चरघातांकी वितरण और स्मृतिहीनता

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

Exponential वितरण का rate parameter इस्तेमाल करें; waiting-time प्रायिकताएँ निकालें; mean, variance और median व्युत्पन्न करें; सही घटना पर memorylessness लगाएँ; तथा पहली arrival की प्रतीक्षा को homogeneous Poisson process से जोड़ें। पूर्वज्ञान: PDF, CDF, सशर्त प्रायिकता, समाकलन और सामान्य Poisson counts। आधिकारिक GATE 2026 CS में exponential distributions स्पष्ट रूप से हैं। Reliability उदाहरण गणितीय मॉडल हैं; सभी वास्तविक lifetimes exponential होने का दावा नहीं।

1. Rate और scale conventions

T~Exp(λ) में rate λ>0 लें। Support t≥0 है और वहाँ PDF f(t)=λe^(−λt), t<0 पर zero। सामान्यीकरण ∫₀∞λe^(−λt)dt=1 से मिलता है। Rate की इकाई समय का व्युत्क्रम है। λ=2 प्रति मिनट हो तो t मिनट में रखने पर λt इकाई-रहित है।

कुछ स्रोत scale θ=1/λ लेकर f(t)=(1/θ)e^(−t/θ) लिखते हैं। Scale mean है और उसकी समय-इकाई होती है। Convention पढ़ें। केवल “exponential parameter two” कहना अस्पष्ट है, जब तक rate या scale न बताया जाए। पूरे पाठ में rate convention है।

Zero पर point mass नहीं: P(T=0)=0, भले f(0)=λ। Support का endpoint zero है, लेकिन सतत मॉडल उसे point probability नहीं देता। λ=0 से normalized exponential density नहीं बनती; वह मान स्वीकार्य नहीं।

2. CDF और survival function

t≥0 पर F(t)=P(T≤t)=∫₀ᵗλe^(−λu)du=1−e^(−λt)। t<0 पर F(t)=0। t≥0 पर survival S(t)=P(T>t)=e^(−λt)। t<0 पर S(t)=1। Density प्रति समय-इकाई प्रायिकता का घनत्व है; F और S स्वयं प्रायिकताएँ हैं।

0≤a<b में P(a<T≤b)=F(b)−F(a)=e^(−λa)−e^(−λb)। सतत मॉडल में endpoints से उत्तर नहीं बदलता। Tail प्रायिकता, density की ऊँचाई λe^(−λt) नहीं है।

उदाहरण: T~Exp(2 प्रति मिनट)। P(T>1 मिनट)=e^(−2)≈.135335। P(T≤.5 मिनट)=1−e^(−1)≈.632121। P(.5<T≤1)=e^(−1)−e^(−2)≈.232544। t=.5 पर density 2e^(−1) प्रति मिनट है; यह न CDF है, न survival। .5 मिनट को 30 सेकंड कर दें लेकिन λ=2 प्रति मिनट ही exponent में रखें तो इकाइयाँ मिलेंगी नहीं। Rate को भी 1/30 प्रति सेकंड करें।

3. Mean, दूसरा moment और variance

भागों में समाकलन से E[T]=∫₀∞tλe^(−λt)dt=1/λ। दोबारा यही विधि E[T²]=2/λ² देती है। इसलिए Var(T)=2/λ²−(1/λ)²=1/λ² और standard deviation=1/λ। λ>0 में t→∞ पर polynomial गुणा e^(−λt) zero होता है, इसलिए boundary terms मिटते हैं।

λ=2 प्रति मिनट में mean=.5 मिनट, variance=.25 मिनट² और standard deviation=.5 मिनट। Rate अधिक हो तो अपेक्षित प्रतीक्षा छोटी होती है। Rate और mean व्युत्क्रम हैं; बराबर मानना इकाइयों और व्यवहार को उलझाता है।

Median m के लिए 1−e^(−λm)=1/2, इसलिए m=(ln 2)/λ। ln 2<1 होने से median, mean से छोटा है। 0<q<1 पर q-quantile=−ln(1−q)/λ। λ=2 में 90th percentile=(ln 10)/2≈1.151293 मिनट। Density zero पर अधिकतम से घटती है, इसलिए सामान्य density निरूपण में mode zero है। Mean, median और mode अलग हैं।

4. स्मृतिहीनता: बची हुई प्रतीक्षा

s,t≥0 में

P(T>s+t | T>s)=P(T>s+t)/P(T>s) =e^(−λ(s+t))/e^(−λs)=e^(−λt)=P(T>t)।

प्रतिच्छेद सरल हुआ क्योंकि {T>s+t}, {T>s} का उपसमुच्चय है। s समय तक घटना न हुई हो तो अतिरिक्त प्रतीक्षा का exponential law नई प्रतीक्षा जैसा है। यह सशर्त शेष अवधि की बात है, शुरुआत से मापी कुल अवधि की नहीं।

उदाहरण: T~Exp(.2 प्रति घंटा)। दस घंटे से अधिक चलने की जानकारी पर तीन घंटे और चलने की प्रायिकता e^(−.2×3)=e^(−.6)। शुरुआत से कुल तेरह घंटे से अधिक चलने की बिना शर्त प्रायिकता e^(−2.6) है, अलग मात्रा। यहाँ zero-probability endpoints के कारण “से अधिक” और “कम-से-कम” का मान समान है।

सशर्त mean शेष जीवन E[T−s|T>s]=1/λ। सशर्त mean कुल जीवन E[T|T>s]=s+1/λ। उदाहरण में ये क्रमशः पाँच और पंद्रह घंटे हैं। अपरिवर्तित शेष mean को कुल lifetime न बताएं।

Memorylessness exponential मॉडल की धारणाओं पर निर्भर निष्कर्ष है; वास्तविक aging components जरूरी नहीं इसे मानें। [0,10] पर uniform प्रतीक्षा में अधिक देर जीवित रहने के बाद शेष अधिकतम सीमा छोटी हो जाती है; इसलिए वह memoryless नहीं है।

5. Poisson arrivals से संबंध

घटनाएँ λ rate के homogeneous Poisson process से आती हों और T पहली arrival तक समय हो। T>t ठीक तभी है जब [0,t] में कोई arrival नहीं। Count का Poisson mean λt है, इसलिए

P(T>t)=P(N(t)=0)=e^(−λt)।

अतः T~Exp(λ)। Count असतत है और अंतराल parameter λt है; प्रतीक्षा सतत है और rate λ है। दोनों चरों और parameters को अलग रखें। केवल औसत arrival rate से कोई भी process model सिद्ध नहीं होता।

उदाहरण: homogeneous Poisson stream का rate तीन प्रति घंटा है। पहली arrival में बीस मिनट से अधिक लगने की प्रायिकता e^(−3×(1/3))=e^(−1)। यह e^(−60) या e^(−20/3) नहीं; hourly rate से गुणा करने से पहले बीस मिनट को एक-तिहाई घंटे में बदलें।

6. स्वतंत्र exponential प्रतीक्षाओं का न्यूनतम

T₁,T₂ स्वतंत्र exponential waits हों, rates λ₁,λ₂। M=min(T₁,T₂)>t ठीक तभी जब दोनों t से बड़े हैं। स्वतंत्रता से P(M>t)=e^(−λ₁t)e^(−λ₂t)=e^(−(λ₁+λ₂)t)। इसलिए M~Exp(λ₁+λ₂)। उसका mean 1/(λ₁+λ₂) है, अलग means का योग नहीं। दो स्वतंत्र अवसरों में पहला औसतन जल्दी आता है।

यह T₁+T₂ का exponential होना नहीं बताता। समान rates की दो स्वतंत्र प्रतीक्षाओं का योग दो घटनाओं तक प्रतीक्षा है, अलग law, जो इस पाठ के मुख्य scope से बाहर है। स्वतंत्रता के बिना न्यूनतम के rates जोड़ने का तर्क भी विफल है।

जाँच-सूची: rate या scale बताएँ; समय-इकाइयाँ बदलें; CDF, survival या interval difference चुनें; memorylessness केवल सशर्त शेष प्रतीक्षा पर लगाएँ; survival probabilities गुणा करने से पहले स्वतंत्रता जाँचें। समय बढ़ने पर survival घटना और rate बढ़ने पर mean घटना चाहिए।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

EX01. T exponential है, rate दो प्रति मिनट। E[T] क्या है?

A. 2 मिनट B. 1/2 मिनट C. 4 मिनट D. 1/4 मिनट

उत्तर: B

A: Rate, mean का व्युत्क्रम है, mean नहीं।

B: Mean=1/λ=1/2 मिनट।

C: यह rate का वर्ग लेता है, व्युत्क्रम नहीं।

D: यह मिनट² में variance की संख्या है, मिनट में mean नहीं।

EX02. T~Exp(2), समय मिनट में और rate प्रति मिनट। P(0.5<T≤1) क्या है?

A. e^(−2) B. 1−e^(−1) C. e^(−1)−e^(−2) D. 2e^(−1)

उत्तर: C

A: यह एक मिनट से आगे survival है।

B: यह आधे मिनट तक arrival है।

C: .5 और एक मिनट की survival values का अंतर लें।

D: यह आधे मिनट पर density है, interval probability नहीं।

EX03. T~Exp(0.2 प्रति घंटा)। T>10 घंटे ज्ञात हो तो P(T>13 घंटे|T>10 घंटे) क्या है?

A. e^(−2.6) B. e^(−2) C. 1−e^(−0.6) D. e^(−0.6)

उत्तर: D

A: यह शर्त छोड़कर तेरह तक बिना शर्त survival है।

B: यह दस तक survival, अर्थात शर्त की प्रायिकता है।

C: यह अगले तीन घंटे में failure है, survival नहीं।

D: Memorylessness में अतिरिक्त तीन घंटे लें: e^(−.2×3)।

EX04. T~Exp(λ), λ>0। Median क्या है?

A. (ln 2)/λ B. 1/λ C. λ ln 2 D. 1/λ²

उत्तर: A

A: 1−e^(−λm)=1/2 हल करें।

B: यह mean है, जो median से बड़ा है।

C: Rate हर में आता है; इसकी समय-इकाइयाँ भी गलत हैं।

D: यह squared time units में variance है।

EX05. Homogeneous Poisson process का rate तीन प्रति घंटा है। पहली arrival में बीस मिनट से अधिक लगने की प्रायिकता क्या है?

A. e^(−60) B. e^(−1) C. 1−e^(−1) D. e^(−20/3)

उत्तर: B

A: यह hourly rate को मिनट से बिना conversion गुणा करता है।

B: बीस मिनट एक-तिहाई घंटा है, इसलिए λt=1।

C: यह बीस मिनट के भीतर arrival है।

D: Exponent में rate और समान इकाइयों वाला समय गुणा होता है।

EX06. T₁,T₂ स्वतंत्र exponential waits हैं, rates दो और तीन प्रति मिनट। E[min(T₁,T₂)] क्या है?

A. 5/6 मिनट B. 1/2 मिनट C. 1/5 मिनट D. 5 मिनट

उत्तर: C

A: यह अलग means जोड़ता है और योग का mean बताता है।

B: यह दूसरा स्वतंत्र अवसर अनदेखा करता है।

C: न्यूनतम का exponential rate 2+3=5, इसलिए mean 1/5।

D: यह मिले rate को mean मानता है।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics में exponential distributions नामित हैं। Poisson-process संबंध सामान्य मॉडल समझाता है; अतिरिक्त stochastic-process विषय अलग से सूचीबद्ध होने का दावा नहीं। शिक्षण और प्रश्न मौलिक हैं; कवरेज आंशिक है।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).