समान अंतर और बढ़ता अंतर

सीखने का परिणाम

आप अगला पद तभ निकाल सकते हैं जब दो पदों के बीच का अंतर समान हो, और तभ भी जब वह अंतर खुद एक समान संख्या से बढ़े।

अवधारणाएँ और उनके कारण

अगला पद बोलने से पहले पड़ोसी पदों का अंतर लिखिए। सभी अंतर समान हों तो वही अंतर एक बार और जोड़िए।

अंतर समान न हों तो उन अंतरों का अंतर लिखिए। यह दूसरी पंक्ति समान हो तो अंतिम अंतर में वही संख्या जोड़कर नया अंतर बनाइए, फिर उसे अंतिम पद में जोड़िए।

4, 9, 16, 25 क्रमशः 2, 3, 4 और 5 के वर्ग हैं। अंतर 5, 7, 9 हैं, जो 2-2 से बढ़ते हैं। अगला पद 36 है, फिर 49।

हल किए गए उदाहरण

1. 6, 11, 16, 21, ? अंतर 5, 5, 5 हैं। अगला पद 26।
2. 3, 8, 15, 24, 35, ? अंतर 5, 7, 9, 11 हैं। अगला अंतर 13 है, इसलिए अगला पद 48। यह श्रेणी n के वर्ग में से 1 घटाने पर भी बनती है, और 7 का वर्ग घटा 1 भी 48 है।
3. 2, 6, 12, 20, 30, ? अंतर 4, 6, 8, 10 हैं। अगला अंतर 12 है, इसलिए अगला पद 42। ये 1 गुणा 2, 2 गुणा 3, 3 गुणा 4, 4 गुणा 5 और 5 गुणा 6 हैं। अगला 6 गुणा 7 है, अर्थात 42।

आम गलतियाँ

जो श्रेणी केवल जोड़ से बनती है, उस पर गुणा का नियम जबरदस्ती न लगाइए। 6, 11, 16 का अंतर 5 है। नियम दिए गए हर कदम पर बैठना चाहिए, केवल आखिरी कदम पर नहीं। 1, 4, 9, 16 क्रमशः 1, 2, 3, 4 के वर्ग हैं। अगला पद 25 है।

अभ्यास प्रश्न

1. 9, 14, 19, 24, ?
2. 5, 10, 17, 26, 37, ?
3. 4, 9, 16, 25, ?

उत्तर और व्याख्या

1. 29। अंतर 5 है। 24 + 5 = 29।
2. 50। अंतर 5, 7, 9, 11 हैं, इसलिए अगला अंतर 13 है। 37 + 13 = 50।
3. 36। ये 2, 3, 4, 5 के वर्ग हैं। अगला 6 का वर्ग है।

उदाहरण से समझें

समान ऊँचाई की सीढ़ियाँ समान अंतर हैं। जिनकी ऊँचाई हर बार उतनी ही बढ़े, वह दूसरे अंतर वाली श्रेणी है। अगला कदम अंदाज़े से पहले ऊँचाई मापिए।

सूत्र और नियम

• समान अंतर: वही संख्या फिर जोड़िए।
• अंतर नियत संख्या से बढ़े: अंतिम अंतर बढ़ाइए, फिर जोड़िए।
• अंतर 2-2 से बढ़ें तो वर्ग जाँचिए।
• एक ही नियम हर दिए गए कदम पर बैठना चाहिए।