मिश्रित संख्यात्मक व्यंजकों का सरलीकरण

सीखने का परिणाम

कई संक्रियाओं वाले व्यंजक सरल करें, उपयोगी छोटे तरीके चुनें और छोटी संख्यात्मक परिस्थिति को सही समूहों वाले व्यंजक में लिखें।

अवधारणाएँ और उनके कारण

मिश्रित संख्यात्मक व्यंजक में अलग-अलग संक्रियाएँ होती हैं। यहाँ पूर्णांक मान, धनात्मक पूर्णांक घातांक और पूर्णांक परिणाम वाले भाग हैं। उद्देश्य व्यंजक का अर्थ बदले बिना गणना कम करना है।

पहले हर भाग का पूरा भाजक, घात का आधार और घटाव से प्रभावित समूह पहचानें। स्वतंत्र समूह अलग-अलग सरल करें, लेकिन बीच की संक्रियाएँ बनाए रखें।

वितरण नियम कहता है: a × (b + c) = a × b + a × c। दोनों हिस्सों में वही मात्रा a योगदान देती है, इसलिए उसके गुणकों को अलग करने या जोड़ने से कुल मान नहीं बदलता। उलटी दिशा में यही साझा गुणनखंड बाहर निकालना है। अंतर के लिए a × b - a × c = a × (b - c)।

समूह घटाने पर हर पद का चिह्न उलटता है: a - (b - c) = a - b + c। घटाव पूरे समूह पर लागू है, केवल पहले पद पर नहीं। शुरुआत में कोष्ठक हटाने के बजाय उसका मान पहले निकालना अधिक सुरक्षित है।

जोड़ और गुणा में पुनर्समूहन कर सकते हैं; घटाव और भाग में सामान्यतः नहीं। चिह्नयुक्त पदों का क्रम बदलने से पहले घटाव को विपरीत संख्याओं के जोड़ में बदलें और चिह्न बनाए रखें।

भाग में काटने के लिए पूरे भाज्य का गुणनखंड चाहिए: a ≠ 0 होने पर (a × b) ÷ a = b। योग के केवल एक पद में मौजूद समान संख्या पूरे योग से नहीं कटती।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — साझा गुणनखंड निकालें। 37 × 28 + 37 × 12 सरल करें। दोनों पदों में गुणनखंड 37 है, इसलिए व्यंजक 37 × (28 + 12) = 37 × 40 = 1480 है।

उदाहरण 2 — भीतरी चिह्न सुरक्षित रखें। 84 - {19 - [8 - (-5)]} + (-2)^3 सरल करें। पहले 8 - (-5) = 13; फिर 19 - 13 = 6। साथ ही, (-2)^3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8। परिणाम 84 - 6 - 8 = 70 है।

उदाहरण 3 — अलग तरीके साथ लगाएँ। 240 ÷ [3 × (7 - 3)] + [6 × 18 - 6 × 8] - (-3)^2 सरल करें। भाजक 3 × 4 = 12 है। दूसरा समूह 6 × (18 - 8) = 60 है। वर्ग 9 है। इसलिए परिणाम 20 + 60 - 9 = 71 है।

आम गलतियाँ

जोड़ या घटाव के आर-पार गुणनखंड न काटें। पूरा समूह घटाते समय केवल एक चिह्न न बदलें। ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक है, लेकिन वह वर्ग घटाने से कुल मान फिर भी घटता है।

अभ्यास प्रश्न

1. साझा गुणनखंड से 64 × 27 - 64 × 17 सरल करें।
2. 120 - {35 - [18 - (-7)]} सरल करें।
3. 180 ÷ [5 × (9 - 6)] + 7 × (15 - 9) - (-2)^3 सरल करें।
4. दुकान में 9 डिब्बे हैं, प्रत्येक में 24 पेन हैं। वह 36 पेन अलग रखकर बाकी को 6 बंडलों में बराबर बाँटती है। एक कोष्ठकयुक्त व्यंजक लिखें और प्रति बंडल पेन की संख्या निकालें।

उत्तर और व्याख्या

1. 640। दोनों पदों में गुणनखंड 64 है, इसलिए 64 × (27 - 17) = 64 × 10 = 640।
2. 110। भीतरी मान 18 - (-7) = 25 है। फिर 35 - 25 = 10, इसलिए 120 - 10 = 110।
3. 62। भाजक 5 × 3 = 15 है, इसलिए 180 ÷ 15 = 12। गुणनफल 7 × 6 = 42 है, और (-2)^3 = -8। इसलिए 12 + 42 - (-8) = 12 + 42 + 8 = 62।
4. 30 पेन। व्यंजक (9 × 24 - 36) ÷ 6 है। पहले 216 - 36 = 180 शेष पेन निकालें; फिर 180 ÷ 6 = 30। कोष्ठकों से सभी शेष पेन बँटते हैं, केवल अलग रखे पेन नहीं।