प्रसामान्य वितरण: मानकीकरण और tails

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

Normal वितरण के parameters समझें; standard deviation से मानकीकरण करें; CDF और tails पढ़ें; interval probabilities और quantiles निकालें; तथा स्वतंत्र normal चरों को सही variance से जोड़ें। पूर्वज्ञान: PDF, CDF, अपेक्षा, प्रसरण और affine transformations। GATE 2026 CS में normal distributions स्पष्ट रूप से हैं। अभ्यास के सभी आवश्यक CDF मान दिए हैं; किसी विशेष table या calculator की जरूरत नहीं। Normal approximation उसकी सीमाओं सहित परिचय है, अतिरिक्त syllabus दावा नहीं।

1. Parameters, density और आकार

X~N(μ,σ²) लिखें, जहाँ μ कोई वास्तविक mean और σ>0 standard deviation है। दूसरा parameter variance है, standard deviation नहीं। PDF:

f(x)=[1/(σ√(2π))] exp[−(x−μ)²/(2σ²)], −∞<x<∞।

Density, μ के बारे में सममित है, कुल क्षेत्रफल एक और अधिकतम μ पर है। Mean, median और अद्वितीय mode μ पर मिलते हैं। Variance σ² है। σ बढ़ने पर curve फैलता और peak घटता है, क्षेत्रफल वही रहता है। Normal मॉडल हर वास्तविक मान स्वीकारता है। भौतिक मात्रा ऋणात्मक न हो सकती हो, तब भी बहुत छोटी negative tail में normal approximation उपयोगी हो सकती है; लेकिन उसका support सटीक भौतिक सीमा नहीं है।

X~N(50,100) में mean 50, variance 100 और standard deviation 10। Deviation को 100 से भाग देना गलत scale है। σ=0 पर चर स्थिर होगा, लिखे रूप की normal density नहीं।

2. मानकीकरण

X~N(μ,σ²) हो तो Z=(X−μ)/σ, standard normal N(0,1) है। μ घटाने से केंद्र zero और धनात्मक σ से भाग देने पर फैलाव one हो जाता है; inequality दिशा नहीं बदलती। Φ(z)=P(Z≤z) परिभाषित करें।

P(X≤x) के लिए z=(x−μ)/σ निकालकर Φ(z) लें। a<b में

P(a<X≤b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)।

Normal में density होने से हर बिंदु की प्रायिकता zero है; खुले/बंद endpoints का interval probability पर असर नहीं। Standardized density height φ(z), CDF Φ(z) नहीं है। अधिकतर normal interval probabilities का elementary antiderivative नहीं होता; इसलिए CDF table या numerical मान लेते हैं।

उदाहरण: X~N(50,100)। Φ(1.5)=.9332 दिया हो तो P(X≤65)=Φ((65−50)/10)=.9332। Φ(.5)=.6915 हो तो P(45<X≤65)=Φ(1.5)−Φ(−.5)=.9332−(1−.6915)=.6247। पहले हर z-score निकालें, फिर घटना का सही CDF अंतर तय करें।

3. सममिति और एक या दो tails

सममिति से Φ(−z)=1−Φ(z)। z≥0 पर P(Z>z)=1−Φ(z), जबकि P(|Z|>z)=2[1−Φ(z)]। Central interval की प्रायिकता P(|Z|≤z)=2Φ(z)−1। इन सूत्रों में zero के दोनों ओर बराबर tails हैं; किसी भी असममित interval में अलग endpoints के बिना लागू न करें।

Φ(1.96)=.9750 हो तो P(Z>1.96)=.0250, P(|Z|>1.96)=.0500 और P(|Z|≤1.96)=.9500। Central 95% region के बाहर कुल 5% बचता है, हर tail में 2.5%। One-sided 95th percentile में Φ(z)=.95 लेते हैं, लगभग z=1.645। ये z-values मिलाने से घटना बदल जाती है।

एक, दो और तीन standard deviations के भीतर सामान्य approximate central probabilities 68.27%,95.45%,99.73% हैं। ये normal model के तथ्य हैं, हर distribution की सार्वभौमिक गारंटी नहीं। सटीक मान दिए हों तो “दो standard deviations के भीतर” को बिल्कुल 95% न कहें।

4. Quantiles उलटी गणना करते हैं

0<q<1 में Φ(z_q)=q हो तो X का q-quantile x_q=μ+σz_q। यह मानकीकरण का उलटा है। Median से नीचे quantiles के z-score ऋणात्मक, ऊपर धनात्मक हैं।

X~N(50,100) और z_.95=1.645 दिया है। 95th percentile=50+10(1.645)=66.45। अर्थ P(X≤66.45)≈.95 है; mean से 66.45 दूरी के भीतर 95% होने का अर्थ नहीं। Central 95% interval के लिए 50±1.96(10) लें, लगभग [30.4,69.6]। दोनों सवालों में अलग quantiles हैं।

Table यदि zero और धनात्मक z के बीच area देती हो तो Φ(z) पाने के लिए .5 जोड़ें। Upper-tail probability देती हो तो one से घटाएँ। Table की परिभाषा पढ़ें; अलग conventions में वही संख्या अलग area बता सकती है।

5. Affine transformations और स्वतंत्र योग

a≠0 में Y=aX+b normal है, mean aμ+b और variance a²σ²। Standard deviation |a|σ। ऋणात्मक scale में inequality हल करते समय दिशा उलटती है, फैलाव धनात्मक रहता है। a=0 में Y=b स्थिर है, nondegenerate normal नहीं।

X,Y स्वतंत्र normal हों तो W=aX+bY+c, धनात्मक variance होने पर normal है; mean aμ_X+bμ_Y+c और variance a²σ_X²+b²σ_Y²। इस कथन में स्वतंत्रता योग की normality तथा zero-covariance simplification दोनों देती है। केवल दोनों marginal distributions normal जानने से, अतिरिक्त joint धारणाओं के बिना उनका योग normal सिद्ध नहीं होता।

स्वतंत्र X~N(10,4), Y~N(20,9) लें। X−Y~N(−10,13)। Variance 4+9=13 है, 4−9 नहीं; standard deviation √13 है, 2+3 नहीं। 2X−Y का mean zero और variance 4(4)+9=25। सममिति से P(2X−Y≤0)=1/2। आश्रित X,Y में उचित covariance term चाहिए और normality भी अलग सही ठहरानी होगी।

6. वैकल्पिक मॉडल संबंध: counts का normal approximation

Binomial count में np और n(1−p) पर्याप्त बड़े हों तो अक्सर N(np,np(1−p)) approximation उपयोगी है। ये quality की व्यावहारिक शर्तें हैं; कोई एक threshold हर tail की सटीकता की गारंटी नहीं देता। असतत count और सतत normal चर समान नहीं। Continuity correction, पूर्णांक k को उसके चारों ओर unit-width cell से दर्शाता है।

X~Bin(100,.5) में P(X≤60) के सामान्य approximation हेतु normal Y का mean 50, variance 25 लें और P(Y≤60.5) निकालें। z=(60.5−50)/5=2.1। Correction बिना 60 लेने से z=2.0, अलग approximation मिलता है। P(X≥60) में corrected boundary 59.5 है, 60.5 नहीं। सीमा चुनने से पहले inclusive inequality जाँचें।

Exact उत्तर चाहिए तो यह संबंध exact binomial probabilities का विकल्प नहीं है। यह सभी योग या sample sizes के normal होने का दावा भी नहीं। पाठ का मुख्य कौशल मानकीकरण, CDF area, quantiles और उचित स्वतंत्र-normal combination नियम है।

जाँच-सूची

μ, variance और standard deviation अलग लिखें। मानकीकरण से पहले घटना की inequalities लिखें। ऋणात्मक z में सममिति लें, एक tail और दो tails अलग करें। Quantiles में दिए standard-normal quantile को scale और shift करें। उचित धारणाओं पर ही वर्ग किए coefficients के साथ variances जोड़ें। Numerical table rounding और distribution approximations स्पष्ट बताएं।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

NM01. X~N(50,100), दूसरा parameter variance है। 65 का z-score क्या है?

A. 0.15 B. 15 C. 1.5 D. 6.5

उत्तर: C

A: यह standard deviation की जगह variance से भाग देता है।

B: यह केंद्र घटाता है, पर standard deviation से scale नहीं करता।

C: Standard deviation दस है; (65−50)/10=1.5।

D: यह mean घटाए बिना दस से भाग देता है।

NM02. Z~N(0,1), Φ(1.96)=0.9750। P(|Z|>1.96) क्या है?

A. 0.05 B. 0.025 C. 0.95 D. 0.975

उत्तर: A

A: दो समान tails हैं: 2(1−.975)=.05।

B: यह केवल upper tail है।

C: यह central region, लक्ष्य का पूरक है।

D: यह P(Z≤1.96) है, two-sided tail नहीं।

NM03. X~N(50,100)। Φ(1.5)=0.9332 और Φ(0.5)=0.6915 दिए हैं। P(45<X≤65) क्या है?

A. 0.2417 B. 0.9332 C. 0.3085 D. 0.6247

उत्तर: D

A: यह Φ(.5) घटाता है, जबकि निचला z-score −.5 है।

B: यह 45 के नीचे की प्रायिकता नहीं घटाता।

C: यह केवल 45 के नीचे की प्रायिकता है।

D: .9332−Φ(−.5)=.9332−.3085=.6247 लें।

NM04. X~N(50,100)। Standard-normal का 95th percentile 1.645 है। X का संबंधित percentile क्या है?

A. 214.5 B. 66.45 C. 69.6 D. 16.45

उत्तर: B

A: यह z-quantile को standard deviation की जगह variance से गुणा करता है।

B: 50+10×1.645=66.45 लें।

C: यह 1.96 लेता है, जो central 95% interval का upper endpoint है।

D: यह mean shift छोड़ता है।

NM05. स्वतंत्र X~N(10,4), Y~N(20,9)। X−Y का वितरण क्या है?

A. N(−10,−5) B. N(−10,5) C. N(−10,13) D. N(30,13)

उत्तर: C

A: Variances घटते नहीं; ऋणात्मक variance असंभव है।

B: यह standard deviations के योग को variance मानता है।

C: Means घटते हैं, स्वतंत्र variances जुड़ते हैं: −10 और 13।

D: यह means घटाने की जगह जोड़ता है।

NM06. X~Bin(100,0.5) में P(X≤60) के continuity-corrected normal approximation का z-score क्या है?

A. 2.0 B. 1.9 C. 0.42 D. 2.1

उत्तर: D

A: यह continuity correction छोड़ता है।

B: यह 59.5 लेता है, जो X≥60 की निचली boundary है।

C: यह standard deviation पाँच की जगह variance 25 से भाग देता है।

D: Boundary 60.5, mean 50, standard deviation पाँच से 2.1।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics में normal distributions स्पष्ट रूप से नामित हैं। Normal approximation वाला भाग स्पष्ट मॉडल संबंध है, अलग syllabus topic का दावा नहीं। CDF मानों सहित मौलिक प्रश्न हैं; पूर्ण पाठ्यक्रम पूरा होने का दावा नहीं।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).