एकसमान वितरण और अंतराल प्रायिकताएँ

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

असतत और सतत एकसमान वितरण का अंतर समझें; गिनती या अंतराल लंबाई से प्रायिकता निकालें; mean और variance व्युत्पन्न करें; तथा support जाँच के साथ CDF और affine transformations इस्तेमाल करें। पूर्वज्ञान: PMF, PDF, CDF, समाकलन और अपेक्षा। आधिकारिक GATE 2026 CS पाठ्यक्रम uniform distributions कहता है। मॉडल का अंतर स्पष्ट करने के लिए यहाँ दोनों रूप सिखाए गए हैं।

1. “Uniform” का अर्थ

संबंधित मॉडल में support के समान आकार के भागों की समान प्रायिकता होती है। n अलग सीमित परिणामों में uniform चयन हो तो हर एक की प्रायिकता 1/n। सतत [a,b], a<b, में density स्थिर है, इसलिए बराबर लंबाई के उप-अंतरालों की प्रायिकता बराबर है। इसका अर्थ हर वास्तविक संख्या की समान धनात्मक प्रायिकता नहीं है।

Uniformity मॉडल में दी होनी चाहिए; केवल “random” कहना पर्याप्त नहीं। Bus नियमित समय पर आती हो या random-number generator पक्षपाती हो तो uniform waiting/output model गलत हो सकता है। इस पाठ के हर प्रयोग में uniformity स्पष्ट गणितीय धारणा है।

2. लगातार पूर्णांकों का असतत uniform वितरण

X, {a,a+1,…,b} पर uniform है, जहाँ a,b पूर्णांक और a≤b। कुल n=b−a+1 मान हैं; हर mass 1/n। घटना की प्रायिकता शामिल support मानों की गिनती को n से भाग देने पर मिलती है।

उदाहरण: {2,3,4,5,6,7,8} पर X uniform है। सात मान हैं। P(3<X≤7)=4/7 क्योंकि 4,5,6,7 शामिल हैं। लंबाई-अनुपात (7−3)/(8−2)=2/3 इस असतत मॉडल में गलत है। Endpoints और पूर्णांक की spacing महत्वपूर्ण हैं।

सममिति से mean=(a+b)/2। Variance=(n²−1)/12। व्युत्पत्ति के लिए {1,…,n} पर uniform K लें। मानक योग Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 से E[K]=(n+1)/2 और E[K²]=(n+1)(2n+1)/6। Mean का वर्ग घटाने पर (n²−1)/12 मिलता है। K को इच्छित interval तक shift करने से variance नहीं बदलता। {2,…,8} में mean=5 और variance=(49−1)/12=4।

a=b हो तो n=1, variance zero और चर स्थिर है। यह असतत मॉडल वैध है। नीचे के सतत interval मॉडल में इसके विपरीत a<b जरूरी है।

3. सतत uniform वितरण

X~Uniform(a,b), a<b, में [a,b] पर PDF f(x)=1/(b−a), अन्यत्र zero है। Rectangle का कुल क्षेत्रफल एक है। CDF है:

t<a पर F(t)=0; a≤t≤b पर F(t)=(t−a)/(b−a); t>b पर F(t)=1।

c≤d में [c,d] की प्रायिकता [c,d]∩[a,b] की लंबाई को b−a से भाग देकर मिलती है। अर्थात P(c≤X≤d)=max(0,min(d,b)−max(c,a))/(b−a)। Support तक काटना जरूरी है। खुले या बंद endpoints से अंतर नहीं पड़ता, क्योंकि हर singleton की प्रायिकता zero है।

X~Uniform(2,8) में P(3<X≤7)=(7−3)/6=2/3। P(7≤X≤10)=(8−7)/6=1/6, 3/6 नहीं, क्योंकि आठ के बाहर मान असंभव हैं। P(X=5)=0, भले वहाँ density 1/6 है। P(X≤10) का CDF one है, (10−2)/6 नहीं; linear सूत्र केवल support के अंदर लागू है।

4. Mean और variance की व्युत्पत्ति

E[X]=∫ₐᵇ x/(b−a) dx=(b²−a²)/[2(b−a)]=(a+b)/2।

E[X²]=∫ₐᵇ x²/(b−a) dx=(a²+ab+b²)/3।

E[X]² घटाने पर Var(X)=(b−a)²/12; standard deviation=(b−a)/√12। Mean स्थान और चौड़ाई दोनों से, variance केवल चौड़ाई से बदलता है। Uniform(2,8) में mean=5, variance=36/12=3 और standard deviation √3। यह {2,…,8} के असतत uniform का variance चार नहीं है।

Median=(a+b)/2 है, क्योंकि interval बराबर लंबाइयों में बँटता है। सामान्य constant-density निरूपण में हर बिंदु की density समान अधिकतम है, इसलिए कोई अद्वितीय mode नहीं। “Mode midpoint है” कहना uniform मॉडल में ऐसी पसंद जोड़ना है जो दी नहीं गई।

5. Affine रूपांतरण और quantiles

U~Uniform(0,1) हो तो X=a+(b−a)U, Uniform(a,b) है। इससे uniform चर को shift और scale कर सकते हैं। उलटे U=(X−a)/(b−a), Uniform(0,1) है। 0<q<1 के लिए q-quantile=a+q(b−a), जो F(x)=q हल करने से मिलता है।

Uniform(2,8) का 75th percentile=2+.75(6)=6.5। यह .75×8=6 नहीं, क्योंकि बायाँ endpoint दो है, zero नहीं। Central 50% interval, 25th percentile 3.5 से 75th percentile 6.5 तक है। लंबाई तीन और प्रायिकता 3/6=1/2।

ऋणात्मक affine scale endpoints उलटता है। X~Uniform(2,8), Y=10−X हो तो Y भी Uniform(2,8)। Y=−2X+1 हो तो support [−15,−3] है, [−3,−15] नहीं। Mean −9 और variance 4×3=12। PDF लिखने से पहले बदले endpoints को सही क्रम दें।

6. उप-अंतराल की शर्त

X~Uniform(a,b), a≤c<d≤b में c≤X≤d की शर्त लगाने पर [c,d] पर uniform law बचता है। Conditional अनुपात में मूल density factor कट जाता है। उदाहरण: X~Uniform(2,8) और ज्ञात है X≥5। तब P(X≤6|X≥5)=length([5,6])/length([5,8])=1/3। बिना शर्त P(X≤6)=2/3 अलग सवाल है।

इस निष्कर्ष में शर्त वाले interval की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए। X=5 पर elementary event-ratio में हर zero है; c=d=5 रखकर हल नहीं कर सकते। हर nonlinear transform के बाद uniformity नहीं बचती। U~Uniform(0,1), Y=U² में 0≤y≤1 पर F_Y(y)=√y है, जो linear नहीं। ऊपर केवल affine transformation का निष्कर्ष सिद्ध किया गया था।

जाँच-सूची

देखें support सीमित पूर्णांक समुच्चय है या सतत interval। असतत में support मान गिनें; सतत में साझा interval की लंबाई लें। CDF के सभी भाग लिखें। सही variance सूत्र चुनें: (n²−1)/12 या (b−a)²/12। बदले endpoints और quantiles support में जाँचें। Conditioning में संदर्भ interval बदलें।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

UF01. X, {2,3,4,5,6,7,8} पर असतत uniform है। P(3<X≤7) क्या है?

A. 2/3 B. 4/7 C. 5/7 D. 3/7

उत्तर: B

A: यह असतत गिनती की जगह सतत लंबाई लेता है।

B: सात support मानों में 4,5,6,7 शामिल हैं।

C: यह X=3 गलत ढंग से शामिल करता है।

D: यह X=7 गलत ढंग से हटाता है।

UF02. सतत X~Uniform(2,8)। P(7≤X≤10) क्या है?

A. 1/2 B. 1 C. 1/6 D. 0

उत्तर: C

A: यह आठ से दस का असंभव भाग शामिल करता है।

B: घटना में support का केवल छठा भाग है।

C: Support का साझा भाग [7,8] है; कुल छह में लंबाई एक।

D: घटना और support का धनात्मक लंबाई वाला साझा भाग है।

UF03. सतत X~Uniform(2,8) का Var(X) क्या है?

A. 4 B. 5 C. √3 D. 3

उत्तर: D

A: यह दो से आठ पूर्णांकों के असतत uniform का प्रसरण है।

B: यह mean है।

C: यह standard deviation है।

D: (8−2)²/12=3 लें।

UF04. सतत X~Uniform(2,8) का 75th percentile क्या है?

A. 6.5 B. 6 C. 4.5 D. 7.5

उत्तर: A

A: a+q(b−a)=2+.75×6=6.5 लें।

B: केवल ऊपरी endpoint गुणा करने से निचला छूटता है।

C: यह दो से ऊपर offset है, अंतिम मान नहीं।

D: इसका CDF 5.5/6 है, .75 नहीं।

UF05. X~Uniform(2,8)। X≥5 ज्ञात है। P(X≤6|X≥5) क्या है?

A. 2/3 B. 1/6 C. 1/3 D. 1/2

उत्तर: C

A: यह बिना शर्त P(X≤6) है।

B: यह conditioning से पहले संयुक्त घटना की प्रायिकता है।

C: शर्त वाला support [5,8] लंबाई तीन; [5,6] लंबाई एक।

D: यह शर्त वाली घटना P(X≥5) की प्रायिकता है।

UF06. U~Uniform(0,1), Y=U²। 0≤y≤1 पर F_Y(y) क्या है?

A. y B. y² C. 2y D. √y

उत्तर: D

A: Nonlinear square transform uniformity नहीं बचाता।

B: U²≤y को U के लिए हल करें; y को फिर square न करें।

C: पूरे interval में यह one से अधिक हो जाता है, इसलिए वैध CDF नहीं।

D: U≥0 से P(U²≤y)=P(U≤√y)=√y।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics में uniform distributions नामित हैं। यह मानक सीमित असतत तथा सतत interval रूप सिखाता है। उदाहरण और अभ्यास मौलिक हैं; पूर्ण probability या Engineering Mathematics कवरेज का दावा नहीं।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).