यादृच्छिक चर: PMF, PDF और CDF

उद्देश्य और पूर्वज्ञान

परिणामों को संख्यात्मक यादृच्छिक चर में बदलें; प्रायिकता mass और density का अंतर समझें; PMF या PDF की वैधता जाँचें; cumulative distribution function बनाएँ और पढ़ें; तथा endpoints सही रखें। पूर्वज्ञान: घटना प्रायिकता, योग और सामान्य समाकलन। Random variables, GATE 2026 CS Engineering Mathematics में स्पष्ट रूप से हैं। यह नामित distributions की तैयारी है; mixed distributions और multivariate densities इस पाठ की सीमा से बाहर हैं।

1. यादृच्छिक चर एक फलन है

वास्तविक मान वाला यादृच्छिक चर X हर परिणाम ω को संख्या X(ω) देता है। फलन निश्चित है; यादृच्छिकता प्रयोग के परिणाम से आती है। कई परिणाम एक ही संख्या दे सकते हैं। {X=x} उन मूल परिणामों की घटना है जो x पर पहुँचते हैं; उनकी प्रायिकताएँ जुड़ती हैं।

दो स्वतंत्र निष्पक्ष सिक्का उछालों में X=चित की संख्या लें। HH से 2, HT और TH से 1, तथा TT से 0 मिलता है। इसलिए P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4। यहाँ support अर्थात धनात्मक mass वाले मान {0,1,2} हैं। मूल परिणाम समसंभाव्य होने पर भी चर के मान जरूरी नहीं समसंभाव्य हों।

असतत (discrete) चर का support सीमित या गणनीय अनंत होता है। Density वाला सतत (continuous) चर बिंदु के mass के बजाय क्षेत्रफल से वर्णित होता है। Requests की गिनती असतत है; आदर्श प्रतीक्षा-समय अक्सर सतत मॉडल लेता है। वास्तविक माप round किए जा सकते हैं, लेकिन गणना अपनाए गणितीय मॉडल से तय होगी।

2. प्रायिकता द्रव्यमान फलन: PMF

असतत X के लिए p_X(x)=P(X=x)। आवश्यक है p_X(x)≥0 और पूरे support पर Σₓp_X(x)=1। किसी समुच्चय S के लिए P(X∈S)=Σₓ∈S p_X(x)। Support के बाहर mass शून्य है।

उदाहरण: x=1,2,3 पर p_X(x)=kx और अन्यत्र शून्य। सामान्यीकरण से k(1+2+3)=6k=1, इसलिए k=1/6। Mass क्रमशः 1/6,1/3,1/2 हैं। P(X≥2)=1/3+1/2=5/6। k=1/3 लेने पर कुल mass दो हो जाएगा, इसलिए अमान्य है, भले कुछ अलग entries [0,1] में हों। अऋणात्मकता और कुल योग दोनों जरूरी हैं।

इस धनात्मक support पर Y=X² के मान 1,4,9 हैं और उनके mass वही हैं। कई मूल मान एक नए मान पर जाएँ तो mass जोड़ें। X के −1,0,1 पर mass 1/4,1/2,1/4 हों तो X² का zero पर mass 1/2 और one पर mass 1/2 है। नए चर में one को दो अलग मानों की तरह न लिखें।

3. संचयी वितरण फलन हर प्रकार पर लागू है

F_X(t)=P(X≤t)। हर CDF अघटता, दाईं ओर से सतत और [0,1] में होता है। t→−∞ पर सीमा zero तथा t→∞ पर one है। जरूरी नहीं कि हर जगह बढ़ता हो या सतत हो। F यदि [a,b] पर स्थिर है, तो P(a<X≤b)=0; बाएँ endpoint a पर फिर भी mass हो सकता है।

चित-गिनती का F(t): t<0 पर 0; 0≤t<1 पर 1/4; 1≤t<2 पर 3/4; t≥2 पर 1। t=1 पर X=1 शामिल है, इसलिए F(1)=3/4। किसी बिंदु पर छलाँग उसका mass है: P(X=a)=F(a)−F(a−), जहाँ F(a−)=lim_{t↑a}F(t)=P(X<a)।

a<b के लिए P(a<X≤b)=F(b)−F(a)। बायाँ endpoint शामिल हो तो P(a≤X≤b)=F(b)−F(a−)। चित-गिनती में P(1≤X≤2)=1−1/4=3/4, पर P(1<X≤2)=1−3/4=1/4। मान रखने से पहले असमानताएँ लिखना असतत मामले की सामान्य गलती रोकता है।

4. Density बिंदु की प्रायिकता नहीं है

पूर्णतः सतत चर X के PDF f_X(x) से P(a≤X≤b)=∫ₐᵇ f_X(x)dx मिलता है। वैध PDF अऋणात्मक है और पूरी वास्तविक रेखा पर उसका समाकलन एक है। CDF है F_X(t)=∫_{−∞}ᵗ f_X(x)dx। जहाँ अवकलज संबंध लागू हो, f_X(t)=F'_X(t)।

PDF की ऊँचाई एक से अधिक हो सकती है। [0,1/2] पर f(x)=2 और अन्यत्र zero वैध है, क्योंकि क्षेत्रफल 2×1/2=1। ऊँचाई दो प्रायिकता नहीं है। Density वाले चर में हर बिंदु a पर P(X=a)=0, भले f(a)>0 हो। प्रायिकता अंतराल के क्षेत्रफल से मिलती है। इसलिए उसके अंतरालों में endpoints खुले या बंद होने से प्रायिकता नहीं बदलती।

सतत मॉडल में शून्य प्रायिकता वाला बिंदु फिर भी स्वीकार्य मान है। हर singleton की प्रायिकता zero होने से यह निष्कर्ष न निकालें कि X कोई मान ले ही नहीं सकता। गणनीय योग का नियम अगणनीय रूप से अनेक singleton प्रायिकताएँ जोड़कर पूरे अंतराल की प्रायिकता निकालने की अनुमति नहीं देता।

5. हल किया सतत मॉडल

0≤x≤2 पर f(x)=cx, अन्यत्र zero लें। अऋणात्मकता से c≥0; सामान्यीकरण से ∫₀²cx dx=2c=1, इसलिए c=1/2। CDF: t<0 पर 0, 0≤t≤2 पर t²/4, t>2 पर 1। दोनों endpoints पर यह सतत जुड़ता है।

P(1<X≤2)=F(2)−F(1)=1−1/4=3/4। P(X=1)=0, जबकि f(1)=1/2। Median m के लिए F(m)=1/2 हल करें: m²/4=1/2 से support में m=√2। ऋणात्मक मूल support के बाहर है, median नहीं। Median की और चर्चा अगले पाठ में है।

6. सही निरूपण चुनें

PMF को जोड़ें, PDF का समाकलन करें, CDF का अंतर लें और endpoints देखें। CDF असतत, सतत या mixed law का हो सकता है; केवल उसका अवकलज सभी mass नहीं पकड़ता, क्योंकि छलाँग point mass बताती है। Mixed laws यहाँ विकसित नहीं किए गए, लेकिन यही कारण है कि step CDF का छलाँगों के बीच शून्य अवकलज होने से कुल प्रायिकता शून्य नहीं हो जाती।

जाँच-सूची: पहले support पहचानें; सही योग या समाकलन से सामान्यीकरण करें; ऋणात्मक mass या density अस्वीकार करें; लक्ष्य की असमानताएँ लिखें; फिर योग, क्षेत्रफल या CDF अंतर लें; उत्तर [0,1] में जाँचें। CDF निकालते समय support के बाहर के सभी भाग लिखें और दाईं सततता तथा दोनों सीमाएँ जाँचें। ये जाँचें सही दिखने वाले लेकिन अधूरे सूत्र पकड़ती हैं।

मौलिक अभ्यास: छह एक-सही-विकल्प प्रश्न

ये मौलिक प्रश्न हैं, पिछले वर्षों के प्रश्न नहीं। ठीक एक विकल्प चुनें।

RV01. x=1,2,3 पर p(x)=kx और अन्यत्र zero एक PMF है। k क्या है?

A. 1/3 B. 1/6 C. 1/2 D. 1

उत्तर: B

A: इससे कुल mass दो होगा।

B: कुल mass k(1+2+3)=6k=1 है।

C: इससे कुल mass तीन होगा।

D: मानों का योग एक होना चाहिए; वे केवल labels नहीं हैं।

RV02. दो स्वतंत्र निष्पक्ष उछालों में X चित की संख्या है। F_X(1) क्या है?

A. 1/4 B. 1/2 C. 3/4 D. 1

उत्तर: C

A: यह P(X<1) है; one का mass छूटता है।

B: यह P(X=1) है, संचयी प्रायिकता नहीं।

C: X=0 और X=1 शामिल करें: 1/4+1/2=3/4।

D: X=2 की प्रायिकता 1/4 है और वह शामिल नहीं है।

RV03. किसी CDF F और a<b के लिए P(a<X≤b) क्या है?

A. F(b)−F(a) B. F(b)−F(a−) C. F(b)+F(a) D. F(a)−F(b)

उत्तर: A

A: P(X≤b) में से P(X≤a) घटाएँ।

B: इसमें a का mass शामिल है; यह P(a≤X≤b) है।

C: संचयी घटनाएँ साझा हैं; जोड़ने से अंतराल नहीं मिलता।

D: CDF अघटता है, इसलिए यह अधनात्मक होगा।

RV04. [0,1/2] पर f(x)=2 और अन्यत्र zero है। क्या सही है?

A. 2>1 होने से अमान्य है B. P(X=1/4)=2 C. यह वैध PDF है और P(X=1/4)=0 D. इसकी कुल प्रायिकता 2 है

उत्तर: C

A: PDF ऊँचाई एक से अधिक हो सकती है; कुल क्षेत्रफल एक चाहिए।

B: Density की ऊँचाई बिंदु प्रायिकता नहीं।

C: क्षेत्रफल 2×1/2=1 और singleton प्रायिकता zero है।

D: कुल क्षेत्रफल एक है, ऊँचाई दो नहीं।

RV05. 0≤x≤2 पर f(x)=x/2 और अन्यत्र zero है। P(1<X≤2) क्या है?

A. 1/4 B. 1/2 C. 1 D. 3/4

उत्तर: D

A: यह zero से one तक का क्षेत्रफल है।

B: यह one पर density है, अंतराल का क्षेत्रफल नहीं।

C: यह पूरे support का क्षेत्रफल है।

D: one से two तक x/2 का समाकलन: [x²/4]₁²=3/4।

RV06. X का −1,0,1 पर mass 1/4,1/2,1/4 है। Y=X² हो तो P(Y=1) क्या है?

A. 1/4 B. 1/2 C. 1 D. 0

उत्तर: B

A: इसमें X=−1 और X=1 में से केवल एक गिना है।

B: −1 और 1 दोनों one देते हैं; 1/4+1/4 जोड़ें।

C: X=0 का mass Y=0 पर जाता है और शामिल नहीं।

D: ±1 दोनों धनात्मक प्रायिकता से Y=1 देते हैं।

स्रोत और सीमा

आधिकारिक GATE 2026 CS के Section 1 Probability and Statistics में random variables स्पष्ट रूप से हैं। PMF, PDF और CDF इस विषय को सिखाने के निरूपण हैं। उदाहरण और प्रश्न मौलिक हैं; नामित distributions तथा summary measures अलग पाठों में आगे हैं।

Official GATE 2026 CS syllabus (verified 2026-10-14).