त्रिविमीय क्षेत्रमिति: आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

आयतन बनाम पृष्ठीय क्षेत्रफल

• आयतन: ठोस के अंदर का स्थान (इकाई: सेमी³, मी³; 1 मी³ = 1000 लीटर)।
• पृष्ठीय क्षेत्रफल: सभी बाहरी सतहों का कुल क्षेत्रफल (इकाई: सेमी², मी²)।

मुख्य सूत्र

ठोस	आयतन	संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
घन (a)	a³	6a²
घनाभ (l, b, h)	l × b × h	2(lb + bh + hl)
बेलन (r, h)	πr²h	2πr(r + h)
शंकु (r, h, तिर्यक ऊँचाई l)	⅓πr²h	πr(r + l)
गोला (r)	(4/3)πr³	4πr²

• बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh; शंकु का = πrl, जहाँ l = √(r² + h²)।

उदाहरण

• 4 सेमी भुजा वाला घन: संपूर्ण पृष्ठ = 6 × 16 = 96 सेमी²।
• बेलन r = 7 सेमी, h = 10 सेमी: आयतन = 22/7 × 49 × 10 = 1540 सेमी³।
• 3 सेमी त्रिज्या वाला गोला: आयतन = 4/3 × π × 27 = 36π सेमी³।

परीक्षा टिप्स (RRB NTPC)

1. समान आधार और ऊँचाई वाले शंकु का आयतन बेलन का एक-तिहाई होता है।
2. घन की हर भुजा दोगुनी करें तो आयतन 8 गुना हो जाता है।

उदाहरण से समझें

आयतन यह है कि डिब्बे में कितना पानी समा सकता है; पृष्ठीय क्षेत्रफल यह कि उसे लपेटने में कितना काग़ज़ लगेगा। गिफ़्ट शॉप काग़ज़ का दाम डिब्बे की बाहरी सतह से लेती है, जबकि पानी की टंकी का मूल्य अंदर समाने वाली मात्रा से होता है। डिब्बा एक, प्रश्न दो।