सभी वैकल्पिक उत्तरों के गलत होने का कारण दें।
स्रोत और सीमा
RRB CEN 09/2025 §14.1, मुद्रित और भौतिक पृ.28 में समय और कार्य तथा पाइप और टंकी का उल्लेख है। यह विषय-दायरे का प्रमाण है, प्रश्न-आवृत्ति की भविष्यवाणी नहीं। सूची उदाहरणात्मक है और आवश्यक नहीं कि पूर्ण हो; यहाँ बाद के संशोधनों की जाँच पूरी नहीं हुई है।
NCERT गणित प्रकाश कक्षा 8 भाग II, अध्याय 3 §3.6, मुद्रित पृ.63–68 निश्चित कार्य के समानुपाती तर्क और संयुक्त दरों का आधार देता है। आधिकारिक आरंभिक पृष्ठों के PDF पृ.2 से प्रथम संस्करण दिसंबर 2025 की पुष्टि होती है। NIOS माध्यमिक गणित 211, अध्याय 5 §§5.2–5.3, मुद्रित पृ.142–146 सरल संतुलन-समीकरण बनाने और जाँचने का आधार है; उपलब्ध अध्याय से उसका प्रकाशन-वर्ष स्थापित नहीं होता। यहाँ समय-सारणी, चिह्न सहित प्रवाह तथा संभव होने और सीमा पर रुकने की जाँच समझाकर दिए गए विस्तार हैं, आधिकारिक नामित प्रश्न-प्रकारों का दावा नहीं। सभी व्याख्याएँ, पैनल, उदाहरण और अभ्यास मौलिक हैं।
बारी-बारी उपस्थिति या वाल्व के चक्र, मजदूरी बाँटना, कर्मियों की संख्या पूर्णांक करने के नियम, अनेक अज्ञात वाले समीकरण और दबाव के साथ बदलते प्रवाह के भौतिक नियम इस मॉड्यूल से बाहर हैं।
उदाहरण से समझें
गोदाम के लेखे की कल्पना करें। आने वाला माल शेल्फ की मात्रा में जुड़ता है और भेजा गया माल घटता है। केवल आने वाला माल गिनने से अभी जमा मात्रा नहीं मिलेगी; शुरुआती भंडार और बाहर भेजा माल भी चाहिए। वाल्व बदलना किसी समय के बाद होने वाली प्रविष्टियाँ बदलने जैसा है।
यह तुलना चिह्न समझाती है और बताती है कि पुराने शेष को अगले अंतराल में क्यों ले जाते हैं। एक उपयोगी सीमा भी है: जो माल मौजूद नहीं, उसे नहीं भेज सकते; सीमित क्षमता वाला भंडार अनंत मात्रा नहीं रख सकता।
वास्तविक माल खेपों में आता है और पानी का प्रवाह स्तर या दबाव पर निर्भर हो सकता है। तुलना स्थिर दर या लगातार विभाज्यता सिद्ध नहीं करती। हमारे गणितीय प्रश्न वे धारणाएँ बताते हैं और माँगी गई पूरी-भरी या खाली सीमा पर रुकते हैं; वे वास्तविक पाइप उपकरणों की अभियांत्रिकी भविष्यवाणी नहीं हैं।
सूत्र और नियम
- पूरे-टैंक की दर-जाँच और वास्तविक प्रारंभिक पानी अलग रखें: खाली-से-पूरी-भरी का समय भरने की दर देता है; पूरी-भरी-से-खाली का समय निकासी का परिमाण देता है
- एक टंकी या लीटर की इकाई लगातार एक जैसी रखें। जोड़ने से पहले हर दर समान समय-इकाई में बदलें
- दो भरने वाले पाइपों की दरें जुड़ती हैं। शुद्ध संचय = अंदर की दर − बाहर की दर; बाहर जाने के धन परिमाण को जमा पानी में से घटाएँ
- मान्य स्थिर-दर अंतराल में अंतिम आयतन = प्रारंभिक आयतन + शुद्ध दर × समय
- धन शुद्ध दर पर पहली बार भरने का समय = शेष क्षमता / शुद्ध दर, यदि उससे पहले कार्यक्रम में बदलाव न हो
- पानी मौजूद रहते ऋण शुद्ध दर पर पहली बार खाली होने का समय = प्रारंभिक जमा मात्रा / शुद्ध हानि का परिमाण; ऋण “भरने का समय” भविष्य की घटना नहीं है
- शून्य शुद्ध दर में क्षमता से कम भरी टंकी वैसी ही रहती है; शून्य से भाग न दें। शुरुआत में ही लक्ष्य-सीमा हो तो पहली बार उस लक्ष्य का समय 0 है
- अज्ञात रिसाव का परिमाण = भरने की दर − देखी गई शुद्ध भरने की दर, केवल तुलनीय पूरे-भराव और स्थिर-दर की शर्तों में
- वाल्व बदलने पर वास्तविक स्तर आगे ले जाएँ और केवल अब सक्रिय दरें लें
- अगली सीमा तक समय की अगली वाल्व-घटना से तुलना करें; पहली बार भरने या खाली होने का प्रश्न उसी सीमा पर रुकता है
- जमा मात्रा 0 और क्षमता के बीच होनी चाहिए। खाली होने पर वास्तविक निकासी उपलब्ध पानी तक सीमित है; ऋण भंडार की गणना आगे न बढ़ाएँ
- प्रारंभिक मात्रा अज्ञात हो तो शुद्ध दर ज्ञात होने पर भी समय अनिश्चित हो सकता है; पहली बार भरने के बाद तय निकासी अप्रासंगिक हो सकती है
इस पाठ के नोट्स
प्रगति सहेजने के लिए साइन इन करें। साइन इन