संयुक्त कार्य और शेष कार्य

सीखने का लक्ष्य

मिलकर कार्य पूरा करने का समय निकालना, किसी व्यक्ति के जाने के बाद शेष कार्य का हिसाब रखना और चरणों में दिए गए कार्य-विवरण से अज्ञात कार्य-दर निकालना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

पूरे कार्य को 1 मानें। प्रत्येक व्यक्ति की कार्य-दर स्थिर है और सभी प्रतिदिन समान निश्चित घंटे काम करते हैं। मानें कि उनके योगदान सीधे जुड़ते हैं, वे एक-दूसरे के काम में बाधा नहीं डालते और एक ही हिस्से को दोबारा नहीं करते। कार्य को बाँटा जा सकता है। पूरा होते ही काम रोक दिया जाता है।

यदि A अकेले कार्य को a दिनों में करता है, तो उसकी कार्य-दर पूरे कार्य का 1/a भाग प्रतिदिन है। इसी प्रकार B की कार्य-दर 1/b है। दोनों के साथ काम करने पर एक दिन में पूरे किए गए भाग जुड़ते हैं। इसलिए संयुक्त कार्य-दर 1/a + 1/b है और संयुक्त समय इस दर से 1 को भाग देने पर मिलता है। दोनों के अलग-अलग समयों का औसत उनकी संयुक्त कार्य-दर नहीं बताता।

व्यवस्था बदलने पर प्रत्येक चरण की गणना अलग करें:

चरण में किया गया कार्य = उस चरण की कार्य-दर × उस चरण की अवधि।

पूरे किए गए कार्य को 1 से घटाएँ और शेष कार्य को अगले चरण की कार्य-दर से भाग दें। किसी व्यक्ति के जाने से आगे की कार्य-दर बदलती है, पहले से पूरा हुआ कार्य नहीं।

एक अन्य तरीका है पूरे कार्य की सुविधाजनक मात्रा चुनना, जैसे व्यक्तिगत समयों का कोई समापवर्त्य। इस मात्रा को प्रत्येक व्यक्ति के समय से भाग देने पर दैनिक कार्य पूर्णांक में मिलता है। कार्य की इकाई बदलने से गणना सरल होती है, उत्तर नहीं बदलता। कार्य-दर और शेष कार्य की इकाइयाँ संगत रखें। दिन का भिन्नात्मक भाग सामान्य कार्य-दिवस का एक हिस्सा दर्शाता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — संयुक्त कार्य। A अकेले 12 दिनों में और B अकेले 18 दिनों में कार्य करता है। दोनों को साथ कितना समय लगेगा?

कुल कार्य 36 इकाइयाँ मानें। A प्रतिदिन 36/12 = 3 इकाइयाँ और B प्रतिदिन 36/18 = 2 इकाइयाँ करता है। संयुक्त कार्य-दर = 3 + 2 = 5 इकाइयाँ प्रतिदिन। आवश्यक समय = 36/5 = 7 1/5 दिन, सटीक।

उदाहरण 2 — एक व्यक्ति काम छोड़ देता है। A अकेले 15 दिनों में और B अकेले 20 दिनों में कार्य करता है। दोनों 4 दिन साथ काम करते हैं; फिर B चला जाता है। कुल समय निकालिए।

संयुक्त कार्य-दर = 1/15 + 1/20 = 7/60। पूरा किया गया कार्य = 4 × 7/60 = 7/15। शेष कार्य = 1 − 7/15 = 8/15। A का अतिरिक्त समय = (8/15)/(1/15) = 8 दिन। कुल समय = 4 + 8 = 12 दिन।

उदाहरण 3 — अज्ञात कार्य-दर निकालना। A अकेले कार्य को 24 दिनों में करता है। A और B, 6 दिन साथ काम करते हैं; फिर B चला जाता है और A अगले 9 दिनों में कार्य पूरा करता है। B के अकेले कार्य पूरा करने का समय निकालिए।

अंतिम 9 दिनों में कार्य का 9/24 = 3/8 भाग पूरा होता है। इसलिए पहले चरण में 1 − 3/8 = 5/8 भाग पूरा हुआ। संयुक्त कार्य-दर = (5/8)/6 = 5/48। B की कार्य-दर = 5/48 − 1/24 = 3/48 = 1/16। B अकेले 16 दिन लेगा। जाँच: A का कुल योगदान 15/24 = 5/8 है; B का योगदान 6/16 = 3/8 है।

आम गलतियाँ

कार्य पूरा करने के समयों को जोड़ देना; चले गए व्यक्ति का योगदान बाद के दिनों में भी गिनना; शेष कार्य के बजाय पूरे कार्य को नई कार्य-दर से भाग देना; अतिरिक्त समय को ही कुल समय बता देना।

अभ्यास प्रश्न

1. A अकेले 16 दिनों में और B अकेले 24 दिनों में कार्य करता है। दोनों को साथ कितना समय लगेगा?
2. A अकेले 10 दिनों में और B अकेले 15 दिनों में कार्य करता है। 3 दिन साथ काम करने के बाद A चला जाता है। B का अतिरिक्त समय और कुल समय निकालिए।
3. A और B साथ मिलकर 12 दिनों में कार्य करते हैं; A अकेले 30 दिन लेता है। B का अकेले कार्य करने का समय निकालिए।
4. A, B और C अकेले क्रमशः 18, 27 और 54 दिनों में कार्य करते हैं। A और B, 3 दिन काम करते हैं; फिर B की जगह C आ जाता है। कुल समय निकालिए।

चरणबद्ध हल

1. संयुक्त कार्य-दर = 1/16 + 1/24 = 5/48। समय = 1/(5/48) = 48/5 = 9 3/5 दिन।
2. संयुक्त कार्य-दर = 1/10 + 1/15 = 1/6। 3 दिनों में 1/2 कार्य पूरा होता है। B को (1/2)/(1/15) = 7 1/2 अतिरिक्त दिन चाहिए। कुल समय = 10 1/2 दिन।
3. B की कार्य-दर = 1/12 − 1/30 = 3/60 = 1/20। इसलिए B को 20 दिन लगेंगे।
4. पहले चरण का कार्य = 3(1/18 + 1/27) = 5/18। शेष कार्य = 13/18। A और C की कार्य-दर = 1/18 + 1/54 = 2/27। अतिरिक्त समय = (13/18)/(2/27) = 39/4 दिन। कुल समय = 3 + 39/4 = 51/4 = 12 3/4 दिन।