सशर्त प्रायिकता और स्वतंत्र घटनाएँ

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

प्रतिदर्श समष्टि को सीमित करके और फिर सामान्यीकृत करके सशर्त प्रायिकता निकालें; सशर्त, संयुक्त और सीमांत प्रायिकता का अंतर समझें; वापस रखकर या बिना वापस रखे चयन में गुणन नियम लगाएँ; स्वतंत्रता मानने के बजाय जाँचें। पूर्वज्ञान: प्रतिदर्श समष्टि, प्रतिच्छेद, पूरक और सामान्य गणना। Conditional probability, GATE 2026 CS के Section 1 में स्पष्ट रूप से है। Pairwise और mutual independence का अंतर उपयोगी व्याख्या है; इसे पाठ्यक्रम में अलग से लिखा होने का दावा नहीं किया जा रहा।

1. शर्त लगाने पर संदर्भ समूह बदलता है

P(B)>0 के लिए P(A|B)=P(A∩B)/P(B)। इसे पढ़ें: “B हो चुका है, इस जानकारी पर A की प्रायिकता।” B पहले से ज्ञात सूचना है। B के बाहर के परिणाम हटाकर, B के भीतर के भार इस तरह बदलते हैं कि योग एक हो। सीमित समसंभाव्य मॉडल में यह |A∩B|/|B| है। हर में शर्त वाली घटना का आकार या प्रायिकता आती है, मूल पूरी समष्टि नहीं।

उदाहरण: निष्पक्ष पासे का परिणाम सम है। उसके तीन से बड़ा होने की प्रायिकता चाहिए। सीमित समुच्चय B={2,4,6} है और सफल परिणाम {4,6} हैं। इसलिए P(A|B)=2/3। शर्त के बिना P(A)=3/6=1/2। संयुक्त प्रायिकता P(A∩B)=2/6=1/3 है। ये तीन अलग संख्याएँ हैं।

शर्त उलटने से सवाल बदल जाता है। इस उदाहरण में P(B|A) भी संयोग से 2/3 है क्योंकि P(A)=P(B)। लेकिन A=“छह” और B=“सम” लें तो P(A|B)=1/3, जबकि P(B|A)=1। हर छह सम है, पर हर सम परिणाम छह नहीं है। अर्थ समझते समय vertical bar के बाद की घटना को पहले ज्ञात मानें।

P(B)=0 होने पर साधारण अनुपात अपरिभाषित है। 0/0 को शून्य न मानें। सतत चर का ठीक एक मान मिलने पर conditioning की अधिक उन्नत परिभाषा चाहिए; यह घटना-अनुपात वाला हिसाब नहीं है।

2. तालिका से संयुक्त और सशर्त डेटा अलग रखें

100 समसंभाव्य records में 40 system A और 60 system B के हैं। A के आठ तथा B के बारह records में त्रुटि है। कुल त्रुटियाँ 20 हैं। P(त्रुटि और A)=8/100=.08, P(त्रुटि|A)=8/40=.20 और P(A|त्रुटि)=8/20=.40। एक ही cell की गिनती आठ है, लेकिन अलग सवालों के हर अलग हैं।

तालिका से हल करते समय पंक्ति-योग, स्तंभ-योग और कुल योग बनाएँ। P(पंक्ति घटना|स्तंभ घटना) में साझा cell को शर्त वाले स्तंभ के योग से भाग दें। प्रतिशत का संदर्भ समूह पहचानें: “A records का 20%” सशर्त है, सभी records का 20% नहीं।

एक निश्चित शर्त के भीतर पूरक नियम है: P(Aᶜ|B)=1−P(A|B)। लेकिन P(A|Bᶜ) सामान्यतः 1−P(A|B) नहीं है, क्योंकि समूह बदल गया। ऊपर दोनों systems में त्रुटि-दर .20 है; system की शर्त बदलने से दर पूरक नहीं बनती।

3. गुणन नियम और क्रमिक चयन

परिभाषा को बदलकर P(A∩B)=P(A)P(B|A) मिलता है, जब P(A)>0। इसी तरह P(A∩B)=P(B)P(A|B), जब P(B)>0। इनमें स्वतंत्रता जरूरी नहीं। तीन घटनाओं में आवश्यक शर्तों की प्रायिकताएँ धनात्मक हों तो

P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C|A∩B)।

उदाहरण: थैले में तीन लाल, दो नीली गेंदें हैं। दो बार समान रूप से बिना वापस रखे निकालें। P(पहली लाल और दूसरी लाल)=(3/5)(2/4)=3/10। पहली लाल के बाद चार गेंदों में केवल दो लाल बचती हैं। (3/5)² लेने से बदलाव अनदेखा होगा। सममिति से दूसरी गेंद की बिना शर्त लाल प्रायिकता अब भी 3/5 है; लेकिन पहली लाल होने की शर्त पर दूसरी लाल की प्रायिकता 1/2 है। सीमांत और सशर्त प्रायिकताएँ अलग हो सकती हैं।

ठीक एक लाल दो अलग क्रमों में मिल सकती है। लाल-नीली का मान (3/5)(2/4)=3/10 और नीली-लाल का (2/5)(3/4)=3/10 है। जोड़कर 3/5 मिलता है। वापस रखकर स्वतंत्र यादृच्छिक चयन हो तो लाल-लाल की प्रायिकता (3/5)²=9/25 होगी। वास्तविक चयन-विधि मॉडल तय करती है।

4. स्वतंत्रता का अर्थ गुणन पहचान

A और B स्वतंत्र हैं जब P(A∩B)=P(A)P(B)। P(B)>0 हो तो यह P(A|B)=P(A) के बराबर है। B जानने पर A की प्रायिकता नहीं बदलती। स्वतंत्रता सममित है। किसी घटना की प्रायिकता शून्य हो तब भी गुणन परिभाषा लागू है; शून्य हर वाली सशर्त अभिव्यक्ति नहीं।

दो स्वतंत्र निष्पक्ष सिक्का उछालों में A=“पहला H”, B=“दूसरा H” लें। P(A)=P(B)=1/2 और P(A∩B)=1/4; गुणन जाँच सही है। एक निष्पक्ष पासे पर C={1,2}, D={2,3,4} लें। P(C∩D)=1/6 और P(C)P(D)=(1/3)(1/2)=1/6। ये साझा परिणाम वाली घटनाएँ भी स्वतंत्र हैं। स्वतंत्रता का अर्थ “कोई साझा परिणाम नहीं” नहीं है।

धनात्मक प्रायिकता वाली परस्पर अपवर्जी घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हो सकतीं। प्रतिच्छेद की प्रायिकता शून्य है, पर गुणनफल धनात्मक। “पासे पर एक” और “पासे पर दो” अपवर्जी तथा आश्रित हैं। धनात्मक प्रायिकता वाली स्वतंत्र घटनाओं के साथ घटने की प्रायिकता भी धनात्मक होगी।

पूरक लेने पर स्वतंत्रता बनी रहती है: P(A∩Bᶜ)=P(A)−P(A∩B)=P(A)(1−P(B))। अतः A और Bᶜ स्वतंत्र हैं; इसी तरह Aᶜ और B, तथा Aᶜ और Bᶜ। यह गुणन नियम का निष्कर्ष है, नई धारणा नहीं।

5. जोड़ीवार और पारस्परिक स्वतंत्रता

तीन घटनाओं की pairwise independence में हर जोड़ी की जाँच होती है। Mutual independence के लिए साथ में P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) भी चाहिए। केवल जोड़ीवार जाँच तिहरे संबंध को सिद्ध नहीं करती।

दो स्वतंत्र निष्पक्ष उछाल लें। A=पहला H, B=दूसरा H, C=दोनों परिणाम समान। हर घटना की प्रायिकता 1/2 है। हर जोड़ी का प्रतिच्छेद केवल HH है, इसलिए प्रायिकता 1/4; हर जोड़ी स्वतंत्र है। लेकिन तिहरा प्रतिच्छेद भी {HH} है, जिसकी प्रायिकता 1/4 है, (1/2)³=1/8 नहीं। तीनों पारस्परिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं। दोनों उछाल ज्ञात हों तो C तय हो जाती है।

अधिक घटनाओं में mutual independence के लिए दो या अधिक घटनाओं के हर उपसमूह पर गुणन नियम चाहिए। प्रश्न सभी trials स्वतंत्र कहे तो सामान्यतः साथ में गुणा करने योग्य संयुक्त स्वतंत्रता दी गई है। केवल जोड़ीवार संख्यात्मक जाँच से ऐसा निष्कर्ष न निकालें।

हल करने की सूची

A और ज्ञात शर्त B को अलग नाम दें। P(B)>0 जाँचें। भाग देने से पहले संयुक्त घटना निकालें। क्रमिक चयन में हर ज्ञात परिणाम के बाद उपलब्ध गिनती बदलें। संयुक्त प्रायिकता से स्वतंत्रता जाँचें या प्रश्न में दी स्पष्ट धारणा इस्तेमाल करें। स्वतंत्र और अपवर्जी को न मिलाएँ; शर्त उलटने पर फिर गणना करें। बदले संदर्भ समूह का हर स्पष्ट लिखें।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

CP01. निष्पक्ष पासे का परिणाम सम है। तीन से बड़ा होने की सशर्त प्रायिकता क्या है?

A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 1

उत्तर: C

A: यह शर्त को अनदेखा करता है।

B: यह मूल छह परिणामों पर संयुक्त प्रायिकता है।

C: 2,4,6 में 4 और 6 तीन से बड़े हैं।

D: सम परिणाम 2 तीन से बड़ा नहीं है।

CP02. निष्पक्ष पासे पर A=“छह”, B=“सम”। P(B|A) क्या है?

A. 1 B. 1/3 C. 1/2 D. 1/6

उत्तर: A

A: छह ज्ञात होने पर सम होना निश्चित है।

B: यह शर्त उलटकर P(A|B) देता है।

C: यह बिना शर्त P(B) है।

D: यह शर्त लगाने से पहले P(A∩B) है।

CP03. तीन लाल और दो नीली गेंदों से दो बार समान रूप से बिना वापस रखे चयन में दोनों लाल की प्रायिकता क्या है?

A. 9/25 B. 3/5 C. 1/2 D. 3/10

उत्तर: D

A: यह वापस रखकर स्वतंत्र चयन में सही होगा।

B: यह केवल पहली गेंद लाल की प्रायिकता है।

C: यह पहली लाल की शर्त पर दूसरी लाल की प्रायिकता है।

D: 3/5 को 2/4 से गुणा करने पर 3/10 मिलता है।

CP04. P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2। कौन-सा कथन सही है?

A. A और B अपवर्जी हैं B. A और B स्वतंत्र हैं C. P(A|B)=0.2 D. P(A∪B)=0.9

उत्तर: B

A: प्रतिच्छेद धनात्मक है, इसलिए अपवर्जी नहीं हैं।

B: प्रतिच्छेद 0.2, गुणनफल 0.4×0.5 के बराबर है।

C: 0.2 को 0.5 से भाग देने पर 0.4 मिलता है।

D: संघ 0.4+0.5−0.2=0.7 है।

CP05. दो अपवर्जी घटनाओं में हर एक की प्रायिकता धनात्मक है। वे हैं:

A. हमेशा स्वतंत्र B. हमेशा आश्रित C. अवश्य पूरक D. अवश्य समसंभाव्य

उत्तर: B

A: शून्य प्रतिच्छेद धनात्मक गुणनफल के बराबर नहीं हो सकता।

B: स्वतंत्रता की गुणन पहचान विफल है।

C: उनका संघ पूरी समष्टि होना जरूरी नहीं।

D: अपवर्जन से प्रायिकताएँ बराबर होना जरूरी नहीं।

CP06. दो स्वतंत्र निष्पक्ष उछालों में A=पहला H, B=दूसरा H, C=समान परिणाम। क्या सही है?

A. तीनों पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं B. कोई जोड़ी स्वतंत्र नहीं C. जोड़ीवार स्वतंत्र, पर पारस्परिक रूप से स्वतंत्र नहीं D. P(A∩B∩C)=1/8

उत्तर: C

A: तिहरा प्रतिच्छेद 1/4 है, गुणनफल 1/8 नहीं।

B: हर जोड़ी का प्रतिच्छेद और सीमांत गुणनफल 1/4 है।

C: हर जोड़ी की जाँच सही है, तिहरी जाँच विफल है।

D: तिहरा प्रतिच्छेद HH है जिसकी प्रायिकता 1/4 है।

स्रोत और सीमा

यह आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 की सशर्त प्रायिकता और उसके सही प्रयोग के लिए आवश्यक स्वतंत्रता समझाता है। Total probability और Bayes theorem अगले पाठ में हैं। शिक्षण और अभ्यास मौलिक हैं; पूर्ण पाठ्यक्रम कवरेज नहीं।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).