मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

सीखने का लक्ष्य

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ व्युत्पन्न करना, उनसे अन्य अनुपात निकालना और मूल परिभाषा-क्षेत्र की पाबंदियाँ बनाए रखते हुए व्यंजकों को सरल करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

कोण डिग्री में हैं। दिए गए संख्यात्मक अनुपात से अन्य अनुपात निकालने वाले प्रश्नों में कोण न्यूनकोण हैं, अर्थात 0° < θ < 90°। इसलिए सभी छह अनुपात धनात्मक हैं। अधिक सामान्य सर्वसमिकाएँ केवल वहाँ लागू होती हैं जहाँ उनमें शामिल प्रत्येक व्यंजक परिभाषित हो।

सर्वसमिका अपने बताए गए परिभाषा-क्षेत्र के हर कोण के लिए सत्य होती है; समीकरण केवल कुछ कोणों के लिए सत्य हो सकता है। इसलिए sin² θ + cos² θ = 1 एक सर्वसमिका है, जबकि sin θ = 1/2 हल करने के लिए दिया गया समीकरण है।

समकोण त्रिभुज में सामने वाली भुजा² + आसन्न लंबभुजा² = कर्ण²। धनात्मक कर्ण के वर्ग से भाग देने पर: sin² θ + cos² θ = 1। इकाई वृत्त के निर्देशांकों के आधार पर यही संबंध हर वास्तविक कोण के लिए सत्य है।

इस सर्वसमिका को cos² θ से केवल तभी भाग दें जब cos θ ≠ 0: 1 + tan² θ = sec² θ। इसके बजाय sin² θ से केवल तभी भाग दें जब sin θ ≠ 0: 1 + cot² θ = cosec² θ।

डिग्री में, θ = 90° + 180°k पर cosine शून्य और θ = 180°k पर sine शून्य होता है, जहाँ k कोई भी पूर्णांक है। भाग देने से पहले संबंधित कोणों को बाहर रखें।

यहाँ sin² θ का अर्थ (sin θ)² है। किसी अनुपात के वर्ग से अनुपात निकालते समय उसके चिह्न का कारण बताना आवश्यक है; न्यूनकोण के लिए अनुपात धनात्मक होना यह कारण देता है। काटने से केवल साझा अशून्य गुणनखंड हटते हैं, मूल वर्जित मान नहीं। सरल व्यंजक का दिखाई देने वाला परिभाषा-क्षेत्र मूल व्यंजक से अधिक व्यापक हो सकता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — अन्य अनुपात निकालना। न्यूनकोण θ के लिए sin θ = 7/25 है। cos θ और tan θ निकालें।

cos² θ = 1 − 49/625 = 576/625। धनात्मक वर्गमूल लें: cos θ = 24/25। फिर tan θ = sin θ/cos θ = (7/25)/(24/25) = 7/24।

उदाहरण 2 — पाबंदियों के साथ गुणनखंड काटना। (sec² θ − 1)/tan θ को सरल करें।

मूल व्यंजक के लिए cos θ ≠ 0 और tan θ ≠ 0 आवश्यक हैं; दोनों मिलकर sin θ ≠ 0 और cos θ ≠ 0 की शर्त देते हैं। sec² θ − 1 = tan² θ लगाने पर tan² θ/tan θ = tan θ मिलता है। दोनों मूल पाबंदियाँ बनी रहेंगी, भले अकेले tan θ का मान शून्य हो सकता हो।

उदाहरण 3 — भिन्न जोड़ना। 1/(1 − sin θ) + 1/(1 + sin θ) को सरल करें।

sin θ ≠ 1 और sin θ ≠ −1 आवश्यक हैं; इसके समतुल्य शर्त cos θ ≠ 0 है। अंश जोड़ें: [(1 + sin θ) + (1 − sin θ)]/(1 − sin² θ) = 2/cos² θ = 2 sec² θ, उसी परिभाषा-क्षेत्र में।

आम गलतियाँ

कोण का क्षेत्र जाँचे बिना धनात्मक वर्गमूल लेना; शून्य अनुपात से भाग देना; अलग-अलग पद काटना; सरलीकरण के बाद पाबंदियाँ छोड़ देना।

अभ्यास प्रश्न

1. न्यूनकोण θ के लिए tan θ = 3/4 है। sec θ और cosec θ निकालें।
2. cos θ/(1 − sin² θ) को सरल करें और परिभाषा-क्षेत्र बताएँ।
3. (cosec² θ − 1)/cot θ को सरल करें और परिभाषा-क्षेत्र बताएँ।
4. न्यूनकोण θ के लिए tan θ + cot θ = 4 है। tan² θ + cot² θ निकालें।

चरणबद्ध हल

1. sec² θ = 1 + 9/16 = 25/16, इसलिए sec θ = 5/4। cos θ = 4/5 और sin θ = tan θ cos θ = 3/5; अतः cosec θ = 5/3।
2. हर cos² θ के बराबर है, इसलिए cos θ ≠ 0 आवश्यक है। तब cos θ/cos² θ = sec θ, और यह पाबंदी बनी रहती है।
3. sin θ ≠ 0 और cos θ ≠ 0 आवश्यक हैं। अंश cot² θ हो जाता है; अशून्य cot θ से भाग देने पर cot θ मिलता है।
4. न्यूनकोण θ के लिए tan θ cot θ = 1। दिए गए योग का वर्ग करने पर tan² θ + 2 + cot² θ = 16 मिलता है। इसलिए आवश्यक मान 14 है।