अपेक्षित मान, प्रसरण और सार-माप

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

अपेक्षित मान, प्रसरण और मानक विचलन निकालें; रैखिकता सही इस्तेमाल करें; mean, median और mode का अंतर समझें; तथा बताएँ कि प्रसरण दिए वितरण का है या नमूने से जनसंख्या का अनुमान है। पूर्वज्ञान: PMF, PDF, CDF, सीमित योग और सामान्य समाकलन। Mean, median, mode और standard deviation, GATE 2026 CS में स्पष्ट रूप से हैं। प्रसरण को मानक विचलन का वर्ग समझाया गया है; covariance केवल यह बताने के लिए है कि प्रसरण कब जुड़ते हैं।

1. अपेक्षित मान प्रायिकता-भारित औसत है

असतत X के लिए E[X]=Σₓx p_X(x)। PDF f वाले चर में support पर E[X]=∫xf(x)dx, बशर्ते अपेक्षा मौजूद हो। अपेक्षित मान support में होना जरूरी नहीं: निष्पक्ष पासे का mean 3.5 है, लेकिन किसी roll में 3.5 नहीं आता। यह भारित औसत है, सबसे संभावित मान या अगले परिणाम का वादा नहीं।

उदाहरण: P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4 हो तो E[X]=0(1/4)+1(1/2)+2(1/4)=1। किसी g के लिए E[g(X)]=Σₓg(x)p_X(x), या ∫g(x)f(x)dx। X का वितरण ज्ञात हो तो g(X) का पूरा नया वितरण निकालना आवश्यक नहीं। यहाँ E[X²]=0+1/2+4/4=3/2, लेकिन (E[X])²=1। सामान्यतः E[g(X)], g(E[X]) के बराबर नहीं।

[0,1] पर f(x)=2x में E[X]=∫₀¹2x²dx=2/3, और E[X²]=∫₀¹2x³dx=1/2। बड़े मानों को अधिक density भार मिला है, इसलिए mean का midpoint से बड़ा होना उचित है।

2. रैखिकता के लिए स्वतंत्रता नहीं चाहिए

सीमित अपेक्षाओं के लिए E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c, चाहे चर आश्रित हों। प्रमाण में योग या समाकलन बाँटते हैं; संयुक्त प्रायिकता का गुणनखंड नहीं करते। विशेष रूप से E[aX+b]=aE[X]+b।

Indicator I_A घटना A होने पर one, अन्यथा zero है। E[I_A]=P(A)। यदि N, A₁,…,Aₙ घटनाओं की गिनती है, तो N=ΣᵢI_Aᵢ। इसलिए E[N]=ΣᵢP(Aᵢ), भले घटनाएँ आश्रित हों।

उदाहरण: 52 पत्तों के मानक deck में चार इक्के हैं। तीन पत्ते समान रूप से बिना वापस रखे चुनें। Iᵢ बताए कि iवें draw में इक्का है या नहीं। हर draw की सीमांत इक्का प्रायिकता 4/52 है। इसलिए E[इक्कों की संख्या]=3(4/52)=3/13। Draws आश्रित हैं, पर रैखिकता लागू है। इससे हर संभव इक्का-गिनती की प्रायिकता निकाले बिना mean मिलता है।

इसे गुणनफल तक न फैलाएँ: E[XY]=E[X]E[Y] के लिए उचित सीमित moments के साथ स्वतंत्रता पर्याप्त है; रैखिकता पर्याप्त नहीं। X=Y एक निष्पक्ष 0/1 चर हो तो E[XY]=E[X²]=1/2, जबकि E[X]E[Y]=1/4।

3. प्रसरण और मानक विचलन

Var(X)=E[(X−μ)²], जहाँ μ=E[X] और दूसरा moment सीमित है। विस्तार से Var(X)=E[X²]−μ²। मानक विचलन σ_X=√Var(X)। प्रसरण अऋणात्मक है। यह ठीक तभी zero है जब X प्रायिकता one से स्थिर हो। मानक विचलन की इकाई मूल मान जैसी है; प्रसरण की इकाई उसका वर्ग है।

ऊपर के 0,1,2 वितरण में Var(X)=3/2−1=1/2 और σ_X=1/√2। [0,1] पर f(x)=2x के लिए Var(X)=1/2−(2/3)²=1/18, तथा σ_X=1/√18। Round किए moments से छोटा ऋणात्मक प्रसरण आए तो numerical error है; सटीक ऋणात्मक प्रसरण अमान्य डेटा या गणना की गलती है।

स्थिर संख्या जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता; scale प्रसरण में वर्ग बनता है:

Var(aX+b)=a²Var(X), σ_(aX+b)=|a|σ_X।

Var(X)=4 और Y=−3X+7 हो तो Var(Y)=9×4=36, σ_Y=6। सात जोड़ने से mean बदलता है, फैलाव नहीं। ऋणात्मक scale क्रम उलटता है, मानक विचलन को ऋणात्मक नहीं बनाता।

4. प्रसरण कब जुड़ते हैं?

सीमित दूसरे moments के लिए

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y),

जहाँ Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]। स्वतंत्रता से covariance zero होता है; इसलिए स्वतंत्र चरों के प्रसरण जुड़ते हैं। Uncorrelated चरों में भी प्रसरण जुड़ते हैं, लेकिन uncorrelated होना सामान्यतः स्वतंत्रता नहीं देता। यह अंतर केवल बिना आधार प्रसरण जोड़ने की गलती रोकने के लिए है।

प्रतिउदाहरण: Y=X लें। तब Var(X+Y)=Var(2X)=4Var(X), 2Var(X) नहीं, सिवाय Var(X)=0 के। दोनों योगदान साथ बदलते हैं। स्वतंत्र X,Y के लिए Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y): ऋण चिह्न वर्ग में धन हो जाता है; प्रसरण घटते नहीं।

5. Mean, median और mode अलग सवालों के उत्तर हैं

Mean प्रायिकता-भारित केंद्र है। Median m में P(X≤m)≥1/2 और P(X≥m)≥1/2 होता है; median अद्वितीय होना जरूरी नहीं। मध्य में लगातार बढ़ते सतत CDF के लिए F(m)=1/2 हल करें। असतत वितरण में दोनों ओर पर्याप्त mass देखें; F(m)=1/2 का सटीक समाधान न हो तब भी median हो सकता है।

क्रमबद्ध आँकड़े 1,2,2,3,12 लें। Mean=20/5=4; बीच का मान होने से median=2; सबसे अधिक बार आने से mode=2। बड़ा मान 12 mean को ऊपर खींचता है। सम संख्या वाले आँकड़ों में सामान्य वर्णनात्मक convention बीच के दो मानों का औसत median बताता है। 1,2,8,9 में यह 5 है। समान भार वाले empirical वितरण की median असमानताओं को [2,8] का हर बिंदु मानता है; reporting convention पाँच चुनता है।

असतत वितरण का mode अधिकतम mass वाला मान है; कई modes हो सकते हैं। सतत density में मॉडल द्वारा चुने density निरूपण के अधिकतम बिंदु modes हैं; फिर भी अकेले बिंदु की प्रायिकता zero रहती है। [0,1] पर f(x)=2x में mean=2/3, median=1/√2, और density का अधिकतम x=1 पर है। तीनों मापों का बराबर होना जरूरी नहीं।

6. जनसंख्या और नमूना प्रसरण की convention

n समान भार वाले observations की empirical population variance है (1/n)Σᵢ(xᵢ−x̄)²। सीमित प्रसरण वाली जनसंख्या से लिए i.i.d. (स्वतंत्र, समान वितरण वाले) नमूने के सामान्य unbiased sample-variance estimator में n>1 के लिए 1/(n−1) लगता है। ये अलग सवालों के उत्तर हैं। प्रश्न की बताई convention लें; चुपचाप अदला-बदली न करें।

1,3 के observations में mean दो है, squared deviations का योग दो है। Population variance=2/2=1; unbiased sample variance=2/(2−1)=2। दिए PMF में उसकी प्रायिकता-weights लें; Var(X) में अपने-आप n−1 adjustment नहीं आता।

जाँच-सूची: प्रायिकताएँ सामान्यीकृत करें; E[X] और E[X²] अलग निकालें; mean का वर्ग घटाएँ; मानक विचलन के लिए अऋणात्मक वर्गमूल लें; इकाइयाँ और convention बताएँ। सीमित means में रैखिकता लें, लेकिन अपेक्षाएँ गुणा करने या प्रसरण जोड़ने से पहले आश्रितता का उचित आधार दें।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

EV01. P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4। Var(X) क्या है?

A. 1 B. 3/2 C. 1/2 D. 1/√2

उत्तर: C

A: यह mean और उसका वर्ग है, प्रसरण नहीं।

B: यह mean का वर्ग घटाने से पहले E[X²] है।

C: E[X²]=3/2 और E[X]=1, अतः प्रसरण 1/2।

D: यह मानक विचलन है।

EV02. Var(X)=4 और Y=−3X+7। Y का मानक विचलन क्या है?

A. 6 B. −6 C. 36 D. 13

उत्तर: A

A: मानक विचलन |−3|√4=6 है।

B: मानक विचलन ऋणात्मक नहीं हो सकता।

C: यह Y का प्रसरण है, उसका वर्गमूल नहीं।

D: सात जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

EV03. X,Y के means सीमित हैं, पर वे आश्रित हो सकते हैं। कौन-सी पहचान हमेशा सही है?

A. E[XY]=E[X]E[Y] B. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) C. E[X²]=(E[X])² D. E[X+Y]=E[X]+E[Y]

उत्तर: D

A: गुणनफल के लिए सामान्यतः अतिरिक्त धारणाएँ चाहिए।

B: इस रूप के लिए सीमित दूसरे moments और zero covariance चाहिए।

C: दोनों का अंतर प्रसरण है, जो zero होना जरूरी नहीं।

D: अपेक्षा की रैखिकता के लिए स्वतंत्रता नहीं चाहिए।

EV04. 1,2,2,3,12 observations के mean, median और mode क्रमशः क्या हैं?

A. 2,2,4 B. 4,2,2 C. 4,3,2 D. 2,4,2

उत्तर: B

A: योग 20 है, इसलिए mean चार है, दो नहीं।

B: Mean=20/5=4; बीच का और सर्वाधिक बार आया मान दोनों दो हैं।

C: पाँच क्रमबद्ध observations में तीसरा मान दो मध्य है।

D: इसमें mean और median उलटे हैं।

EV05. मानक deck में 52 पत्ते और चार इक्के हैं। तीन पत्ते समान रूप से बिना वापस रखे चुनें। इक्कों की अपेक्षित संख्या क्या है?

A. 1/13 B. 3/52 C. 3/13 D. 12/49

उत्तर: C

A: यह एक draw की इक्का प्रायिकता है, तीन का योग नहीं।

B: यह deck में चार की बजाय एक इक्का मानता है।

C: तीन indicators की अपेक्षाएँ जोड़ें, हर एक 4/52: 12/52=3/13।

D: हर draw की सीमांत इक्का प्रायिकता 4/52 है; 49 सीमांत हर नहीं है।

EV06. 1 और 3 को पूरी समान भार वाली population मानें। उसका प्रसरण क्या है?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 0

उत्तर: A

A: Mean दो; squared deviations का योग दो; population आकार दो से भाग दें।

B: यह n−1 sample-variance estimator है, माँगा population variance नहीं।

C: यह range का वर्ग है, प्रसरण नहीं।

D: Observations अलग हैं, इसलिए प्रसरण धनात्मक है।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक GATE 2026 CS Section 1 में mean, median, mode और standard deviation नामित हैं। अपेक्षा और प्रसरण उनकी प्रायिकता-आधारशिला हैं। ये मौलिक उदाहरण आंशिक विषय-शिक्षण हैं, पूरे Engineering Mathematics की पूर्ण कवरेज का दावा नहीं।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).