भिन्नों का क्रम निर्धारण और तुलना

सीखने का लक्ष्य

दो भिन्नों की तुलना करना, कई भिन्नों को क्रम में रखना और उचित कारण समझते हुए ऋणात्मक या मिश्र रूपों की तुलना करना।

तुलना की विधियाँ समझें

समान धनात्मक हर वाले भिन्न बराबर आकार के हिस्से गिनते हैं। इसलिए सीधे अंशों की तुलना करें। समान अंश वाले धनात्मक भिन्नों में बड़ा हर छोटे हिस्से दर्शाता है, इसलिए भिन्न छोटा होता है। यह दूसरा नियम ऋणात्मक भिन्नों पर बिना बदलाव लागू न करें।

अलग हर होने पर समतुल्य भिन्न बनाकर हर समान करें। लघुत्तम समापवर्त्य अक्सर सुविधाजनक है क्योंकि इससे गणना छोटी रहती है; कोई भी धनात्मक समापवर्त्य काम करता है।

धनात्मक हर वाले a/b और c/d के लिए a × d तथा c × b की तुलना भी कर सकते हैं। दोनों भिन्नों को समान धनात्मक संख्या b × d से गुणा करने पर हर हट जाते हैं और क्रम बना रहता है। यही क्रॉस-गुणा का कारण है; मूल अंशों में बड़ा दिखने वाला अंश चुनना इसका नियम नहीं है।

चिह्न से तुरंत जाँच मिलती है। हर ऋणात्मक भिन्न शून्य से छोटा और हर धनात्मक भिन्न शून्य से बड़ा है। ऋणात्मक भिन्नों में शून्य से अधिक दूरी वाला भिन्न छोटा होता है। समान धनात्मक हर बनाने के बाद चिह्न सहित अंशों की सीधी तुलना भी कर सकते हैं।

अऋणात्मक मिश्र रूपों में पहले पूर्णांक भाग, फिर आवश्यकता पर शेष भिन्न की तुलना करें। दूसरा तरीका पूरी मात्राओं को अनुचित भिन्न बनाना है। सरलतम रूप मददगार है, लेकिन सही तुलना से पहले उसे बनाना अनिवार्य नहीं।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: 7/12 और 5/8 की तुलना करें।

हर 24 लें। पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करने पर 7/12 = 14/24; दूसरे के दोनों को 3 से गुणा करने पर 5/8 = 15/24 मिलता है। चौदह बराबर हिस्से पंद्रह से कम हैं, इसलिए 7/12 < 5/8।

उदाहरण 2: 3/4, 7/10 और 2/3 को क्रम में रखें।

एक समान हर 60 है। समतुल्य भिन्न क्रमशः 45/60, 42/60 और 40/60 हैं। चूँकि 40 < 42 < 45, इसलिए आरोही क्रम 2/3 < 7/10 < 3/4 है।

उदाहरण 3: -5/6 और -7/9 की तुलना करें।

हर 18 लें: -5/6 = -15/18 और -7/9 = -14/18। चूँकि -15 < -14, इसलिए -5/6 < -7/9। पहला भिन्न शून्य से अधिक नीचे है; केवल बिना चिह्न वाले अंशों की तुलना करने से उत्तर उलट जाएगा।

सामान्य गलतियाँ

अलग हर वाले भिन्नों में केवल अंशों की तुलना न करें। बड़ा हर हमेशा बड़ा भिन्न नहीं बनाता। बताए गए क्रॉस-गुणा नियम से पहले हर धनात्मक रखें। मिश्र रूप में पूरी मात्रा की तुलना करें, केवल उसके शेष भिन्न की नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. 9/14 और 5/7 की तुलना करें।
2. 4/9, 4/7 और 4/11 को आरोही क्रम में रखें।
3. -3/4, -2/3 और 1/12 को आरोही क्रम में रखें।
4. 2 + 1/5 की तुलना 13/6 से करें।

व्याख्या सहित उत्तर

1. चूँकि 5/7 = 10/14, इसलिए 9 और 10 की तुलना करें। अतः 9/14 < 5/7।
2. धनात्मक अंश समान हैं, इसलिए बड़े हर वाले भिन्न छोटे होंगे: 4/11 < 4/9 < 4/7।
3. समान हर वाले रूप -9/12, -8/12 और 1/12 हैं। इसलिए -3/4 < -2/3 < 1/12।
4. रूप बदलें: 2 + 1/5 = 11/5। क्रॉस-गुणनफल 11 × 6 = 66 और 13 × 5 = 65 हैं। चूँकि 66 > 65, इसलिए (2 + 1/5) > 13/6।