त्रिभुज से त्रिकोणमिति: sin, cos और tan
सीढ़ी, दीवार और एक कोण
समतल जमीन पर रखी एक सीढ़ी खड़ी दीवार से टिकी है। दीवार, जमीन और सीढ़ी मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। त्रिकोणमिति इस त्रिभुज के न्यून कोण को उसकी भुजाओं के अनुपात से जोड़ती है।
इस पाठ में आप भुजाएँ पहचानेंगे, sin, cos या tan चुनेंगे और अज्ञात लंबाई निकालेंगे। आपको भिन्न और पाइथागोरस प्रमेय आना चाहिए। यहाँ सभी कोण डिग्री में हैं और चुना हुआ कोण न्यून कोण है: 0° < θ < 90°।
1. भुजाओं के नाम रखने से पहले कोण चुनें
त्रिभुज ABC में कोण C = 90° है। पहले B पर बने कोण θ को चुनते हैं।
- कर्ण (H): AB, जो 90° के सामने है। यह सबसे लंबी भुजा है।
- सामने की भुजा (O): AC, जो θ के ठीक सामने है। यह θ को नहीं छूती।
- सटी हुई भुजा (A): BC, जो θ को छूती है, लेकिन कर्ण नहीं है।
यहाँ O, A और H भुजाओं की लंबाई के छोटे संकेत हैं। सटी हुई भुजा के लिए इस्तेमाल किया गया संकेत A, चित्र के शीर्ष A से अलग है।
“सामने” और “सटी हुई” भुजा आपके चुने हुए कोण पर निर्भर करती हैं। कर्ण नहीं बदलता।
θ के लिए सामने की भुजा = 3, सटी हुई भुजा = 4। α के लिए सामने की भुजा = 4, सटी हुई भुजा = 3। पहले कोण पहचानें, फिर उसकी सामने की भुजा चुनें।
2. तीन अनुपात, तीन नई लंबाइयाँ नहीं
चुने हुए न्यून कोण के लिए:
- sin θ = सामने की भुजा / कर्ण = O/H
- cos θ = सटी हुई भुजा / कर्ण = A/H
- tan θ = सामने की भुजा / सटी हुई भुजा = O/A
याद रखने का संकेत है SOH–CAH–TOA: Sine = Opposite/Hypotenuse; Cosine = Adjacent/Hypotenuse; Tangent = Opposite/Adjacent।
3–4–5 त्रिभुज में θ के लिए: sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4। α के लिए: sin α = 4/5, cos α = 3/5, tan α = 4/3।
दोनों लंबाइयाँ एक ही इकाई में हों तो अनुपात की कोई लंबाई-इकाई नहीं होती। भाग देने से पहले इकाइयाँ समान करें। न्यून कोण के लिए sine और cosine का मान 0 और 1 के बीच होता है, लेकिन tangent का मान 1 से अधिक हो सकता है।
3. त्रिभुज का आकार बड़ा होने से अनुपात क्यों नहीं बदलता?
3–4–5 त्रिभुज को बड़ा करके समरूप 6–8–10 त्रिभुज बनाइए। संगत कोण समान रहेंगे और sin θ = 6/10 = 3/5 ही होगा। इसी तरह cos θ = 8/10 = 4/5 और tan θ = 6/8 = 3/4।
एक समान न्यून कोण + एक समकोण ⇒ समरूप त्रिभुज ⇒ भुजाओं के समान अनुपात। अनुपात कोण से जुड़ा है, चित्र के छोटे या बड़े होने से नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण 1: सीढ़ी कितनी ऊँचाई तक पहुँचेगी?
10 m लंबी सीढ़ी समतल जमीन पर खड़ी दीवार से टिकी है। सीढ़ी और जमीन के बीच बने न्यून कोण θ के लिए sin θ = 3/5 है। सीढ़ी का ऊपरी सिरा जमीन से कितनी ऊँचाई पर है?
हल खोलने से पहले सही अनुपात चुनने की कोशिश करें।
- सीढ़ी कर्ण है: H = 10 m।
- दीवार पर ऊँचाई, θ के सामने की भुजा है। इसे h मानें।
- sin θ = सामने की भुजा/कर्ण लगाएँ: 3/5 = h/10।
- दोनों ओर 10 से गुणा करें: h = 10 × 3/5 = 6 m।
- जाँच: 6 m की ऊँचाई, 10 m की सीढ़ी से छोटी है। जमीन पर दूरी = √(10² − 6²) = √64 = 8 m। इससे 6–8–10 समकोण त्रिभुज मिलता है।
उत्तर: 6 m। cos θ लगाने पर जमीन की दूरी और सीढ़ी का संबंध मिलेगा, ऊँचाई का नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण 2: cosine से tangent निकालें
समकोण त्रिभुज के न्यून कोण θ के लिए cos θ = 12/13 है। tan θ निकालें।
- Cosine सटी हुई भुजा और कर्ण का अनुपात है: A/H = 12/13।
- लंबाइयाँ A = 12k और H = 13k मानें, जहाँ k > 0। जरूरी नहीं कि वे सचमुच 12 और 13 मीटर हों।
- पाइथागोरस से O² = H² − A² = (13k)² − (12k)² = 25k²।
- लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए O = 5k।
- अतः tan θ = O/A = 5k/(12k) = 5/12।
उत्तर: 5/12। 12/13, cosine का मान है, tangent का नहीं। तीसरी भुजा निकालने के लिए वर्गों का अंतर लें; केवल 13 − 12 न करें।
15 सेकंड की जाँच-सूची
- समकोण और चुने हुए न्यून कोण को चिह्नित करें।
- पहले कर्ण, फिर सामने और सटी हुई भुजा पहचानें।
- ज्ञात और अज्ञात लंबाइयों वाला अनुपात चुनें।
- मान रखकर हल करें, फिर इकाई और उत्तर का आकार जाँचें।
सावधानी: sin θ का मतलब “sin × θ” नहीं है। sin, sine फलन का नाम है; sin θ उस फलन का θ पर मान है। त्रिभुज को घुमा देने से अनुपात नहीं बदलते। यहाँ “सटी हुई भुजा” में कर्ण शामिल नहीं है।
आठ मौलिक अभ्यास प्रश्न
हर प्रश्न में समकोण त्रिभुज और चुना हुआ न्यून कोण है। कैलकुलेटर की जरूरत नहीं है।
- त्रिभुज ABC में C पर समकोण है। B पर बने कोण के सामने कौन-सी भुजा है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
AC, B के सामने है। AB कर्ण है और BC सटी हुई भुजा है।
संकेत: वह भुजा चुनें जो B को नहीं छूती।
- θ के लिए सामने की भुजा 5 cm और कर्ण 13 cm है। sin θ क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: D
sin θ = सामने की भुजा/कर्ण = 5/13। सटी हुई भुजा की जरूरत नहीं है।
संकेत: SOH याद करें।
- θ के लिए सटी हुई भुजा 8 m और कर्ण 10 m है। cos θ क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
cos θ = सटी हुई भुजा/कर्ण = 8/10 = 4/5।
संकेत: CAH लगाकर भिन्न को सरल करें।
- θ के लिए सामने की भुजा 12 cm और सटी हुई भुजा 5 cm है। tan θ क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
tan θ = सामने की भुजा/सटी हुई भुजा = 12/5। Tangent का मान 1 से अधिक हो सकता है।
संकेत: हर में सटी हुई भुजा आएगी, कर्ण नहीं।
- समकोण त्रिभुज का कर्ण 15 cm है और sin θ = 3/5 है। सामने की भुजा निकालें।
उत्तर देखें
सही उत्तर: A
सामने की भुजा = कर्ण × sin θ = 15 × 3/5 = 9 cm।
संकेत: सामने की भुजा/15 = 3/5 लिखें।
- न्यून कोण θ के लिए cos θ = 8/17 है। tan θ निकालें।
उत्तर देखें
सही उत्तर: D
सटी हुई भुजा = 8k और कर्ण = 17k मानें, जहाँ k > 0। सामने की भुजा = √(289k² − 64k²) = 15k। इसलिए tan θ = 15k/(8k) = 15/8।
संकेत: अनुपात निकालने से पहले पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें।
- त्रिभुज ABC में C पर समकोण है। AC = 3, BC = 4 और AB = 5 हैं। चुना हुआ कोण B से बदलकर A कर दें, तो नए कोण का sine क्या होगा?
उत्तर देखें
सही उत्तर: B
कोण A के लिए सामने की भुजा BC = 4 और कर्ण AB = 5 है। इसलिए sin A = 4/5।
संकेत: कोण बदलने के बाद सामने और सटी हुई भुजाएँ दोबारा पहचानें।
- θ के लिए सामने की भुजा 60 cm और सटी हुई भुजा 0.8 m है। tan θ क्या है?
उत्तर देखें
सही उत्तर: C
पहले 0.8 m = 80 cm करें। फिर tan θ = 60/80 = 3/4। इकाई बदले बिना 60 को 0.8 से भाग देना गलत होगा।
संकेत: दोनों लंबाइयों की इकाई समान करें।
एक बात याद रखें
कोण चुनें → भुजाएँ पहचानें → अनुपात चुनें। सूत्रों की लंबी सूची याद करने से ज्यादा जरूरी यह क्रम है।
प्रगति सहेजने के लिए साइन इन करें। साइन इन