पूर्ण प्रायिकता और बेयस प्रमेय
उद्देश्य और पूर्वज्ञान
परस्पर अलग और संपूर्ण partition बनाएँ; शाखाओं से सीमांत प्रायिकता निकालें; Bayes theorem से शर्त उलटें; और बड़े पृष्ठभूमि समूह में प्रमाण मिलने की स्थिति में आधार-दर (base rate) का असर समझें। पूर्वज्ञान: घटनाएँ, सशर्त प्रायिकता और गुणन नियम। Bayes theorem, GATE 2026 CS पाठ्यक्रम में स्पष्ट रूप से है। यहाँ के उदाहरण मौलिक गणितीय मॉडल हैं, वास्तविक filters या factories के बारे में अनुभवजन्य दावे नहीं।
1. Partition से न overlap होता है, न मामला छूटता है
H₁,…,Hₖ एक partition बनाते हैं यदि वे परस्पर अपवर्जी हों और उनका संघ Ω हो। हर प्रयोग में ठीक एक शाखा घटती है। इस्तेमाल की गई हर शाखा के P(Hᵢ)>0 होने पर पूर्ण प्रायिकता का नियम है:
P(E)=Σᵢ P(Hᵢ)P(E|Hᵢ)।
प्रमाण: E, अलग-अलग E∩Hᵢ का संघ है। उनकी प्रायिकताएँ जोड़ें और गुणन नियम लगाएँ। शून्य प्रायिकता वाली शाखा का योगदान शून्य है; उस पर conditional परिभाषित किए बिना उसे छोड़ सकते हैं। शाखाओं का समान संभावित होना जरूरी नहीं, न उनकी conditional probabilities का बराबर होना। स्वतंत्रता नहीं मानी गई है।
उदाहरण: समान रूप से चुनी वस्तु M₁ से .6 और M₂ से .4 प्रायिकता से आती है। खराब होने की सशर्त प्रायिकताएँ .02 और .05 हैं। कुल खराब प्रायिकता .6(.02)+.4(.05)=.012+.020=.032 है। यह भारित औसत है। साधारण औसत (.02+.05)/2=.035 दोनों मशीनों को समान संभावित मानता है, जो दी गई वस्तु-अनुपात जानकारी के विरुद्ध है।
चयन-विधि महत्वपूर्ण है। पहले मशीन समान रूप से चुनकर फिर उसकी वस्तु चुनना, दोनों मशीनों के मिले output में से वस्तु समान रूप से चुनने से अलग प्रयोग है। शाखा के भार प्रश्न में दी विधि से लें।
2. बेयस प्रमेय की व्युत्पत्ति
P(E)>0 हो। Partition की शाखा Hⱼ के लिए
P(Hⱼ|E)=P(Hⱼ∩E)/P(E) =P(Hⱼ)P(E|Hⱼ)/[Σᵢ P(Hᵢ)P(E|Hᵢ)]।
P(Hⱼ) पूर्व प्रायिकता (prior), P(E|Hⱼ) उस शाखा में प्रमाण की likelihood, और P(Hⱼ|E) प्रमाण मिलने के बाद की posterior प्रायिकता है। हर में E आने के सभी रास्ते आते हैं। Likelihood, posterior नहीं है। केवल अंश संयुक्त प्रायिकता है, सशर्त नहीं।
मशीन उदाहरण में P(M₂|खराब)=.020/.032=5/8=.625। M₂ केवल 40% वस्तुएँ देती है, पर अधिक खराब-दर के कारण इस मॉडल में खराब वस्तुओं का 62.5% देती है। P(खराब|M₂)=.05 अलग सवाल का उत्तर है। दूसरी शाखा की जाँच करें: P(M₁|खराब)=.012/.032=3/8। दोनों posteriors का योग एक है।
गिनती से भी समझें। 10,000 मॉडल वस्तुओं में 6,000 M₁ और 4,000 M₂ की हैं। अपेक्षित खराब संख्याएँ 120 और 200 हैं। कुल 320 खराब में M₂ का हिस्सा 200/320 है। ये गिनतियाँ अपेक्षित अनुपात समझाती हैं; किसी वास्तविक यादृच्छिक नमूने में ठीक इतनी गिनती की गारंटी नहीं।
3. आधार-दर और false alarms
मानें 1% messages spam हैं। Filter, spam का 90% तथा nonspam का 5% flag करता है। S=spam और F=flagged लें। P(S)=.01, P(F|S)=.90, P(F|Sᶜ)=.05। कुल flagged प्रायिकता .01(.90)+.99(.05)=.0585। इसलिए
P(S|F)=.009/.0585=2/13≈.153846।
Posterior लगभग 15.4% है, 90% नहीं। 10,000 मॉडल messages में 100 spam और 9,900 nonspam हैं। अपेक्षित flagged संख्याएँ 90 spam तथा 495 nonspam हैं, कुल 585। बड़ा पृष्ठभूमि समूह छोटी व्यक्तिगत flag-दर के बावजूद अधिक false positives पैदा करता है। केवल ऊँची detection rate से posterior तय नहीं होता।
अब unflagged प्रमाण Fᶜ लें। P(Fᶜ|S)=.10 तथा P(Fᶜ|Sᶜ)=.95। इसलिए P(S|Fᶜ)=.001/[.001+.9405]=2/1883≈.001062। हर शाखा में likelihood का पूरक लें; सीधे 1−P(S|F) न लें। वह P(Sᶜ|F) है, जिसमें मूल flagged शर्त कायम है।
4. तीन या अधिक परिकल्पनाएँ
स्रोत H₁,H₂,H₃ की प्रायिकताएँ 1/2,1/3,1/6 हैं। प्रमाण E की सशर्त प्रायिकताएँ क्रमशः 1/5,1/2,3/5 हैं। संयुक्त भार 1/10,1/6,1/10 हैं। योग 11/30 है। हर भार को 11/30 से भाग देने पर posterior 3/11,5/11,3/11 मिलते हैं। सभी अऋणात्मक हैं और योग एक है।
सरल विधि है: “prior × likelihood, फिर सामान्यीकरण।” अंतिम भाग तक सटीक भिन्न या पर्याप्त दशमलव रखें। छोटे संयुक्त भार जल्दी round करने से posterior बिगड़ सकता है। प्रमाण के बाद सबसे संभावित शाखा जानने के लिए संयुक्त भारों की तुलना कर सकते हैं, क्योंकि सबका धनात्मक हर समान है।
5. बार-बार मिले प्रमाण
जरूरी conditional independence दिए बिना likelihoods का गुणा न करें। एक बार urn चुना जाता है: U₁ की प्रायिकता 1/2 और उसमें लाल अनुपात 3/4; U₂ की प्रायिकता 1/2 और लाल अनुपात 1/4। चुने urn से दो बार वापस रखकर चयन, urn ज्ञात होने पर स्वतंत्र हैं। दो लाल R₁∩R₂ की likelihoods (3/4)²=9/16 तथा (1/4)²=1/16 हैं। Bayes से P(U₁|R₁∩R₂)=9/(9+1)=9/10।
Urn ज्ञात होने से पहले दोनों लाल घटनाएँ स्वतंत्र नहीं: P(R₁)=P(R₂)=1/2, लेकिन P(R₁∩R₂)=(1/2)(9/16)+(1/2)(1/16)=5/16, 1/4 नहीं। साझा अज्ञात urn उन्हें जोड़ता है। सशर्त और बिना शर्त स्वतंत्रता अलग हैं। बिना वापस रखे चयन हो तो urn के भीतर भी स्थिर प्रायिकता का वर्ग लेने के बजाय बची गिनती से likelihood बदलनी होगी।
गलतियाँ और हल करने की सूची
परिकल्पनाओं को नाम दें और जाँचें कि वे अलग तथा संपूर्ण हैं। Prior और conditional संख्या अलग पहचानें। Probability tree या संयुक्त शाखा-भार लिखें। प्रमाण देने वाली सभी शाखाएँ जोड़कर कुल प्रमाण-प्रायिकता निकालें। हर धनात्मक होने की जाँच करें, फिर संबंधित संयुक्त भार को इस हर से भाग दें। Posteriors का योग एक जाँचें। P(E|H) को सहज अनुमान से न उलटें, पृष्ठभूमि शाखाएँ न छोड़ें, असमान भारों का साधारण औसत न लें और दोहराए प्रमाणों की स्वतंत्रता बिना उचित शर्त न मानें।
मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न
ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।
BT01. M₁,M₂ कुल वस्तुओं का 60%,40% देती हैं और खराब-दर 2%,5% है। मिले output से समान रूप से चुनी वस्तु की खराब प्रायिकता क्या है?
A. 0.035 B. 0.07 C. 0.032 D. 0.012
उत्तर: C
A: यह साधारण औसत output अनुपात छोड़ता है।
B: सशर्त दरें जोड़ने से शाखा-भार छूटते हैं।
C: .6×.02+.4×.05=.032 लें।
D: इसमें केवल M₁ से खराब वस्तुएँ हैं।
BT02. मशीन अनुपात 60%,40% और खराब-दर 2%,5% हों तो P(M₂|खराब) क्या है?
A. 5/8 B. 2/5 C. 1/20 D. 1/50
उत्तर: A
A: M₂-खराब का संयुक्त भार .02, कुल .032 से भाग देने पर 5/8।
B: यह M₂ की prior प्रायिकता है।
C: यह P(खराब|M₂), उलटी शर्त है।
D: यह सामान्यीकरण से पहले M₂ और खराब की संयुक्त प्रायिकता है।
BT03. Spam 1% हैं; filter spam का 90% और nonspam का 5% flag करता है। P(spam|flagged) क्या है?
A. 0.90 B. 0.01 C. 0.95 D. 2/13
उत्तर: D
A: यह spam की शर्त पर flag की likelihood है।
B: यह flag देखने से पहले की prior है।
C: यह nonspam में unflagged दर है, माँगा posterior नहीं।
D: .009/(.009+.0495)=2/13 लें।
BT04. H₁,H₂,H₃ परस्पर अपवर्जी और संपूर्ण partition बनाते हैं; priors 1/2,1/3,1/6 तथा evidence likelihoods 1/5,1/2,3/5 हैं। P(H₂|E) क्या है?
A. 1/2 B. 5/11 C. 1/6 D. 3/11
उत्तर: B
A: यह P(E|H₂) likelihood है।
B: संयुक्त भार 1/6 को कुल 11/30 से भाग देने पर 5/11।
C: यह H₂ का असामान्यीकृत संयुक्त भार है।
D: यह H₁ या H₃ का posterior है।
BT05. P(E)=ΣᵢP(Hᵢ)P(E|Hᵢ) में सभी लिखी conditionals परिभाषित हों, तो कौन-सी शर्तें पर्याप्त हैं?
A. Hᵢ का overlap होना पर्याप्त है B. Hᵢ समसंभाव्य होने चाहिए C. Hᵢ अलग, संपूर्ण partition बनाते हैं और हर प्रायिकता धनात्मक है D. E हर Hᵢ से स्वतंत्र होना चाहिए
उत्तर: C
A: साझा शाखाएँ प्रमाण दो बार गिन सकती हैं।
B: शाखाओं के असमान भार स्वीकार्य हैं।
C: धनात्मक प्रायिकता वाला partition विघटन सही और सभी अनुपात परिभाषित करता है।
D: स्वतंत्रता जरूरी नहीं; सशर्त दरें अलग हो सकती हैं।
BT06. 3/4 और 1/4 लाल अनुपात वाले दो urn में से एक समान प्रायिकता से चुनें। उसी urn से दो बार समान रूप से यादृच्छिक चयन करें, वापस रखते हुए; चुना urn ज्ञात होने पर चयन स्वतंत्र हैं। दोनों लाल होने पर पहला urn चुना गया होने की प्रायिकता क्या है?
A. 3/4 B. 1/2 C. 5/16 D. 9/10
उत्तर: D
A: यह एक लाल के बाद का posterior है, दो के बाद नहीं।
B: यह प्रमाण से पहले की prior है।
C: यह दोनों लाल की कुल प्रायिकता है, posterior नहीं।
D: सशर्त likelihoods 9/16 और 1/16 हैं; समान priors से 9/(9+1)।
स्रोत और सीमा
आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics में Bayes theorem स्पष्ट रूप से है। पूर्ण प्रायिकता उसके हर की गणना देती है। ये मौलिक पाठ पूरे Probability and Statistics या Engineering Mathematics की पूर्ण कवरेज का दावा नहीं करते।
Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).
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