द्विपद और पॉइसन वितरण

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

द्विपद और पॉइसन मॉडल की धारणाएँ पहचानें; ठीक-count और tail प्रायिकताएँ निकालें; mean और variance का प्रयोग करें; Poisson rate को दिए अंतराल के लिए बदलें; तथा approximation और exact model का अंतर बताएँ। पूर्वज्ञान: यादृच्छिक चर, PMF, संचय, स्वतंत्रता, अपेक्षा और प्रसरण। दोनों distributions GATE 2026 CS में स्पष्ट रूप से हैं। Bernoulli चर आधार देते हैं; पूरा stochastic-process सिद्धांत इस पाठ में नहीं है।

1. Bernoulli सफलता indicators

Bernoulli(p) चर X, p प्रायिकता से one और 1−p से zero है, जहाँ 0≤p≤1। “सफलता” केवल गिनी जा रही घटना का नाम है; उसका अच्छा होना जरूरी नहीं। E[X]=p। X²=X होने से Var(X)=E[X²]−E[X]²=p−p²=p(1−p)।

उदाहरण: bit बदला या नहीं, component test में पास हुआ या नहीं, चुनी request threshold से ऊपर गई या नहीं। ये अर्थ कई observations के बीच स्वतंत्रता सिद्ध नहीं करते। मॉडल में वह धारणा अलग देनी या उचित ठहरानी होगी।

2. द्विपद मॉडल और व्युत्पत्ति

n trials पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हों, हर एक की सफलता प्रायिकता p समान हो, और X सफलताओं की गिनती हो, तो X~Bin(n,p)। n निश्चित अऋणात्मक पूर्णांक है, X के मान 0,…,n हैं। इस सीमा के k के लिए

P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ।

k सफल स्थान C(n,k) तरीकों से चुनें। स्वतंत्रता से हर निश्चित क्रम की प्रायिकता pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ है। अलग क्रम अपवर्जी हैं, इसलिए बराबर प्रायिकताएँ जोड़ते हैं। Support के बाहर प्रायिकता zero है। p=0 या p=1 में 0⁰ के अस्पष्ट notation पर निर्भर रहने के बजाय चर को सीधे स्थिर मानें।

उदाहरण: पाँच स्वतंत्र trials में हर सफलता प्रायिकता .2 है। ठीक दो सफलताओं का मान C(5,2)(.2)²(.8)³=10(.04)(.512)=.2048। C(5,2) जरूरी है: (.2)²(.8)³ केवल दो सफल और तीन असफल का एक निश्चित क्रम गिनता है।

“कम-से-कम एक” पूरक से सरल है: P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(.8)⁵=.67232। “अधिक-से-अधिक एक” है P(X=0)+P(X=1)=(.8)⁵+5(.2)(.8)⁴=.73728। Tail में सभी शामिल counts जोड़ें; केवल endpoint को PMF में रखना पर्याप्त नहीं।

3. द्विपद mean, variance और मॉडल की विफलता

X=I₁+…+Iₙ स्वतंत्र Bernoulli indicators का योग है। रैखिकता से E[X]=np। स्वतंत्रता के कारण प्रसरण जुड़ते हैं: Var(X)=np(1−p), मानक विचलन √[np(1−p)]। n=10,p=.3 में mean=3, variance=2.1 और standard deviation=√2.1। Mean और variance सामान्यतः बराबर नहीं।

सूत्र के लिए निश्चित n, हर trial में binary सफलता/असफलता, स्थिर p और पारस्परिक स्वतंत्रता चाहिए। सीमित population से बिना वापस रखे चयन में सामान्यतः स्वतंत्रता टूटती है और सशर्त सफलता प्रायिकता बदलती है। Exact count model hypergeometric होता है, जिसे यहाँ केवल अंतर दिखाने के लिए नाम दिया गया है। Population पर नमूने का असर नगण्य हो तो binomial approximation उचित हो सकती है, लेकिन वह approximation ही है। स्वतंत्र trials में भी अलग-अलग success probabilities हों तो सरल Bin(n,p) PMF सही नहीं।

पहली सफलता तक रुकने जैसे प्रयोग में trial count यादृच्छिक है। वे निश्चित n वाले binomial नहीं हैं। Distribution चुनने से पहले देखें क्या निश्चित है और क्या गिना जा रहा है।

4. पॉइसन count distribution

Poisson(λ) चर X का support k=0,1,2,… है और λ>0 के लिए PMF है:

P(X=k)=e^(−λ) λᵏ/k!।

λ दिए अंतराल या क्षेत्र में अपेक्षित count है, प्रायिकता नहीं; यह एक से अधिक हो सकता है। λ=0 की स्थिर स्थिति में X=0 प्रायिकता one से होता है। Exponential series से सामान्यीकरण मिलता है: e^(−λ)Σₖλᵏ/k!=e^(−λ)e^λ=1।

E[X]=λ और Var(X)=λ। व्युत्पत्ति में k/k!=1/(k−1)! से E[X]=λ; k(k−1)/k!=1/(k−2)! से E[X(X−1)]=λ²। फिर E[X²]=λ²+λ और Var(X)=λ। मानक विचलन √λ है। Binomial के विपरीत nondegenerate Poisson की कोई निश्चित सीमित ऊपरी सीमा नहीं होती।

समरूप (homogeneous) Poisson process में rate r प्रति समय-इकाई हो तो लंबाई t के अंतराल में λ=rt। इस मॉडल में stationary independent increments की धारणा आती है। केवल औसत rate ज्ञात होने से Poisson model सिद्ध नहीं होता। Bursts वाला traffic या नियमित समय पर arrivals इस मॉडल को न मानें।

5. पॉइसन गणना और अंतराल बदलना

Requests दो प्रति मिनट rate वाले homogeneous Poisson process से आती हैं। तीन मिनट में λ=2×3=6। P(कोई request नहीं)=e^(−6), P(ठीक दो)=e^(−6)6²/2!=18e^(−6), और P(कम-से-कम एक)=1−e^(−6)। तीन मिनट के लिए λ=2 लेना इकाइयाँ भूलना है।

X~Poisson(3) में P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−e^(−3)(1+3)=1−4e^(−3)। λ>0 के लिए उपयोगी recurrence है P(X=k+1)=P(X=k)λ/(k+1)। इससे बार-बार factorial निकाले बिना पास-पास के mass मिलते हैं।

स्वतंत्र Poisson चरों के λ₁,λ₂ हों तो उनका योग Poisson(λ₁+λ₂) है। Distribution के इस दावे में स्वतंत्रता जरूरी है। Y=X हो तो X+Y=2X केवल सम मान लेता है; λ>0 पर यह Poisson(2λ) नहीं, भले mean 2λ हो।

6. द्विपद का पॉइसन approximation

n बड़ा, p छोटा और np=λ मध्यम आकार का हो तो Poisson(λ), Bin(n,p) का approximation दे सकता है। यह सीमांत approximation है, सार्वभौमिक समानता नहीं; केवल mean के आधार पर नियम नहीं। निश्चित k पर C(n,k)(λ/n)ᵏ(1−λ/n)ⁿ⁻ᵏ, n बढ़ने पर e^(−λ)λᵏ/k! की ओर जाता है।

उदाहरण: 100 स्वतंत्र वस्तुओं में हर खराब प्रायिकता .01 है। कोई खराब न होने का exact मान (.99)¹⁰⁰≈.366032। λ=1 वाला Poisson approximation e^(−1)≈.367879। बताना जरूरी है कौन-सा मान अनुमानित है। Binomial variance .99 और approximating Poisson variance 1 है; पास होने का अर्थ बराबर नहीं। Approximation n से अधिक counts को भी धनात्मक mass दे सकता है, जो exact binomial में असंभव हैं।

हल करने की सूची

देखें count निश्चित स्वतंत्र trials से आता है या दिए Poisson मॉडल से। Support और parameter की इकाइयाँ लिखें। Binomial में निश्चित n और समान p जाँचें; combination factor जोड़ें। Poisson में rate को सही अंतराल के अपेक्षित count में बदलें। कम-से-कम/अधिक-से-अधिक को असमानताओं में लिखें, छोटे tail के लिए पूरक लें, अंत तक सटीक अभिव्यक्ति रखें। Approximation स्पष्ट लिखें और केवल mean से distribution न चुनें।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

BP01. X~Bin(5,0.2)। P(X=2) क्या है?

A. 0.02048 B. 0.2048 C. 0.04 D. 0.67232

उत्तर: B

A: यह C(5,2)=10 छोड़कर केवल एक क्रम गिनता है।

B: C(5,2)(.2)²(.8)³=.2048।

C: यह तीन असफलताओं और सफल स्थानों के चयन की गिनती छोड़ता है।

D: यह P(X≥1) है, P(X=2) नहीं।

BP02. X~Bin(10,0.3) के E[X] और Var(X) क्या हैं?

A. 3,3 B. 0.3,0.21 C. 3,2.1 D. 3,√2.1

उत्तर: C

A: Mean और variance बराबर होना Poisson पहचान है, binomial की नहीं।

B: ये एक Bernoulli trial के moments हैं।

C: Mean=np=3, variance=np(1−p)=2.1।

D: दूसरा मान मानक विचलन है, प्रसरण नहीं।

BP03. Requests दो प्रति मिनट rate वाले homogeneous Poisson process से आती हैं। तीन मिनट में कोई request न होने की प्रायिकता क्या है?

A. e^(−6) B. e^(−2) C. 1−e^(−6) D. 6e^(−6)

उत्तर: A

A: अंतराल mean 2×3=6 और zero-count प्रायिकता e^(−6) है।

B: यह तीन मिनट में एक मिनट वाला mean लेता है।

C: यह कम-से-कम एक request है।

D: यह अंतराल में ठीक एक request है।

BP04. X~Poisson(3)। P(X≥2) क्या है?

A. 1−e^(−3) B. (9/2)e^(−3) C. 1−3e^(−3) D. 1−4e^(−3)

उत्तर: D

A: यह केवल zero घटाकर P(X≥1) देता है।

B: यह ठीक दो है, कम-से-कम दो नहीं।

C: यह ठीक one घटाता है, zero नहीं।

D: zero और one घटाएँ: 1−e^(−3)−3e^(−3)।

BP05. किस प्रयोग में सफलताओं की गिनती ठीक Bin(5,0.2) है?

A. दस में दो चिह्नित वस्तुओं से पाँच चयन बिना वापस रखे B. हर स्वतंत्र trial में .2 सफलता पर पहली सफलता तक रुकना C. पाँच पारस्परिक स्वतंत्र trials, हर सफलता प्रायिकता .2 D. पाँच स्वतंत्र trials जिनकी प्रायिकताएँ .1,.2,.2,.2,.3 हैं

उत्तर: C

A: बिना वापस रखे सफलता आश्रित है और उपलब्ध संरचना बदलती है।

B: Trial संख्या पाँच निश्चित नहीं है।

C: निश्चित n=5, समान p=.2 और पारस्परिक स्वतंत्रता धारणाएँ पूरी करते हैं।

D: समान p नहीं है, भले औसत .2 हो।

BP06. X~Bin(100,0.01) में exact P(X=0) और फिर उसका Poisson approximation कौन-सा जोड़ा देता है?

A. e^(−1),(.99)^100 B. (.99)^100,e^(−1) C. (.01)^100,e^(−1) D. (.99)^100,e^(−100)

उत्तर: B

A: इसमें exact और approximate उत्तर उलटे हैं।

B: Zero successes का exact मान (1−p)^n; λ=np=1 से approximate e^(−1)।

C: (.01)^100 सभी सफलताएँ है, zero सफलताएँ नहीं।

D: Poisson parameter np=1 है, n=100 नहीं।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics में binomial और Poisson distributions स्पष्ट रूप से नामित हैं। उदाहरण और MCQs मौलिक हैं। Uniform, normal और exponential distributions अलग पाठों में शेष हैं; यह batch पाठ्यक्रम पूरा नहीं करता।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).