Monoids और groups: identity और inverse
उद्देश्य और पूर्वज्ञान
दिए set और operation को classify करना, closure और associativity जाँचना, identity तथा inverses खोजना और छोटे finite group में element का order निकालना सीखें। पूर्वज्ञान: sets, functions, सामान्य पूर्णांक गणित और remainders। यह पूरा group theory नहीं है; subgroup tests, Lagrange theorem, homomorphisms और groups से उन्नत counting के लिए अलग पाठ चाहिए।
हम (S,★) का अध्ययन करते हैं, केवल set S का नहीं। एक ही set एक operation पर group और दूसरे पर non-group हो सकता है। Carrier sets गैर-रिक्त हैं और identity तथा inverse दोनों तरफ काम करने वाले होने चाहिए।
1. Binary operation से शुरुआत करें
S पर binary operation हर ordered pair (a,b)∈S×S को ठीक एक परिणाम a★b देती है, जो S में होना चाहिए। परिणाम का S के भीतर रहना closure है। पूर्णांकों पर सामान्य addition closed है; सभी पूर्णांकों पर सामान्य division binary operation नहीं, क्योंकि zero से division परिभाषित नहीं और 1/2 पूर्णांक नहीं है।
Associativity कहती है कि हर a,b,c∈S के लिए (a★b)★c=a★(b★c)। इससे तत्वों का क्रम बदले बिना grouping बदल सकते हैं। Commutativity कहती है a★b=b★a और तत्वों का क्रम बदलने देती है। ये अलग गुण हैं: associative operation का commutative होना जरूरी नहीं।
पूर्णांकों पर subtraction closed है, लेकिन associative नहीं। a=3,b=2,c=1 पर (3−2)−1=0, जबकि 3−(2−1)=2। एक counterexample से universal गुण गलत सिद्ध हो जाता है। इसलिए केवल closure से group या semigroup नहीं बनता।
2. परिभाषाओं में हर चरण क्या जोड़ता है
Semigroup गैर-रिक्त set है जिस पर associative binary operation हो। Monoid ऐसा semigroup है जिसमें identity e हो: हर a∈S के लिए e★a=a★e=a। Group ऐसा monoid है जिसमें हर a का inverse b∈S हो: a★b=b★a=e। Abelian group ऐसा group है जिसकी operation commutative भी हो।
परिभाषाएँ साथ जोड़कर पढ़ें: group में closure और associativity अभी भी चाहिए, केवल identity और inverse जैसा expression पर्याप्त नहीं। हर group monoid है; हर monoid group नहीं। Commutativity, abelian group की अतिरिक्त शर्त है, हर group की परिभाषा का हिस्सा नहीं।
यदि e और f दोनों two-sided identities हों, तो e के identity होने से e★f=f, और f के identity होने से e★f=e। इसलिए e=f: identity unique है। Group में किसी तत्व का inverse भी unique है। a के inverses b,c हों तो associativity से b=b★e=b★(a★c)=(b★a)★c=e★c=c।
3. हल किए उदाहरण: set या operation बदलें
N₀={0,1,2,…} लें। Addition पर यह closed और associative है और identity 0 है। यह commutative monoid है, group नहीं: 1 का additive inverse −1 चाहिए, जो N₀ के बाहर है। केवल 0 का inverse होने से काम नहीं चलेगा; हर तत्व का inverse चाहिए।
धनात्मक पूर्णांकों {1,2,3,…} पर addition semigroup है, monoid नहीं: additive identity 0 मौजूद नहीं। परिचित होने के कारण 0 को किसी बड़े set से यहाँ न ले आएँ।
सभी पूर्णांकों Z पर addition abelian group है। Identity 0 और a का inverse −a है। पूर्णांकों पर multiplication identity 1 वाला commutative monoid है, group नहीं: 2 का कोई integer multiplicative inverse नहीं। 1/2 rational number है, दिए integer carrier का तत्व नहीं।
यहाँ inverse का अर्थ operation ★ के सापेक्ष कोई तत्व है। यह functions वाले पाठ का inverse function f⁻¹ नहीं। इसका notation operation पर निर्भर है: additive group में inverse सामान्यतः −a और multiplicative group में a⁻¹ लिखते हैं।
4. Modular addition से finite group
Z₆={0,1,2,3,4,5} पर addition modulo 6 का अर्थ है सामान्य जोड़ करके इसी set में remainder रखें। जैसे 4+5≡3 modulo 6। Closure है क्योंकि परिणाम Z₆ का residue है। सामान्य addition और reduction से associativity बनी रहती है। Identity 0 है और addition commutative है।
Additive inverse के लिए a+b≡0 modulo 6 हल करें:
| a | Z₆ में additive inverse |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 5 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
| 5 | 1 |
हर तत्व का inverse है, इसलिए (Z₆,+ modulo 6) abelian group है। तत्व अपना inverse स्वयं हो सकता है, जैसे 3: 3+3≡0। Inverse का अलग तत्व होना जरूरी नहीं।
Group में element का order वह न्यूनतम धनात्मक संख्या है जितनी बार operation दोहराने पर identity मिले, यदि ऐसी संख्या मौजूद हो। Additive notation में तत्व को बार-बार जोड़ते हैं। Modulo 6 में 2 के multiples हैं 2,4,0; इसलिए उसका order 3 है। Identity 0 का order 1 है, 0 नहीं, क्योंकि परिभाषा धनात्मक repetitions माँगती है।
1 के multiples सभी छह residues तक पहुँचते हैं, इसलिए 1 इस group को generate करता है। जिस तत्व की powers या additive multiples पूरा group दें उसे generator कहते हैं; generator वाला group cyclic है। 2, Z₆ को generate नहीं करता, क्योंकि केवल {0,2,4} तक पहुँचता है। किसी तत्व का order उसके numeric label या पूरे group के आकार से न मिलाएँ।
5. Modular multiplication से उत्तर बदलता है
अब उसी carrier Z₆ पर multiplication modulo 6 लें। यह closed और associative है तथा identity 1 है। लेकिन 0 का inverse नहीं, क्योंकि हर b के लिए 0·b≡0। 2 का भी inverse नहीं: modulo 6 में उसके products केवल 0,2,4 हैं, 1 कभी नहीं। इसलिए यह monoid है, group नहीं।
इसके बजाय U={1,5} लें और operation multiplication modulo 6 ही रखें:
| ★ | 1 | 5 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
Table में closure, identity 1 और हर तत्व का inverse दिखता है: 1 और 5, दोनों अपने inverse स्वयं हैं। Multiplication modulo 6 से associativity मिलती है, इसलिए यह restricted structure abelian group है। Carrier बदलने से classification बदला; केवल operation का नाम बदलना पर्याप्त नहीं था।
किसी नई arbitrary operation table के symmetric दिखने से associativity न मानें। Diagonal के आर-पार symmetry, commutativity जाँचती है। Associativity triples की शर्त है; n तत्व वाले carrier पर सीधे पूरी जाँच में n³ triples हैं। Operation पहले से ज्ञात हो तो सही algebraic तर्क enumeration की जगह ले सकता है।
6. ऐसा monoid जो commutative नहीं
S में {a,b} से बनी सभी finite strings लें, empty string ε सहित। Operation concatenation है: एक string के बाद दूसरी जोड़ें। दो allowed strings को जोड़ने पर परिणाम S में ही रहता है। यह associative है: (uv)w और u(vw) में symbols का वही क्रम बनता है। Empty string identity है, क्योंकि εu=uε=u।
यह monoid commutative नहीं: a★b=ab, जबकि b★a=ba। यह group भी नहीं: a के साथ कोई finite string जोड़कर ε नहीं मिल सकता, क्योंकि परिणाम की लंबाई कम-से-कम 1 होगी। केवल empty string का inverse है। यह उदाहरण केवल संख्या-operations पर निर्भर हुए बिना associativity, commutativity और invertibility का अंतर दिखाता है।
Classification की जाँच-सूची
- Carrier और operation लिखें; modulo का नियम भी दें।
- हर pair पर operation परिभाषित हो और परिणाम carrier के भीतर रहे।
- Associativity सिद्ध करें या कोई असफल triple दें।
- Carrier के भीतर मौजूद two-sided identity खोजें।
- Group के दावे के लिए हर तत्व का two-sided inverse carrier में खोजें।
- Commutativity अलग जाँचें; केवल “group” शब्द से न मानें।
गुण गलत सिद्ध करते समय स्पष्ट witness दें: बाहर जाने वाला परिणाम, असफल triple, गायब identity या inverse-विहीन तत्व। गुण सही सिद्ध करते समय एक अनुकूल उदाहरण पर्याप्त नहीं; छोटी table की पूरी जाँच या सामान्य तर्क चाहिए।
मौलिक अभ्यास: छह single-correct MCQ
ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। हर प्रश्न में ठीक एक विकल्प चुनें। दिए domains और operations महत्वपूर्ण हैं।
C01. N₀={0,1,2,…} के लिए (N₀,+) का सही classification क्या है?
A. Commutative monoid, group नहीं B. Abelian group C. Identity-विहीन semigroup D. Addition पर closed नहीं
उत्तर: A
A: Addition closed और associative है, identity 0 है, लेकिन N₀ में 1 का additive inverse नहीं।
B: 1 का आवश्यक inverse −1 carrier के बाहर है, इसलिए group नहीं।
C: 0, N₀ में है और two-sided identity है।
D: दो गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का योग गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है; closure सही है।
C02. Addition modulo 6 वाले Z₆ में 2 का additive inverse क्या है?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1/2
उत्तर: C
A: 2+2≡4 है, additive identity 0 नहीं।
B: 2+3≡5 है, 0 नहीं।
C: Modulo 6 में 2+4≡0 और उलटे क्रम में भी वही है।
D: यह rationals का multiplicative inverse सुझाता है; न Z₆ का residue है, न additive inverse।
C03. Additive group Z₆ में element 2 का order क्या है?
A. 2 B. 3 C. 6 D. 0
उत्तर: B
A: Numeric label 2 उसका order नहीं; दो बार जोड़ने पर 4, न कि 0।
B: Positive multiples modulo 6 में 2,4,0 हैं; तीसरी repetition पर पहली बार identity मिलती है।
C: छह group का आकार है; तत्व केवल तीन repetitions में identity पर लौटता है।
D: Order धनात्मक repetition count से परिभाषित है, इसलिए 0 उत्तर नहीं।
C04. Multiplication modulo 6 वाला Z₆ group क्यों नहीं है?
A. Operation closed नहीं। B. Identity 1 मौजूद नहीं। C. Multiplication modulo 6 associative नहीं। D. Element 0 का multiplicative inverse नहीं।
उत्तर: D
A: Modulo 6 reduction से हर product Z₆ में रहता है; closure है।
B: 1, Z₆ में है और identity है।
C: Integer multiplication से modular operation को associativity मिलती है।
D: हर b के लिए 0·b≡0, identity 1 नहीं; एक inverse की कमी भी group की शर्त तोड़ती है।
C05. {a,b} की सभी finite strings, ε सहित, पर concatenation operation है। कौन-सा वर्णन सही है?
A. Identity ε वाला abelian group B. Identity-विहीन semigroup C. Identity ε वाला noncommutative monoid, group नहीं D. ab≠ba होने से semigroup नहीं
उत्तर: C
A: Nonempty strings के inverses नहीं और concatenation commutative नहीं।
B: Empty string two-sided identity है, इसलिए structure monoid है।
C: Concatenation associative, ε identity; ab≠ba से noncommutativity और a का inverse नहीं।
D: ab≠ba commutativity गलत करता है, associativity नहीं; semigroup का commutative होना जरूरी नहीं।
C06. पूर्णांकों पर a★b=a−b परिभाषित है। Semigroup न होने का सही कारण क्या है?
A. Closure टूटती है क्योंकि 3−2 पूर्णांक नहीं। B. Associativity टूटती है: (3−2)−1=0, लेकिन 3−(2−1)=2। C. हर integer का negative है, इसलिए group है। D. हर semigroup का commutative होना जरूरी है।
उत्तर: B
A: 3−2=1 पूर्णांक है; subtraction पूर्णांकों पर closed है।
B: दो groupings के एक असमान परिणाम से आवश्यक associativity गलत सिद्ध होती है।
C: Negative होना addition से जुड़ा है; subtraction की nonassociativity ठीक नहीं करता।
D: Semigroups को associativity चाहिए, commutativity नहीं।
स्रोत और दायरा
यह मौलिक आधारभूत पाठ आधिकारिक GATE 2027 CS syllabus के Section 1 में Discrete Mathematics से जुड़ा है। यह पूरा विषय या पूरा syllabus नहीं। Syllabus प्रासंगिकता बताता है; NPTEL course आगे पढ़ने का मूल संस्थागत स्रोत है। उदाहरण और अभ्यास मौलिक हैं, परीक्षा से नकल किए प्रश्न नहीं।
स्रोत जाँचे गए: 2026-10-14।
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