सीमाएँ: एकपक्षीय व्यवहार और मानक रूप

लक्ष्य और पूर्वज्ञान

बीजगणित तथा प्राथमिक त्रिकोणमिति से वास्तविक एकचर सीमाएँ निकालें। सभी कोण रेडियन में हैं। सीमा, फलन का मान और असीमित व्यवहार अलग पहचानें।

1. कौन किसके निकट जाता है?

lim(x→a) f(x)=L का अर्थ है: परिभाषा-क्षेत्र में x को a के पर्याप्त निकट, लेकिन x≠a रखने पर f(x), L के मनचाहे निकट आता है। औपचारिक रूप से हर ε>0 के लिए कोई δ>0 है जिससे 0<|x−a|<δ होने पर |f(x)−L|<ε। a परिभाषा-क्षेत्र का संचय बिंदु होना चाहिए। f(a) अलग हो सकता है या परिभाषित ही नहीं हो सकता।

भीतरी बिंदु पर द्विपक्षीय सीमा तभी मौजूद है जब बाईं और दाईं सीमाएँ परिमित हों और बराबर हों। |x|/x की शून्य पर बाईं सीमा −1 और दाईं सीमा 1 है, इसलिए द्विपक्षीय सीमा नहीं है। 1/x²→+∞ असीमित व्यवहार बताता है, परिमित वास्तविक सीमा नहीं। 1/x के दोनों ओर अनंत के चिह्न अलग हैं।

2. पहले बीजगणित

परिमित सीमाओं पर जोड़ और गुणन के नियम लगते हैं। भागफल के नियम में हर की सीमा अशून्य चाहिए। 0/0 अनिर्धार्य रूप है, उत्तर नहीं।

उदाहरण: lim(x→2)(x²−4)/(x−2)। x≠2 पर गुणनखंड काटने से x+2 मिलता है, इसलिए सीमा 4 है। मूल व्यंजक 2 पर अपरिभाषित होने से सीमा नहीं रुकती। काटने से उस बिंदु का मान बदल सकता है, उसके आसपास का व्यवहार नहीं।

उदाहरण: lim(x→0)(√(1+x)−1)/x। वास्तविक क्षेत्र में x≥−1 है। अंश और हर को √(1+x)+1 से गुणा करने पर 1/(√(1+x)+1) मिलता है, जिसकी सीमा 1/2 है। 0/0 में सीधे मान रखना पर्याप्त नहीं।

3. सैंडविच प्रमेय और मानक सीमाएँ

यदि a के निकट g(x)≤f(x)≤h(x) तथा दोनों बाहरी सीमाएँ L हों, तो f की सीमा भी L है। x≠0 पर −x²≤x²sin(1/x)≤x², इसलिए शून्य पर सीमा 0 है। sin(1/x) अकेला अभिसरित नहीं होता, पर सीमित दोलन को शून्य की ओर जाते गुणक से गुणा करना अभिसरण दे सकता है।

u→0 पर sin u/u→1, (1−cos u)/u²→1/2, (eᵘ−1)/u→1 और ln(1+u)/u→1; अंतिम में u>−1 चाहिए। sin(3x)/(2x)=(3/2)[sin(3x)/(3x)]→3/2। इसी तरह (1−cos 2x)/x²=4[(1−cos 2x)/(2x)²]→2। भीतर के गुणक न भूलें।

1+x>0 के साथ x→0 पर (1+x)^(1/x)→e। धनात्मक आधार वाली घातों में पहले लघुगणक की सीमा निकालकर फिर घातांक लेना उपयोगी है।

4. अनंत पर व्यवहार

परिमेय फलन में सबसे बड़ी हर-घात से भाग दें। (3x²−x+1)/(2x²+5) की x→±∞ पर सीमा 3/2 है। अंश की घात छोटी हो तो सीमा शून्य; बड़ी हो तो अग्रणी घात और चिह्न जाँचें, केवल अनंत न लिखें।

नियत p>0 और x→+∞ पर ln x ≪ xᵖ ≪ eˣ: धीमे/तेज बढ़ने वाले फलनों का अनुपात शून्य की ओर जाता है। यह प्रत्येक x के लिए असमता नहीं, निर्दिष्ट दिशा की सीमा है।

5. शर्तों वाला औजार और जाँच

L'Hôpital नियम 0/0 या ∞/∞ रूपों के लिए है। संबंधित एकपक्षीय छिद्रित अंतराल पर अंश और हर अवकलनीय हों, हर का अवकलज अशून्य हो, तथा अवकलजों के भागफल की सीमा मौजूद हो (अनंत भी हो सकती है)। तब मूल भागफल की सीमा वही है। (eˣ−1)/x में अवकलज भागफल eˣ→1। लेकिन (1+x)/(2+x) की शून्य पर सीमा सीधे 1/2 है; दोनों को अवकलित कर 1 पाना गलत है।

क्रम: क्षेत्र और दिशा देखें, प्रतिस्थापन करें, अनिर्धार्य रूप पहचानें, सरलीकरण या सैंडविच लगाएँ, और जरूरत पर दोनों ओर जाँचें। केवल चित्र सीमा का प्रमाण नहीं।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

CL01. lim(x→2)(x²−4)/(x−2) क्या है?

A. 0 B. 2 C. 4 D. Does not exist / मौजूद नहीं

उत्तर: C

A: 0/0 शून्य नहीं है।

B: काटने पर x+2 है, x नहीं।

C: x≠2 पर x+2 की सीमा 4 है।

D: 2 पर मान न होने से सीमा नहीं रुकती।

CL02. शून्य पर |x|/x की द्विपक्षीय सीमा क्या है?

A. 1 B. −1 C. 0 D. Does not exist / मौजूद नहीं

उत्तर: D

A: केवल दाईं सीमा 1 है।

B: केवल बाईं सीमा −1 है।

C: पक्षीय सीमाओं का औसत नहीं लेते।

D: −1 और 1 अलग हैं।

CL03. रेडियन में lim(x→0) sin(3x)/(2x) निकालें।

A. 1 B. 2/3 C. 3/2 D. 3

उत्तर: C

A: गुणक 3/2 है।

B: यह अनुपात उलटता है।

C: (3/2)sin(3x)/(3x) लिखें।

D: हर का गुणक 2 बना रहता है।

CL04. lim(x→0) x² sin(1/x) निकालें।

A. 0 B. 1 C. +∞ D. Does not exist / मौजूद नहीं

उत्तर: A

A: |x²sin(1/x)|≤x² और x²→0, इसलिए सीमा 0 है।

B: सिकुड़ती सीमा शून्य देती है।

C: शून्य के निकट फलन परिबद्ध है।

D: x² दोलन को शून्य की ओर दबाता है।

CL05. lim(x→+∞)(3x²−x+1)/(2x²+5) निकालें।

A. 0 B. 3/2 C. +∞ D. 1

उत्तर: B

A: समान घातों से यहाँ शून्य नहीं मिलता।

B: x² से भाग देने पर छोटे पद मिटते हैं।

C: अग्रणी घातें कट जाती हैं।

D: अग्रणी गुणांक अलग हैं।

CL06. lim(x→0)(√(1+x)−1)/x निकालें।

A. 1 B. 0 C. 2 D. 1/2

उत्तर: D

A: परिमेयीकरण से हर की सीमा 2 है।

B: 0/0 अनिर्धार्य है।

C: यह गलत व्युत्क्रम है।

D: x≠0 पर व्यंजक 1/(√(1+x)+1) है।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक Limits विषय: एकचर आधार तथा शर्तों वाले सहायक औजार।

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