गुणा, और एक में दो श्रेणियाँ

सीखने का परिणाम

आप गुणा से बनी श्रेणी आगे बढ़ा सकते हैं, और एक पंक्ति में बारी-बारी छिपी दो श्रेणियों को अलग कर सकते हैं।

अवधारणाएँ और उनके कारण

अंतर बहुत तेज बढ़ें तो छोटा गुणा-नियम जाँचिए। आम रूप हैं: एक नियत संख्या से गुणा, या गुणा करके एक नियत संख्या जोड़ना या घटाना।

नियम हर कदम पर जाँचिए। 5 का दुगुना जोड़ 1 बराबर 11 है। 11 का दुगुना जोड़ 1 बराबर 23 है। 23 का दुगुना जोड़ 1 बराबर 47 है। 47 का दुगुना जोड़ 1 बराबर 95 है। जो नियम केवल पहली छलांग पर बैठे, वह नियम नहीं है।

कुछ पंक्तियों में दो श्रेणियाँ गुँथी होती हैं। विषम स्थानों को एक श्रेणी मानिए और सम स्थानों को दूसरी। 7, 10, 8, 11, 9, 12 में विषम स्थानों पर 7, 8, 9 हैं और सम स्थानों पर 10, 11, 12। अगला पद 10 है।

हल किए गए उदाहरण

1. 2, 6, 18, 54, ? हर पद तीन गुना है। अगला 162।
2. 5, 11, 23, 47, ? हर पद दुगुना जोड़ 1 है। अगला 95।
3. 7, 10, 8, 11, 9, 12, ? विषम स्थान: 7, 8, 9। सम स्थान: 10, 11, 12। अगला पद 10।

आम गलतियाँ

दुगुना जोड़ 1 और केवल दुगुना एक बात नहीं है। 47 का दुगुना 94 है, पर इस नियम में 95 चाहिए। दो अलग श्रेणियाँ तभ मानिए जब दोनों अपने-अपने स्थानों पर नियमित हों। 1, 8, 27, 64 घन हैं। इन्हें एक ही संख्या के गुणा से न समझाइए।

अभ्यास प्रश्न

1. 3, 6, 12, 24, ?
2. 4, 9, 19, 39, ?
3. 2, 9, 4, 8, 6, 7, ?

उत्तर और व्याख्या

1. 48। हर पद दुगुना है। 24 का दुगुना 48 है।
2. 79। हर पद दुगुना जोड़ 1 है। 39 का दुगुना जोड़ 1 बराबर 79 है।
3. 8। विषम स्थान 2, 4, 6 हैं, इसलिए अगला विषम स्थान 8 है। सम स्थान 9, 8, 7 बाद में 6 से चलेंगे।

उदाहरण से समझें

रिले में दो धावक बारी-बारी डंडा लेते हैं। विषम स्थान एक धावक हैं और सम स्थान दूसरा। अगला धावक बताने से पहले हर धावक के अपने कदम पढ़िए।

सूत्र और नियम

• तेज वृद्धि: k से गुणा, और k से गुणा करके नियत संख्या जोड़ने या घटाने का नियम जाँचिए।
• नियम हर दिए गए पद को फिर से बना सके।
• पूरी पंक्ति पर एक नियम न बैठे तो विषम और सम स्थान अलग कीजिए।
• 1, 8, 27, 64 क्रमशः 1, 2, 3, 4 के घन हैं। अगला 125 है।