त्रिभुजाकार या वर्गाकार आधार वाले लंब प्रिज्म और लंब पिरामिड
सीखने का परिणाम
लंबवत ऊँचाई और फलक की तिर्यक ऊँचाई में अंतर करते हुए प्रिज्म तथा पिरामिड के क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
लंब प्रिज्म के आधार समानांतर और सर्वांगसम होते हैं तथा पार्श्व किनारे उन पर लंबवत होते हैं। आधार का क्षेत्रफल B, परिमाप p और ऊँचाई h हो तो समान परतों से आयतन B × h मिलता है। आयताकार दीवारों का पार्श्व क्षेत्रफल p × h है; कुल क्षेत्रफल = p × h + 2 × B।
पिरामिड की ऊपर की ओर संकरी होती परतों से आयतन B × h ÷ 3 मिलता है, जो समान आधार और ऊँचाई वाले प्रिज्म का एक-तिहाई है। ऊँचाई h आधार के तल पर लंबवत है; यह आधार के त्रिभुज के भीतर खींचा गया लंब नहीं है।
यहाँ पिरामिडों के आधार वर्ग या समबाहु त्रिभुज हैं और शीर्ष उनके केंद्र के ठीक ऊपर है। फलकों के बराबर लंब s होने से पार्श्व क्षेत्रफल p × s ÷ 2 है; कुल क्षेत्रफल के लिए B जोड़ते हैं। केंद्र से आधार की भुजा की दूरी ρ हो तो s² = h² + ρ²। शीर्ष से आधार के कोने तक जाने वाला किनारा इससे अलग है।
मनमाने त्रिभुजाकार आधार में फलकों के लंब अलग हो सकते हैं: ऐसी स्थिति में हर त्रिभुजाकार फलक का क्षेत्रफल अलग निकालकर जोड़ें। माप सटीक सेंटीमीटर में हैं; वर्गमूल वाले उत्तर सटीक रूप में रखें, पूर्णांकन न करें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — त्रिभुजाकार प्रिज्म। आधार एक समकोण त्रिभुज है, जिसकी लंबवत भुजाएँ 6 cm और 8 cm तथा कर्ण 10 cm है; प्रिज्म की ऊँचाई 15 cm है। B = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm²; p = 24 cm। आयतन = 24 × 15 = 360 cm³। कुल क्षेत्रफल = 24 × 15 + 2 × 24 = 408 cm²।
उदाहरण 2 — वर्गाकार पिरामिड। आधार की भुजा 10 cm और लंबवत ऊँचाई 12 cm है। केंद्र से भुजा की दूरी = 5 cm, इसलिए s = √(144 + 25) = 13 cm। पार्श्व क्षेत्रफल = 40 × 13 ÷ 2 = 260 cm²। कुल क्षेत्रफल = 260 + 100 = 360 cm²; आयतन = 100 × 12 ÷ 3 = 400 cm³।
उदाहरण 3 — समबाहु आधार वाला लंब पिरामिड। आधार की भुजा 6√3 cm, क्षेत्रफल 27√3 cm² और केंद्र से भुजा की दूरी 3 cm है। लंबवत ऊँचाई 4 cm है। इसलिए s = √(16 + 9) = 5 cm। आधार का परिमाप = 18√3 cm। पार्श्व क्षेत्रफल = 18√3 × 5 ÷ 2 = 45√3 cm²; कुल क्षेत्रफल = 45√3 + 27√3 = 72√3 cm²। आयतन = 27√3 × 4 ÷ 3 = 36√3 cm³।
आम गलतियाँ
त्रिभुजाकार प्रिज्म की दीवारें आयताकार होती हैं, पिरामिड की तरह त्रिभुजाकार नहीं। केवल त्रिभुजाकार आधार होने से फलकों की तिर्यक ऊँचाइयाँ बराबर होना निश्चित नहीं होता।
अभ्यास प्रश्न
- एक लंब प्रिज्म का आधार 5, 12 और 13 cm भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज है और प्रिज्म की ऊँचाई 10 cm है। कुल क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
- एक लंब प्रिज्म के वर्गाकार आधार की भुजा 7 cm और ऊँचाई 12 cm है। कुल क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
- एक लंब वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा 12 cm और लंबवत ऊँचाई 8 cm है। कुल क्षेत्रफल और आयतन निकालें।
- समबाहु आधार वाले लंब पिरामिड के आधार की भुजा 8 cm और फलक की तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। पार्श्व और कुल क्षेत्रफल निकालें।
हल सहित उत्तर
- B = 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm²; p = 30 cm। कुल क्षेत्रफल = 30 × 10 + 60 = 360 cm²; आयतन = 30 × 10 = 300 cm³।
- B = 49 cm²; p = 28 cm। कुल क्षेत्रफल = 28 × 12 + 98 = 434 cm²; आयतन = 49 × 12 = 588 cm³।
- s = √(8² + 6²) = 10 cm। कुल क्षेत्रफल = 48 × 10 ÷ 2 + 144 = 384 cm²; आयतन = 144 × 8 ÷ 3 = 384 cm³।
- आधार के त्रिभुज का लंब = √(64 - 16) = 4√3 cm, इसलिए B = 8 × 4√3 ÷ 2 = 16√3 cm²। पार्श्व क्षेत्रफल = 24 × 10 ÷ 2 = 120 cm²; कुल क्षेत्रफल = 120 + 16√3 cm²।
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