प्रायिकता: प्रतिदर्श समष्टि, घटनाएँ और गणना

उद्देश्य, पूर्वज्ञान और सीमा

सूत्र लगाने से पहले प्रायिकता मॉडल बनाएँ; “और”, “या”, “नहीं” तथा “कम-से-कम” को घटनाओं में बदलें; पूरक और inclusion–exclusion का प्रयोग करें; तथा क्रम वाले और बिना क्रम वाले नमूनों को मिलाए बिना समसंभाव्य परिणाम गिनें। पूर्वज्ञान: समुच्चय, भिन्न, क्रमचय और संचय। यह GATE 2026 CS के conditional probability, Bayes theorem और random variables की आधारशिला है, पूरा probability course नहीं। स्वतंत्रता की औपचारिक चर्चा अगले पाठ में होगी।

1. परिणाम अपने-आप समसंभाव्य नहीं होते

यादृच्छिक प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि Ω में चुने मॉडल के सभी संभव परिणाम होते हैं। घटना A, Ω का उपसमुच्चय है। एक पासे के लिए Ω={1,2,3,4,5,6}; “सम संख्या” की घटना {2,4,6} है। सीमित मॉडल में हर परिणाम को अऋणात्मक भार मिलता है और सभी भारों का योग एक होता है। किसी घटना की प्रायिकता उसके परिणामों के भारों का योग है।

निष्पक्ष पासे में प्रत्येक परिणाम का भार 1/6 है। पक्षपाती पासे में छह परिणाम लिख देने से उनके भार बराबर नहीं हो जाते। P(A)=|A|/|Ω| केवल सीमित और समसंभाव्य मूल परिणामों के लिए लागू है। प्रतिदर्श समष्टि सही हो सकती है, फिर भी उस पर समान प्रायिकता मानना गलत हो सकता है।

निष्पक्ष सिक्के के दो स्वतंत्र उछालों के चार समसंभाव्य क्रमबद्ध परिणाम HH, HT, TH, TT हैं। केवल चित की संख्या लिखें तो मान 0,1,2 हैं, पर प्रायिकताएँ 1/4,1/2,1/4 हैं। तीनों मान समसंभाव्य नहीं हैं। “ठीक एक चित” के पीछे दो मूल परिणाम हैं, “दो चित” के पीछे एक। परिणामों के समूह बनाने पर उनके भार बदलते हैं। यहाँ H=चित और T=पट है।

2. समुच्चयों से प्रायिकता के नियम

P(Ω)=1, P(∅)=0 और 0≤P(A)≤1। पूरक Aᶜ में A के बाहर के परिणाम होते हैं, इसलिए P(Aᶜ)=1−P(A)। A⊆B होने पर P(A)≤P(B)। ऋणात्मक या एक से अधिक प्रायिकता गणना की गलती अथवा असंगत डेटा बताती है।

A∩B का अर्थ दोनों घटनाएँ होना है। A∪B का अर्थ कम-से-कम एक घटना होना है; इसमें दोनों भी शामिल हैं। गणित में “या” समावेशी होता है, जब तक “लेकिन दोनों नहीं” न कहा जाए।

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)।

प्रतिच्छेद दो बार गिना गया था, इसलिए एक बार घटाते हैं। परस्पर अपवर्जी (disjoint) घटनाओं का प्रतिच्छेद खाली है, तब प्रायिकताएँ सीधे जुड़ती हैं। अपवर्जन और स्वतंत्रता अलग बातें हैं: एक ही पासे पर दो अलग अंक साथ नहीं आ सकते; एक का होना दूसरे की जानकारी देता है।

उदाहरण: निष्पक्ष पासे पर A={2,4,6}, B={4,5,6}। P(A)=P(B)=1/2 और P(A∩B)=2/6=1/3। इसलिए P(A∪B)=1−1/3=2/3। संघ {2,4,5,6} है। साझा परिणाम घटाए बिना 1/2+1/2 जोड़ना गलत होगा।

“दोनों में ठीक एक” की घटना (A\B)∪(B\A) है और उसकी प्रायिकता P(A)+P(B)−2P(A∩B) है। “कोई भी नहीं” का अर्थ (A∪B)ᶜ, जबकि “दोनों नहीं” का अर्थ (A∩B)ᶜ है। इन्हें एक न समझें।

3. दोहराए प्रयोगों में क्रमबद्ध मॉडल

दो स्वतंत्र निष्पक्ष पासे रंग से पहचाने जा सकते हैं। उनके लिए ordered pairs (i,j) लें। सभी 36 जोड़ों की प्रायिकता 1/36 है। योग सात वाले छह परिणाम हैं: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)। अतः P(योग=7)=6/36=1/6। संभव योग 2,…,12 बराबर संभावित नहीं हैं; 1/11 गलत है।

बिना क्रम के जोड़े लेने पर {1,2} के पीछे दो क्रम हैं, जबकि {1,1} के पीछे एक। ऐसे जोड़े समसंभाव्य नहीं हैं। सुरक्षित तरीका है पूरी गणना क्रमबद्ध मॉडल में करना। समूहों से भाग तभी दें जब हर समूह का आकार बराबर सिद्ध हो।

तीन स्वतंत्र निष्पक्ष उछालों के 2³=8 समसंभाव्य strings हैं। “कम-से-कम एक चित” का पूरक TTT है, इसलिए प्रायिकता 1−1/8=7/8। “ठीक एक चित” के HTT,THT,TTH परिणाम हैं, इसलिए 3/8। “कम-से-कम” को “ठीक” से नहीं बदल सकते।

4. बिना वापस रखे चयन

डिब्बे में पाँच पहचान योग्य लाल और तीन पहचान योग्य नीली गेंदें हैं। दो गेंदें बिना वापस रखे इस तरह चुनें कि हर दो-गेंद उपसमुच्चय समसंभाव्य हो। कुल C(8,2)=28 चयन हैं। ठीक एक लाल और एक नीली के C(5,1)C(3,1)=15 चयन हैं। प्रायिकता 15/28 है। अंश और हर दोनों बिना क्रम वाले चयन गिनते हैं।

क्रमबद्ध चयन से जाँचें: कुल 8×7=56 जोड़े हैं। पहले लाल फिर नीली के 5×3=15 जोड़े, और पहले नीली फिर लाल के 3×5=15 जोड़े। अतः 30/56=15/28। 15/56 केवल एक क्रम गिनता है, दोनों नहीं। 15/64 में गलत ढंग से वापस रखकर चयन वाला हर लिया गया है।

कम-से-कम एक लाल की प्रायिकता पूरक से 1−C(3,2)/C(8,2)=25/28 है। एक चयन में लाल की प्रायिकता 5/8 है; दो-चयन घटना के लिए अलग गणना चाहिए। बिना वापस रखे चयन में डिब्बे की संरचना बदलती है।

5. तीन घटनाएँ और संगति की जाँच

तीन घटनाओं में व्यक्तिगत प्रायिकताएँ जोड़ें, तीनों जोड़ी प्रतिच्छेद घटाएँ और तिहरा प्रतिच्छेद जोड़ें:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)।

“केवल ये दो” न कहा हो तो जोड़ी प्रतिच्छेद में तिहरा प्रतिच्छेद भी शामिल है। उदाहरण: व्यक्तिगत प्रायिकताएँ .4,.3,.2; जोड़ी प्रतिच्छेद .1,.05,.04; तिहरा .02। संघ .73 और तीनों में कोई भी न होने की प्रायिकता .27 है। ठीक दो घटनाओं की प्रायिकता .1+.05+.04−3(.02)=.13 है। हर जोड़ी में तिहरा भाग था, इसलिए तीन बार घटाना पड़ा।

दो घटनाओं के लिए max(0,P(A)+P(B)−1)≤P(A∩B)≤min(P(A),P(B))। ऊपरी सीमा समावेशन से मिलती है; निचली सीमा संघ को एक से अधिक होने से रोकती है। P(A)=.8, P(B)=.7 हो तो प्रतिच्छेद .2 संभव नहीं, क्योंकि संघ 1.3 होगा। असंगत डेटा पर आँख बंद करके गणना न करें।

हल करने की सूची और सामान्य गलतियाँ

पहले एक मूल परिणाम बताएँ और उसकी प्रायिकता तय करें। लक्ष्य को समुच्चयों में लिखें। गिनती का अनुपात केवल समसंभाव्य परिणामों पर लें। अंश-हर में वापस रखने, क्रम और वस्तुओं की पहचान के नियम एक जैसे रखें। “कम-से-कम एक” के लिए सरल पूरक खोजें। संघ में साझा भाग घटाएँ। उत्तर [0,1] में होना चाहिए और समावेशन की सीमाएँ माननी चाहिए। गिनती पूर्णांक होती है, प्रायिकता जरूरी नहीं। सीमित मॉडल के सभी मूल परिणामों के धनात्मक भार हों तो शून्य प्रायिकता असंभव घटना बताती है; सतत मॉडल में यह समानता हमेशा सही नहीं होती।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

PF01. दो स्वतंत्र निष्पक्ष सिक्के उछाले गए। ठीक एक चित की प्रायिकता क्या है?

A. 1/3 B. 1/2 C. 1/4 D. 3/4

उत्तर: B

A: चित की संख्याएँ 0,1,2 समसंभाव्य नहीं हैं।

B: चार समसंभाव्य परिणामों में HT और TH दो हैं।

C: इसमें HT और TH में से केवल एक गिना है।

D: यह कम-से-कम एक चित की प्रायिकता है।

PF02. P(A)=0.6, P(B)=0.5 तथा P(A∩B)=0.2 है। P(A∪B) निकालें।

A. 1.1 B. 0.3 C. 0.9 D. 0.7

उत्तर: C

A: साझा भाग दो बार गिना है और उत्तर एक से अधिक है।

B: गुणा संघ का नियम नहीं है।

C: 0.6+0.5−0.2=0.9 लें।

D: यह प्रतिच्छेद दो बार घटाकर ठीक एक घटना गिनता है।

PF03. दो स्वतंत्र निष्पक्ष पासे फेंके गए। P(योग=7) क्या है?

A. 1/11 B. 1/12 C. 7/36 D. 1/6

उत्तर: D

A: ग्यारह संभव योग समसंभाव्य नहीं हैं।

B: तीन बिना क्रम के अलग-अंक जोड़ों के छह क्रमबद्ध परिणाम हैं।

C: सात लक्ष्य योग है, अनुकूल परिणामों की संख्या नहीं।

D: 36 क्रमबद्ध जोड़ों में छह का योग सात है।

PF04. तीन स्वतंत्र निष्पक्ष उछालों में कम-से-कम एक चित की प्रायिकता क्या है?

A. 7/8 B. 3/8 C. 1/8 D. 1/2

उत्तर: A

A: केवल TTT असफल है, इसलिए 1−1/8=7/8।

B: यह ठीक एक चित है।

C: यह कोई चित नहीं, अर्थात लक्ष्य का पूरक है।

D: एक उछाल की प्रायिकता तीन उछालों की घटना का उत्तर नहीं है।

PF05. पाँच लाल और तीन नीली पहचान योग्य गेंदों में से दो समान रूप से बिना वापस रखे चुनीं। प्रत्येक रंग की एक गेंद मिलने की प्रायिकता क्या है?

A. 15/56 B. 15/28 C. 15/64 D. 25/28

उत्तर: B

A: क्रमबद्ध हर में केवल एक रंग-क्रम गिना गया है।

B: C(8,2)=28 में 5×3 अनुकूल चयन हैं।

C: 64 वाला हर वापस रखकर चयन का है; क्रमबद्ध अंश भी संगत चाहिए।

D: यह कम-से-कम एक लाल है, जिसमें दो लाल भी शामिल हैं।

PF06. P(A)=0.8 और P(B)=0.7 है। P(A∩B) का कौन-सा मान असंभव है?

A. 0.5 B. 0.6 C. 0.2 D. 0.7

उत्तर: C

A: इससे संघ एक है और यह संभव है।

B: इससे संघ 0.9 है और यह संभव है।

C: प्रतिच्छेद कम-से-कम 0.8+0.7−1=0.5 होना चाहिए।

D: B के A का उपसमुच्चय होने पर यह संभव है।

स्रोत और सीमा

यह आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics की पूर्वज्ञान-आधारशिला है। Conditional probability, Bayes theorem और random variables अलग पाठों में हैं। यह पूरे विषय या पाठ्यक्रम की पूर्ण कवरेज का दावा नहीं है। स्रोत केवल पाठ्यक्रम-संगति बताता है; उदाहरण मौलिक हैं।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).