रैखिक समीकरणों के युग्म

सीखने का लक्ष्य

रैखिक समीकरणों को एक साथ हल करना और उन युग्मों में अंतर करना जिनके क्रमित युग्म के रूप में एक हल, कोई हल नहीं या अनंत हल हैं।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

जब तक अलग पाबंदी न हो, अज्ञात वास्तविक हैं। प्रत्येक समीकरण ax + by = c के रूप में है, जिसमें a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं। हल को दोनों समीकरण संतुष्ट करने चाहिए।

प्रतिस्थापन में एक समीकरण से किसी चर का समतुल्य व्यंजक लेकर उसकी जगह रखा जाता है। हर साझा हल उस प्रतिस्थापन का पालन करता है, जिससे दूसरा समीकरण एक चर वाला हो जाता है।

विलोपन में समीकरणों को अशून्य स्थिरांकों से गुणा करके जोड़ा या घटाया जाता है, ताकि एक चर हट जाए। एक मूल समीकरण बनाए रखने पर यह प्रक्रिया उलटी की जा सकती है: एक अज्ञात निकालें, फिर दूसरा प्राप्त करें।

गुणांकों के युग्म अनुपाती न हों तो एक हल मिलता है। यदि पूरा दूसरा समीकरण पहले का कोई अशून्य गुणज हो, तो दोनों एक ही शर्त लगाते हैं: अनंत युग्म हल होते हैं। यदि केवल बाएँ पक्षों में ऐसा संबंध हो, लेकिन स्थिरांकों में नहीं, तो कोई हल नहीं होता।

गुणांकों के अनुपात की ऐसी जाँच से बचें जिसमें शून्य से भाग देना पड़े; इसके बजाय पूरे समीकरणों की तुलना करें। दोनों मूल समीकरणों में जाँच करें। कीमतों के लिए धनात्मक इकाई कीमतें, समान वस्तुओं की समान कीमत और कोई अतिरिक्त शुल्क नहीं मानें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — विलोपन। 2x + 3y = 19 और 3x − 2y = 9 हल करें।

पहले को 2 से गुणा करें: 4x + 6y = 38। दूसरे को 3 से गुणा करें: 9x − 6y = 27। जोड़ें: 13x = 65, इसलिए x = 5। मान रखें: 10 + 3y = 19, जिससे y = 3। अतः (x, y) = (5, 3)। जाँच: 10 + 9 = 19 और 15 − 6 = 9।

उदाहरण 2 — कीमतें। एक नोटबुक और दो पेन की कीमत ₹38 है; तीन नोटबुक और एक पेन की कीमत ₹79 है। इकाई कीमतें निकालें।

कीमतें n और p मानें: n + 2p = 38; 3n + p = 79। पहले से, n = 38 − 2p। मान रखें: 3(38 − 2p) + p = 79। इसलिए 114 − 5p = 79, जिससे p = 7। फिर n = 38 − 14 = 24। नोटबुक: ₹24; पेन: ₹7। जाँच: 24 + 14 = 38; 72 + 7 = 79।

उदाहरण 3 — आश्रित या असंगत युग्म। पहला समीकरण x + 2y = 7 लें।

इसके साथ 2x + 4y = 15 लेने पर, पहले का दोगुना उसी बाएँ पक्ष को 14 के बराबर बताता है। घटाने से 0 = 1 मिलता है: कोई हल नहीं।

इसके साथ 2x + 4y = 14 लेने पर दूसरा समीकरण केवल पहले का दोगुना है। हर वास्तविक t के लिए (7 − 2t, t) दोनों को संतुष्ट करता है: अनंत हल।

आम गलतियाँ

समीकरणों को अलग-अलग हल करना; केवल कुछ पदों को गुणा करना; केवल एक समीकरण में जाँच करना; समान शर्तों और विरोधाभासी शर्तों में भ्रम करना।

अभ्यास प्रश्न

1. x + y = 17 और x − y = 5 हल करें।
2. तीन नोटबुक और दो पेन की कीमत ₹72 है; दो नोटबुक और पाँच पेन की कीमत ₹70 है। इकाई कीमतें निकालें।
3. 3x − 2y = 4 और 6x − 4y = 11 का वर्गीकरण करें।
4. 2x − y = 4 और 6x − 3y = 12 का वर्गीकरण करें तथा सभी हलों का वर्णन करें।

चरणबद्ध हल

1. जोड़ें: 2x = 22, इसलिए x = 11। फिर y = 17 − 11 = 6। हल: (11, 6)।
2. समीकरण: 3n + 2p = 72; 2n + 5p = 70। क्रमशः 5 और 2 से गुणा करने पर 15n + 10p = 360; 4n + 10p = 140। घटाएँ: 11n = 220, इसलिए n = 20। फिर 60 + 2p = 72 से p = 6 मिलता है। कीमतें: ₹20 और ₹6।
3. पहले का दोगुना 6x − 4y = 8 देता है, जो 11 के विपरीत है। इसलिए कोई हल नहीं।
4. दूसरा समीकरण पहले का तीन गुना है। x = t लें; तब y = 2t − 4। हर वास्तविक t के लिए (t, 2t − 4) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है: अनंत हल।