प्रतिअवकलज, प्रतिस्थापन और खंडशः समाकलन

लक्ष्य और पूर्वज्ञान

प्रतिअवकलज बनाएँ और अवकलन से जाँचें। पूर्वज्ञान: अवकलज नियम, बीजगणित और क्षेत्र। इस पाठ में अनिश्चित समाकलन है; अगले में निश्चित समाकलन।

1. समाकलन अवकलन की उलटी प्रक्रिया

अंतराल पर F′=f हो तो F, f का प्रतिअवकलज है। उसी अंतराल पर सभी प्रतिअवकलज केवल अचर से अलग हैं, क्योंकि उनके अंतर का अवकलज शून्य है। ∫f(x) dx=F(x)+C लिखते हैं। dx समाकलन का चर बताता है। अनिश्चित समाकलन फलनों का परिवार है, संख्यात्मक क्षेत्रफल नहीं।

अचर a,b के लिए ∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx। n≠−1 पर ∫xⁿ dx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, उस अंतराल में जहाँ घात और अवकलज नियम लागू हों। अपवाद: शून्य से बचने वाले अंतराल पर ∫1/x dx=ln|x|+C। असंबद्ध क्षेत्र के अलग भागों में अलग अचर हो सकते हैं।

अन्य सूत्र: ∫eˣ dx=eˣ+C; ∫cos x dx=sin x+C; ∫sin x dx=−cos x+C; ∫1/(1+x²) dx=arctan x+C। त्रिकोणमिति रेडियन में है।

∫(3x²−4x+2) dx=x³−2x²+2x+C। अवकलन करने पर मूल बहुपद मिलता है; इससे गुणांक और चिह्न जल्दी जाँचें।

2. प्रतिस्थापन: श्रृंखला नियम उलटा

u=g(x), du=g′(x)dx और F′=f हो तो ∫f(g(x))g′(x)dx=F(g(x))+C। भीतर का अवकलज-गुणक मौजूद होना चाहिए या अचर से समायोजित करना चाहिए। केवल कुछ भाग बदलकर u-समाकल में असंबंधित x पद न छोड़ें।

∫2x/(1+x²) dx में u=1+x², du=2x dx। अतः ∫du/u=ln u+C=ln(1+x²)+C; तर्क सभी वास्तविक x पर धनात्मक है।

∫x cos(x²) dx में u=x², du=2x dx, इसलिए x dx=du/2। उत्तर (1/2)sin(x²)+C। अवकलन का 2x गुणक आधे को सत्यापित करता है।

∫1/(3x+2) dx=(1/3)ln|3x+2|+C, −2/3 से बचने वाले किसी अंतराल पर। 1/3 छोड़ना श्रृंखला-नियम की गलती; क्षेत्र भूलना विलक्षण बिंदु के पार जाना है।

3. खंडशः समाकलन: गुणन नियम उलटा

(uv)′=u′v+uv′ से ∫u dv=uv−∫v du। u ऐसा चुनें जिसका अवकलन सरल हो, dv ऐसा जिसका प्रतिअवकलज उपलब्ध हो। यह रणनीति है, हर प्रश्न के लिए अंधा क्रम नहीं।

∫xeˣ dx में u=x, dv=eˣdx। du=dx, v=eˣ से xeˣ−eˣ+C=(x−1)eˣ+C। अवकलन eˣ+(x−1)eˣ=xeˣ देता है।

x>0 पर ∫ln x dx में u=ln x, dv=dx। du=dx/x, v=x से x ln x−x+C। ∫x²eˣ dx में दो बार विधि लगाने पर eˣ(x²−2x+2)+C; हर बार बहुपद की घात घटती है।

4. बीजगणितीय तैयारी: आंशिक भिन्न

परिमेय हर के गुणनखंड करें; जरूरत हो तो पहले बहुपद भाग दें। 1/[x(x+1)] को A/x+B/(x+1) लिखें। गुणा करने पर 1=A(x+1)+Bx, अतः A=1, B=−1। इसलिए ∫1/[x(x+1)] dx=ln|x|−ln|x+1|+C, −1 और 0 से बचने वाले किसी अंतराल पर।

यह सर्वसमिका वहीं सही है जहाँ मूल व्यंजक परिभाषित है। लघुगणक विलक्षणता नहीं हटाते। इन अंतरालों में ln|x/(x+1)| भी लिख सकते हैं।

5. जाँच और भूलें

हर प्रस्तावित प्रतिअवकलज को अवकलित करें। मूल क्षेत्र, श्रृंखला-गुणक, चिह्न और C जाँचें। गुणनफल का समाकल, समाकलों का गुणनफल नहीं; भागफल के लिए भी ऐसा नियम नहीं। हर प्राथमिक फलन का प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं होता; कोई विधि न चलना समाकल के अर्थहीन होने का प्रमाण नहीं।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

CI01. (−∞,0) पर 1/x का एक प्रतिअवकलज है:

A. ln x B. x⁰/0 C. ln|x| D. 1/x²

उत्तर: C

A: ऋणात्मक x का वास्तविक लघुगणक नहीं।

B: घात नियम में −1 अपवाद है।

C: x<0 पर ln(−x) का अवकलज 1/x है।

D: इसका अवकलज −2/x³ है।

CI02. ∫x cos(x²) dx निकालें।

A. (1/2)sin(x²)+C B. sin(x²)+C C. −(1/2)sin(x²)+C D. x sin(x²)+C

उत्तर: A

A: u=x² से x dx=du/2।

B: इसका अवकलज समाकल्य का दोगुना है।

C: अवकलज का चिह्न गलत है।

D: गुणन नियम अतिरिक्त पद देता है।

CI03. ∫xeˣ dx निकालें।

A. xeˣ+C B. (x+1)eˣ+C C. x²eˣ/2+C D. (x−1)eˣ+C

उत्तर: D

A: इसका अवकलज (x+1)eˣ है।

B: इसका अवकलज (x+2)eˣ है।

C: अवकलज में अतिरिक्त x²eˣ/2 है।

D: खंडशः विधि से xeˣ−eˣ+C।

CI04. −2/3 से बचने वाले अंतराल पर ∫dx/(3x+2) है:

A. ln|3x+2|+C B. (1/3)ln|3x+2|+C C. 3ln|3x+2|+C D. −1/(3x+2)²+C

उत्तर: B

A: अवकलज समाकल्य का तीन गुना है।

B: 1/3 भीतर के अवकलज 3 को काटता है।

C: अवकलज समाकल्य का नौ गुना है।

D: अवकलज 6/(3x+2)³ है।

CI05. x>0 पर ∫ln x dx निकालें।

A. 1/x+C B. x ln x+C C. x ln x−x+C D. ln(x²)/2+C

उत्तर: C

A: यह ln x का अवकलज है, समाकल नहीं।

B: इसका अवकलज ln x+1 है।

C: अवकलन से ln x+1−1 मिलता है।

D: यह ln x+C है, जिसका अवकलज 1/x।

CI06. x≠0,−1 पर कौन-सा विघटन सही है?

A. 1/[x(x+1)]=1/x−1/(x+1) B. 1/[x(x+1)]=1/x+1/(x+1) C. 1/[x(x+1)]=x−(x+1) D. 1/[x(x+1)]=1/x²

उत्तर: A

A: अंश (x+1)−x=1 बनता है।

B: इसका अंश 2x+1 है।

C: दाईं ओर अचर −1 है।

D: हर अलग हैं।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक Integration शीर्षक के दो पाठों में पहला; प्राथमिक प्रतिअवकलज विधियाँ।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).