किसी संख्या के धनात्मक गुणनखंडों की गिनती

सीखने का परिणाम

अभाज्य गुणनखंडन से धनात्मक भाजक गिनें और भाजकों पर सरल शर्त होने पर यही तरीका लागू करें।

अवधारणाएँ और उनके कारण

इस पाठ में गुणनखंड गिनने का अर्थ धनात्मक पूर्णांक के अलग-अलग धनात्मक भाजक गिनना है। ऋणात्मक भाजक शामिल नहीं हैं और शून्य पर तरीका लागू नहीं है। पूर्णांक 1 का ठीक एक धनात्मक भाजक है: 1।

n > 1 के लिए n को अलग-अलग अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल में लिखें। यदि n = p^a × q^b हो, जहाँ a और b धनात्मक पूर्णांक हैं, तो धनात्मक भाजकों की संख्या (a + 1)(b + 1) है। हर अलग अभाज्य संख्या के लिए ऐसा एक गुणक लें।

यह क्यों सही है? गुणनखंडन में p, कुल a बार आता है। भाजक में p को शून्य, एक, दो, …, a बार ले सकते हैं: a + 1 विकल्प। स्वतंत्र रूप से q के लिए b + 1 विकल्प हैं। प्रत्येक संयोजन एक भाजक बनाता है, इसलिए विकल्पों की संख्याएँ जोड़ने के बजाय गुणा करें।

किसी अभाज्य संख्या को न लेने का योगदान 1 है, 0 नहीं। भाजक में नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आ सकता, न कोई अभाज्य गुणनखंड मूल से अधिक बार लिया जा सकता है। अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता से अलग चुनाव अलग भाजक बनते हैं।

पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातांक सम हैं, इसलिए हर विकल्प-संख्या विषम है। कुल भाजक-संख्या भी विषम है, जो वर्गमूल के स्वयं से जोड़ी बनाने से मेल खाता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. 72 = 2^3 × 3^2, इसलिए भाजकों की संख्या (3 + 1)(2 + 1) = 12 है। 2 को 0, 1, 2, 3 बार और 3 को 0, 1, 2 बार ले सकते हैं।

उदाहरण 2. 100 = 2^2 × 5^2, इसलिए भाजकों की संख्या 3 × 3 = 9 है। यह विषम संख्या 100 के पूर्ण वर्ग होने से मेल खाती है।

उदाहरण 3. 120 के उन भाजकों को गिनें जो 6 से विभाज्य हैं। 120 = 2^3 × 3 × 5 लिखें। कम-से-कम एक 2 लें: तीन विकल्प। 3 शामिल करें: एक विकल्प। 5 लें या छोड़ें: दो विकल्प। कुल = 3 × 1 × 2 = 6।

आम गलतियाँ

अलग-अलग अभाज्य आधार लें, भाज्य गुणनखंड नहीं। दोहराए गए अभाज्य गुणनखंड पहले मिलाएँ। 1 और स्वयं संख्या को गिनें। शर्तें उपलब्ध विकल्प बदलती हैं, गुणा करने का सिद्धांत नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. 180 के कितने धनात्मक भाजक हैं?
2. 1 और 13 के कितने धनात्मक भाजक हैं?
3. 200 के कितने धनात्मक भाजक विषम हैं?

उत्तर और व्याख्या

1. 180 = 2^2 × 3^2 × 5 में अभाज्य संख्याओं के क्रमशः 3, 3 और 2 विकल्प हैं। इसलिए संख्या 3 × 3 × 2 = 18 है।
2. 1 का एक भाजक है, स्वयं 1। अभाज्य 13 के दो हैं: 1 और 13।
3. 200 = 2^3 × 5^2, इसलिए विषम भाजक में 2 का कोई गुणनखंड नहीं होगा। 5 को 0, 1 या 2 बार लेने से तीन भाजक मिलते हैं: 1, 5, 25।