भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ

सीखने का लक्ष्य

भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग करना, कुशलता से सरल करना तथा हर और भाजक की वैधता बनाए रखते हुए कोष्ठक वाले व्यंजक हल करना।

भिन्नों की संक्रियाएँ समझें

जोड़ और घटाव के लिए हिस्सों का आकार समान होना चाहिए। पहले समान धनात्मक हर बनाएँ; फिर हर वही रखते हुए चिह्न सहित अंशों को जोड़ें या घटाएँ। हर जोड़ने से दी गई मात्राएँ नहीं जुड़ेंगी, बल्कि हिस्सों का आकार बदल जाएगा।

गुणा में अंशों का आपस में और हरों का आपस में गुणा करें। धनात्मक भिन्नों में किसी हिस्से का एक हिस्सा लेने से मूल इकाई का और विभाजन होता है; यही हरों के गुणनफल का कारण है। अंश ऋणात्मक होने पर पूर्णांकों वाले चिह्न-नियम लागू रहते हैं।

गुणा से पहले पूरे गुणनफल के अंश और हर के साझा गुणनखंड काट सकते हैं। इससे गणना घटती है और अनावश्यक बड़े गुणनफल नहीं बनाने पड़ते। काटना गुणनफल के गुणनखंडों पर लागू है; जोड़ या घटाव से जुड़े पद सीधे नहीं हटा सकते।

भाग बताता है कि भाज्य में भाजक के आकार की कितनी मात्राएँ समाती हैं। अशून्य भिन्न c/d का व्युत्क्रम d/c है, क्योंकि दोनों का गुणनफल एक है। भाज्य और भाजक को इस व्युत्क्रम से गुणा करने पर भाजक एक बन जाता है; इसलिए भाग, व्युत्क्रम से गुणा बन जाता है।

c/d से भाग देते समय c और d, दोनों अशून्य हों: हर वैध होना चाहिए और भाजक शून्य नहीं हो सकता। शून्य का व्युत्क्रम नहीं होता। गुणा या भाग से पहले मिश्र रूप को अनुचित भिन्न बनाएँ। कोष्ठकों तथा समान प्राथमिकता वाली संक्रियाओं के सामान्य बाएँ-से-दाएँ क्रम का पालन करें।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: 5/6 - 1/4 + 1/3 की गणना करें।

समान हर 12 लें: 10/12 - 3/12 + 4/12। बाएँ से दाएँ चलें: 7/12 + 4/12 = 11/12। हर स्थिर रहता है क्योंकि सभी मात्राएँ अब बारहवें हिस्से गिन रही हैं।

उदाहरण 2: (14/15) × (25/28) की गणना करें।

14 और 28 को काटने पर 1 और 2 मिलते हैं; 25 और 15 को काटने पर 5 और 3 मिलते हैं। गुणनफल (1 × 5)/(3 × 2) = 5/6 बनता है। इस कटौती से पूरे गुणनफल का मान बना रहता है।

उदाहरण 3: (1 + 1/2) ÷ (3/4) की गणना करें।

मिश्र मात्रा बदलें: 1 + 1/2 = 3/2। केवल भाजक उलटें: (3/2) × (4/3) = 12/6 = 2। जाँच: 2 × (3/4) = 3/2; इसलिए भाजक के आकार के दो हिस्से ठीक-ठीक समाते हैं।

सामान्य गलतियाँ

हरों को जोड़ें या घटाएँ नहीं। भाग में पहले भिन्न का व्युत्क्रम न लें। जोड़ में अलग-अलग पदों को हर के साथ न काटें। ऋण चिह्न सुरक्षित रखें और अंतिम भिन्न सरल करें।

अभ्यास प्रश्न

1. 7/10 + 2/15 की गणना करें।
2. (-4/9) × (3/8) की गणना करें।
3. (5/12) ÷ (25/18) की गणना करें।
4. (2/3 - 1/6) ÷ (5/4) की गणना करें।

व्याख्या सहित उत्तर

1. हर 30 लें: 21/30 + 4/30 = 25/30 = 5/6। अंतिम कटौती में दोनों संख्याओं को 5 से भाग दिया गया है।
2. ऋणात्मक और धनात्मक का गुणा ऋणात्मक है: (-4 × 3)/(9 × 8) = -12/72 = -1/6।
3. व्युत्क्रम से गुणा करें: (5/12) × (18/25) = 90/300 = 3/10। भाजक अशून्य है, इसलिए यह संक्रिया वैध है।
4. पहले 2/3 - 1/6 = 4/6 - 1/6 = 1/2। फिर (1/2) × (4/5) = 4/10 = 2/5।