एक चर वाले रैखिक समीकरण

सीखने का लक्ष्य

समतुल्य संक्रियाओं से एक चर वाले रैखिक समीकरण हल करना, सरल परिस्थिति का समीकरण बनाना और अद्वितीय हल, कोई हल नहीं तथा अनंत हलों में अंतर करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

समीकरण यह पूछता है कि किन मानों पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं। जब तक संदर्भ में धनात्मक लंबाइयों या किसी अन्य पाबंदी की आवश्यकता न हो, यहाँ परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

एक चर का रैखिक समीकरण ax + b = 0 के रूप में होता है, जहाँ a ≠ 0 है। अधिक जटिल दिखने वाले समीकरण भी सरल करने पर इस रूप में आ सकते हैं। कुछ समीकरणों से चर पूरी तरह हट जाता है; उनका वर्गीकरण अलग से करना होगा।

दोनों पक्षों में एक ही व्यंजक जोड़ने या घटाने से बराबरी बनी रहती है। दोनों पक्षों को एक ही अशून्य स्थिरांक से गुणा करना या भाग देना उलटी की जा सकने वाली संक्रिया है और हल-समुच्चय को नहीं बदलता। “पद को दूसरी ओर ले जाना” ऐसी ही संक्रिया का संक्षिप्त तरीका है।

सरलीकरण के बाद Ax = B लिखें। यदि A ≠ 0 हो, तो भाग देने से अद्वितीय हल x = B/A मिलता है। यदि A = 0 और B ≠ 0 हो, तो कोई हल नहीं है, क्योंकि शून्य किसी अशून्य संख्या के बराबर नहीं हो सकता। यदि A = B = 0 हो, तो मूल परिभाषा-क्षेत्र का प्रत्येक मान हल है।

किसी अज्ञात व्यंजक से भाग देने से पहले जाँचें कि वह कब शून्य हो सकता है; ऐसा न करने पर मान्य हल छूट सकते हैं। यहाँ दिए गए अशून्य स्थिर हर किसी x-मान को वर्जित नहीं करते।

संख्यात्मक हरों को किसी समापवर्त्य से हटाएँ, कोष्ठक खोलें, चर वाले पद और स्थिरांक एकत्र करें तथा मूल समीकरण में उत्तर जाँचें। शब्द-समस्याओं में परिस्थिति के अनुसार स्वीकार्य मानों की भी जाँच करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — दोनों पक्षों में चर। 5x − 7 = 3x + 9 हल करें।

3x घटाएँ: 2x − 7 = 9। 7 जोड़ें: 2x = 16। 2 से भाग दें: x = 8। जाँच: 5(8) − 7 = 33 और 3(8) + 9 = 33।

उदाहरण 2 — भिन्नात्मक गुणांक। (x − 2)/3 + (x + 1)/4 = 5 हल करें।

प्रत्येक पद को 12 से गुणा करें: 4(x − 2) + 3(x + 1) = 60। विस्तार करें: 4x − 8 + 3x + 3 = 60। इसलिए 7x − 5 = 60, फिर 7x = 65। अतः x = 65/7। जाँच: मूल भिन्नों के मान 17/7 और 18/7 हो जाते हैं; उनका योग 35/7 = 5 है।

उदाहरण 3 — चर हट जाने पर। दोनों समीकरणों का वर्गीकरण करें।

4(x − 2) = 4x − 5 का विस्तार करने पर 4x − 8 = 4x − 5 मिलता है। 4x घटाने पर −8 = −5 बचता है, जो असत्य है: कोई हल नहीं।

3(2x + 1) = 6x + 3 का विस्तार करने पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं। घटाने पर 0 = 0 मिलता है: अनंत हल; सभी वास्तविक x।

आम गलतियाँ

केवल एक पक्ष बदलना; हर हटाते समय हर पद को गुणा करना भूलना; शून्य से भाग देना; चर कटते ही बिना जाँच के ‘कोई हल नहीं’ मान लेना।

अभ्यास प्रश्न

1. 7x + 5 = 3x + 29 हल करें।
2. एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 cm अधिक है और परिमाप 58 cm है। दोनों आयाम निकालें।
3. 5(x − 2) = 5x + 1 को हल करें या उसका वर्गीकरण करें।
4. 4(2x − 3) − 2x = 6x − 12 को हल करें या उसका वर्गीकरण करें।

चरणबद्ध हल

1. 3x और फिर 5 घटाएँ: 4x = 24। अतः x = 6। मूल समीकरण के दोनों पक्ष 47 हैं।
2. चौड़ाई w cm मानें, जहाँ w > 0; लंबाई w + 5 cm है। तब 2(w + w + 5) = 58, जिससे 4w + 10 = 58 और w = 12 मिलता है। आयाम 12 cm और 17 cm हैं; 2(12 + 17) = 58।
3. विस्तार से 5x − 10 = 5x + 1 मिलता है। घटाने पर −10 = 1 बचता है, जो विरोधाभास है। इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं।
4. बायाँ पक्ष 8x − 12 − 2x = 6x − 12 हो जाता है, जो दाएँ पक्ष के समान है। इसलिए हर वास्तविक x एक हल है।