निश्चित समाकल: मूल प्रमेय, सममिति और क्षेत्रफल

लक्ष्य और पूर्वज्ञान

निश्चित समाकल निकालें, चिह्नयुक्त संचय और ज्यामितीय क्षेत्रफल अलग रखें तथा संचय-फलन का अवकलन करें। पूर्वज्ञान: प्रतिअवकलज और सांतत्य। सामान्य निश्चित समाकल वास्तविक रीमान समाकल हैं; अनुचित समाकल अलग बताए जाएँगे।

1. योग से समाकल तक

[a,b] को Δxᵢ चौड़ाई के छोटे भागों में बाँटें, हर भाग में ξᵢ चुनें और Σf(ξᵢ)Δxᵢ बनाएँ। अधिकतम चौड़ाई शून्य की ओर जाने पर सभी विभाजनों और नमूनों से एक ही सीमा मिले तो वह ∫ₐᵇ f(x)dx है। बंद परिबद्ध अंतराल पर सतत फलन समाकलनीय है। सीमित संख्या में असांतत्य वाले परिबद्ध खंडशः सतत फलन भी समाकलनीय हैं।

समाकल चिह्नयुक्त संचय है: अक्ष के नीचे योगदान ऋणात्मक है। अक्ष और ग्राफ के बीच ज्यामितीय क्षेत्रफल ∫ₐᵇ |f(x)|dx है, जिसे चिह्न बदलने पर बाँटकर निकालते हैं। [−1,1] पर x का चिह्नयुक्त समाकल 0, लेकिन क्षेत्रफल 1 है।

रैखिकता लागू है, ∫ₐᵃ f=0, सिरे उलटने से चिह्न बदलता है और अंतराल जुड़ते हैं: ∫[a,b] f(x)dx + ∫[b,c] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx, जब समाकल मौजूद हों। [a,b] पर m≤f≤M से m(b−a)≤∫ₐᵇ f≤M(b−a)।

2. कलन का मूल प्रमेय (FTC)

[a,b] पर सतत f के लिए F(x)=∫ₐˣ f(t)dt लें। भीतरी x पर F′(x)=f(x)। संचय की छोटी वृद्धि को उसकी चौड़ाई से भाग देने पर स्थानीय ऊँचाई मिलती है। t केवल समाकलन का सहायक चर है, ऊपरी सिरे x से अलग।

G′=f और f सतत हो तो ∫ₐᵇ f(x)dx=G(b)−G(a)। ∫₀² (3x²+1)dx=[x³+x]₀²=10। संख्यात्मक उत्तर में +C न जोड़ें; प्रतिअवकलज का अचर घटाव में कट जाता है।

निचला सिरा u(x), ऊपरी सिरा v(x) हों, वे अवकलनीय हों और f सतत हो, तो समाकल का अवकलज f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x)। H(x)=∫₁ˣ² ln t dt में x>0 पर H′=2x ln(x²)। x>0 रखने से मार्ग में t=0 की विलक्षणता नहीं आती। K(x)=∫ₓ²ˣ sin t dt के लिए K′=2sin(2x)−sin x।

3. निश्चित प्रतिस्थापन और सममिति

[a,b] पर g सतत अवकलनीय हो और g([a,b]) को समाहित करने वाले अंतराल पर f सतत हो, तो ∫ₐᵇ f(g(x))g′(x)dx, g(a) से g(b) तक f(u)du के समाकल के बराबर है। प्रतिस्थापन में दोनों सिरे और अवकल बदलें, या पुराने सिरों से पहले पूरी तरह x में लौटें।

∫₀¹ 2x/(1+x²)dx में u=1+x² रखने पर सिरे 1 और 2 हैं; ∫₁² du/u=ln 2। [a,b] पर सतत अवकलनीय u और v के लिए निश्चित खंडशः समाकलन देता है: ∫ₐᵇ u v′=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇ v u′। अतः ∫₀¹ xeˣdx=[(x−1)eˣ]₀¹=1।

समाकलनीय सम फलन के लिए ∫₋ₐᵃ f=2∫₀ᵃ f; विषम फलन के लिए 0, जहाँ a>0। समाकलनीयता जरूरी है। परावर्तन से ∫₀ᵃ f(x)dx=∫₀ᵃ f(a−x)dx भी मिलता है। ∫₀¹ x/(1+x²)dx=(1/2)ln 2; केवल अंश विषम दिखने से [0,1] पर समाकल शून्य नहीं होता।

4. खंडशः चिह्न और क्षेत्रफल

[0,2] पर |x−1| का क्षेत्रफल निकालने के लिए 1 पर बाँटें: ∫₀¹(1−x)dx+∫₁²(x−1)dx=1/2+1/2=1। इसी अंतराल पर x−1 का चिह्नयुक्त समाकल शून्य है। दो वक्र मिलें तो क्षेत्रफल उनके अंतर के निरपेक्ष मान का समाकल है; मिलन-बिंदुओं पर बाँटें। चिह्न बदलने पर एक ही “ऊपर−नीचे” सूत्र न चलाएँ।

5. अनुचित समाकल: क्षेत्र की सुरक्षा

सिरे पर फलन अपरिबद्ध हो तो एकपक्षीय सीमा से समाकल परिभाषित करें; विलक्षणता के पार सीधे FTC न लगाएँ। ∫₀¹ x^(−1/2)dx=lim(ε→0+) [2√x]ε¹=2। लेकिन ∫₀¹ dx/x=lim(ε→0+) (−ln ε)=+∞, इसलिए अभिसरित नहीं।

भीतरी विलक्षणता पर दोनों पक्ष अलग-अलग अभिसरित होने चाहिए। ∫₋₁¹ dx/x अनुचित समाकल के रूप में अभिसरित नहीं: बायाँ भाग −∞ और दायाँ +∞ है। सममित निरसन से कॉशी प्रधान मान 0 मिलता है, जो अलग अवधारणा है, सामान्य अभिसरित समाकल नहीं। इससे विषम सममिति और प्रतिअवकलज-घटाव का गलत उपयोग रुकता है।

जाँच: विलक्षणताएँ देखें, क्षेत्रफल और चिह्नयुक्त समाकल अलग करें, मान्य प्रतिअवकलज लें, सिरे सही बदलें, चर सिरों में श्रृंखला-गुणक लगाएँ और सममिति से पहले समाकलनीयता जाँचें।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

CF01. ∫₀²(3x²+1)dx निकालें।

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

उत्तर: C

A: 1 का समाकल छूटता है।

B: अचर पद का योगदान 2 है; इसलिए कुल 8+2=10 है, 9 नहीं।

C: [x³+x]₀²=8+2।

D: प्रतिअवकलज लगाने से 10।

CF02. [−1,1] पर y=x और x-अक्ष के बीच ज्यामितीय क्षेत्रफल क्या है?

A. 0 B. 1/2 C. 2 D. 1

उत्तर: D

A: शून्य चिह्नयुक्त समाकल है।

B: यह दो में से एक त्रिभुज गिनता है।

C: हर त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 है, 1 नहीं।

D: |x| का समाकल 1/2+1/2=1।

CF03. x>0 पर d/dx ∫₁ˣ² ln t dt निकालें।

A. 2x ln(x²) B. ln(x²) C. 2/x D. ln x

उत्तर: A

A: FTC से ln(x²), फिर ऊपरी सिरे का अवकलज 2x।

B: श्रृंखला-गुणक 2x छूटा है।

C: यह संचय-फलन की जगह ln(x²) का अवकलन है।

D: समाकल्य x² पर लें और श्रृंखला-गुणक लगाएँ।

CF04. ∫₀¹ 2x/(1+x²)dx निकालें।

A. 0 B. ln 2 C. 2ln 2 D. 1/2

उत्तर: B

A: शून्य को छोड़ समाकल्य धनात्मक है।

B: u=1+x² से सिरे 1 और 2।

C: अवकल में 2x पहले ही आ गया।

D: प्रतिअवकलज ln(1+x²) है, x²/2 नहीं।

CF05. सामान्य अनुचित समाकल के रूप में ∫₋₁¹ dx/x:

A. Equals 0 / 0 है B. Equals 1 / 1 है C. Does not converge / अभिसरित नहीं D. Equals ln 2 / ln 2 है

उत्तर: C

A: 0 केवल सममित प्रधान मान; पक्षीय समाकल अपसारी हैं।

B: अलग-अलग पक्षों का अभिसरण नहीं है।

C: शून्य पर बायाँ-दायाँ समाकल अलग अपसारी है।

D: विलक्षणता के पार प्रतिअवकलज घटाना गलत है।

CF06. अनुचित समाकल ∫₀¹ x^(−1/2)dx निकालें।

A. 1/2 B. 1 C. Diverges / अपसारी D. 2

उत्तर: D

A: प्रतिअवकलज का गुणांक 2 है, 1/2 नहीं।

B: 2√x का मान लें, √x का नहीं।

C: अपरिबद्ध समाकल्य का अनुचित समाकल अभिसरित हो सकता है।

D: lim(ε→0+)2(1−√ε)=2।

स्रोत और सीमा

दूसरा समाकलन पाठ: निश्चित समाकल और विलक्षणता की आवश्यक सावधानियाँ। अनुचित उदाहरण FTC के गलत उपयोग को रोकते हैं; हर विधि के समावेश का दावा नहीं।

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