अधिकतम और न्यूनतम: क्रांतिक बिंदु और सिरे

लक्ष्य और पूर्वज्ञान

वास्तविक एकचर फलनों के चरम मान खोजें और उनका प्रकार पहचानें। पूर्वज्ञान: सांतत्य और अवकलज। संभव मानों का क्षेत्र पहले लिखें; अलग अंतराल पर एक ही सूत्र के चरम मान बदल सकते हैं।

1. स्थानीय और परम अलग हैं

c पर परम न्यूनतम का अर्थ हर संभव x के लिए f(c)≤f(x); स्थानीय न्यूनतम में यह केवल c के आसपास क्षेत्र के भीतर चाहिए। अधिकतम में असमता उलटती है। कठोर चरम मान में अन्य निकट बिंदुओं पर कठोर असमता होती है। इस पाठ के स्थानीय अवकलज-परीक्षण भीतरी बिंदुओं पर हैं; सिरों को क्षेत्र के सापेक्ष अलग जाँचते हैं।

बंद परिबद्ध [a,b] पर सतत f के परम चरम मान अवश्य प्राप्त होते हैं, पर प्रमेय उनका स्थान नहीं बताता। खुले या अपरिबद्ध क्षेत्र पर सीमा-मान प्राप्त होना जरूरी नहीं। (0,1) पर f(x)=x का निम्नतम सीमा-मान 0 और उच्चतम सीमा-मान 1 है, पर दोनों प्राप्त नहीं होते; परम न्यूनतम या अधिकतम नहीं है।

2. संभावित बिंदु और फ़र्मा की शर्त

भीतरी स्थानीय चरम बिंदु c पर f अवकलनीय हो तो f′(c)=0। यह आवश्यक है, पर्याप्त नहीं। x³ में f′(0)=0, लेकिन फलन शून्य से होकर बढ़ता है, इसलिए वहाँ चरम नहीं है। क्षेत्र के भीतर वह भीतरी बिंदु क्रांतिक है जहाँ f′=0 या अवकलज मौजूद नहीं। |x| का शून्य पर न्यूनतम दूसरी श्रेणी का उदाहरण है।

[a,b] पर सतत फलन के लिए सभी भीतरी क्रांतिक बिंदु और दोनों सिरे सूचीबद्ध करें, फलन मान निकालें और तुलना करें। क्षेत्र से बाहर का बिंदु उम्मीदवार नहीं। असांतत्य, खुले या अपरिबद्ध क्षेत्र में सीमाएँ और मान प्राप्त होने की जाँच अलग चाहिए; केवल सूची बना देना पर्याप्त गारंटी नहीं।

3. प्रथम अवकलज के चिह्न

जहाँ f′>0 वहाँ फलन कठोरता से बढ़ता और f′<0 पर घटता है। सतत भीतरी बिंदु के आसपास + से − परिवर्तन कठोर स्थानीय अधिकतम, − से + परिवर्तन कठोर स्थानीय न्यूनतम देता है। इस चिह्न-परीक्षण की स्थिति में चिह्न न बदले तो चरम नहीं।

उदाहरण: [−2,2] पर f(x)=x³−3x। f′=3(x−1)(x+1), जिसके चिह्न क्रमशः +,−,+ हैं। −1 स्थानीय अधिकतम और 1 स्थानीय न्यूनतम है। f(−2)=−2, f(−1)=2, f(1)=−2, f(2)=2। परम अधिकतम 2, −1 और 2 दोनों पर; परम न्यूनतम −2, −2 और 1 दोनों पर है। परम चरम अद्वितीय होना जरूरी नहीं।

4. द्वितीय अवकलज परीक्षण

c के आसपास f दो बार सतत अवकलनीय हो तथा f′(c)=0 हो। तब f″(c)>0 कठोर स्थानीय न्यूनतम और f″(c)<0 कठोर स्थानीय अधिकतम देता है। f″(c)=0 पर परीक्षण अनिर्णायक है। शून्य पर x⁴ का न्यूनतम, −x⁴ का अधिकतम और x³ का कोई चरम नहीं, फिर भी तीनों के पहले दो अवकलज शून्य हैं।

x>0 पर f(x)=x+1/x में f′=1−1/x², जो 1 पर शून्य है। 1 से पहले ऋणात्मक और बाद में धनात्मक है; f(1)=2 परम न्यूनतम है। x+1/x≥2 भी पुष्टि करता है। क्षेत्र के दोनों सिरों की ओर f→+∞, अतः परम अधिकतम नहीं। [2,4] पर सीमित करने पर फलन बढ़ता है और न्यूनतम f(2)=5/2 हो जाता है।

5. क्षेत्र सहित अनुकूलन

परिमाप 20 वाले आयत की धनात्मक भुजाएँ x और 10−x हैं, अतः 0<x<10। क्षेत्रफल A=x(10−x), A′=10−2x, A″=−2। x=5 पर अद्वितीय अधिकतम 25 है। सामान्य, गैरअपभ्रष्ट आयतों के लिए 0 केवल निम्नतम सीमा-मान है, प्राप्त न्यूनतम नहीं। अपभ्रष्ट आयत स्वीकारने पर क्षेत्र [0,10] होगा और सिरों पर न्यूनतम 0 मिलेगा।

जाँच-क्रम: प्रतिबंध लिखें, क्षेत्र के भीतर अवकलन करें, अनवकलनीय बिंदु भी लें, स्थानीय प्रकार पहचानें, वैश्विक तुलना करें और प्राप्त मान को केवल सीमा-मान से अलग रखें।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

CE01. x=0 पर f(x)=x³ का:

A. Strict local maximum / कठोर स्थानीय अधिकतम B. Strict local minimum / कठोर स्थानीय न्यूनतम C. Neither local maximum nor local minimum / कोई स्थानीय चरम नहीं D. Absolute maximum / परम अधिकतम

उत्तर: C

A: यह शून्य से होकर बढ़ता है।

B: बाईं ओर ऋणात्मक मान भी हैं।

C: अवकलज शून्य है, चिह्न नहीं बदलता।

D: यह ऊपर से अपरिबद्ध है।

CE02. [−2,2] पर x³−3x का परम अधिकतम मान क्या है?

A. 2 B. −2 C. 0 D. 6

उत्तर: A

A: सिरे और ±1 पर सबसे बड़ा मान 2 है।

B: यह परम न्यूनतम है।

C: फलन 2 भी प्राप्त करता है।

D: किसी उम्मीदवार पर मान 6 नहीं।

CE03. f′(c)=f″(c)=0 होने पर द्वितीय अवकलज परीक्षण क्या बताता है?

A. A minimum / न्यूनतम B. A maximum / अधिकतम C. No extremum / कोई चरम नहीं D. Inconclusive / अनिर्णायक

उत्तर: D

A: x⁴ ठीक है, लेकिन −x⁴ में न्यूनतम नहीं।

B: −x⁴ ठीक है, लेकिन x⁴ में अधिकतम नहीं।

C: x⁴ प्रतिउदाहरण है।

D: आगे का व्यवहार या अवकलज चिह्न जाँचें।

CE04. (0,1) पर f(x)=x के लिए सही कथन कौन-सा है?

A. Minimum 0 and maximum 1 / न्यूनतम 0, अधिकतम 1 B. No absolute minimum or maximum / कोई परम न्यूनतम या अधिकतम नहीं C. Minimum 0 only / केवल न्यूनतम 0 D. Maximum 1 only / केवल अधिकतम 1

उत्तर: B

A: दोनों सिरे क्षेत्र में नहीं हैं।

B: हर संभव मान से छोटे और बड़े संभव मान हैं।

C: शून्य प्राप्त नहीं होता।

D: एक प्राप्त नहीं होता।

CE05. गैरअपभ्रष्ट आयत का परिमाप 20 है। अधिकतम क्षेत्रफल है:

A. 20 B. 50 C. 25 D. 100

उत्तर: C

A: 5 और 5 भुजाओं पर क्षेत्रफल 25 है।

B: यह x(10−x) के अधिकतम से बड़ा है।

C: A′=10−2x, x=5 पर शून्य; A″<0।

D: 10 और 10 से परिमाप 40 होगा।

CE06. [2,4] पर x+1/x का न्यूनतम क्या है?

A. 2 B. 17/4 C. 0 D. 5/2

उत्तर: D

A: धनात्मक अर्धरेखा का न्यूनतम बिंदु 1 इस अंतराल से बाहर है।

B: यह x=4 पर अधिकतम है।

C: सभी मान धनात्मक और कम से कम 5/2 हैं।

D: यहाँ 1−1/x²>0, इसलिए x=2 लें।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक अधिकतम और न्यूनतम: स्पष्ट क्षेत्र सहित एकचर स्थानीय और परम अनुकूलन।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).