गुणनखंडन और भाग विधि से वर्गमूल
सीखने का परिणाम
गुणनखंडन और अंकों की जोड़ी वाली भाग विधि से वर्गमूल निकालें; सटीक वर्गमूल, पूर्णांक शेषफल और पूर्णांकित दशमलव में अंतर करें।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
a ≥ 0 के लिए √a अऋणात्मक मुख्य वर्गमूल है। इसके विपरीत, a > 0 होने पर x² = a के हल ±√a हैं।
धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग का सटीक वर्गमूल पाने के लिए हर समान अभाज्य गुणनखंड-जोड़े से एक गुणनखंड लें; वर्ग करने पर यह प्रक्रिया उलट जाती है।
दशमलव चिह्न से बाहर की ओर अंकों के जोड़े बनाएँ: पूर्णांक भाग में बाईं ओर, दशमलव भाग में दाईं ओर। पूर्णांक भाग का सबसे पहला समूह एक अंक का हो सकता है; दशमलव का अंतिम अधूरा जोड़ा उसके दाएँ शून्य लगाकर पूरा करें।
शुरू में q = R = 0 रखें। हर जोड़ा b नीचे उतारें: T = 100 × R + b। 0–9 में सबसे बड़ा अंक d चुनें जिसके लिए (20 × q + d) × d ≤ T हो। T में से यह गुणनफल घटाकर नया R रखें और q के अंकों के दाईं ओर d लिखें।
यह इसलिए सही है, क्योंकि (10 × q + d)² - (10 × q)² = (20 × q + d) × d।
पूर्णांक समूह समाप्त होने पर वर्गमूल में दशमलव चिह्न लगाएँ; q में उस चिह्न को न गिनें। आगे गणना जारी रखने के लिए 00 के जोड़े लगाएँ।
पूर्णांक N ≥ 0 का पूर्णांक वर्गमूल k, शर्त k² ≤ N < (k + 1)² पूरी करता है; उसका शेषफल N - k² है। दशमलव चरण के शेषफल बदले पैमाने पर हैं, √N का हिस्सा नहीं। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकन के लिए तीसरा अंक निकालें; वह 5 या अधिक हो तो ऊपर की ओर पूर्णांकित करें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — गुणनखंडन। चूँकि 7056 = 16 × 441 = 2⁴ × 3² × 7², इसलिए √7056 = 2² × 3 × 7 = 84। जाँच: 84² = 7056।
उदाहरण 2 — शून्य अंक बनाए रखें। √10404 के लिए जोड़े 1 | 04 | 04 लें। पहले, 1² = 1; वर्गमूल = 1, शेषफल = 0। 04 नीचे उतारें: T = 4। अंक 0 से (20 + 0) × 0 = 0 मिलता है; अंक 1 से 21 > 4 मिलता। वर्गमूल = 10, शेषफल = 4। अगला 04 उतारें: T = 404। 2 चुनें: (200 + 2) × 2 = 404। वर्गमूल = 102, शेषफल = 0, इसलिए ठीक √10404 = 102।
उदाहरण 3 — दशमलव अनुमान। √27 के लिए 5² = 25 से पूर्णांक वर्गमूल 5 और शेषफल 2 मिलता है। 00 लगाएँ: T = 200; 1 चुनें, क्योंकि 101 × 1 = 101, जिससे 99 बचता है; वर्गमूल के अंक = 51। अगला 00 लगाएँ: T = 9900; 9 चुनें, क्योंकि 1029 × 9 = 9261, जिससे 639 बचता है; अंक = 519। अगला 00 लगाएँ: T = 63900; 6 चुनें, क्योंकि 10386 × 6 = 62316, जिससे 1584 बचता है; अंक = 5196। इसलिए 5.196 < √27 < 5.197, और दो दशमलव स्थानों तक √27 ≈ 5.20।
आम गलतियाँ
वर्गमूल के शून्य अंक न छोड़ें, दशमलव अंकों के गलत जोड़े न बनाएँ और अनुमान को बराबरी के चिह्न से न लिखें।
अभ्यास प्रश्न
- अभाज्य गुणनखंडन से √2025 निकालें।
- अंकों की जोड़ी वाली भाग विधि से √4624 निकालें।
- 731 का पूर्णांक वर्गमूल और शेषफल निकालें।
- अंकों के जोड़े बनाकर √0.0625 निकालें।
हल सहित उत्तर
- 2025 = 81 × 25 = 3⁴ × 5²। इसलिए √2025 = 3² × 5 = 45।
- जोड़े: 46 | 24। 6 चुनें: 46 - 36 = 10। 24 नीचे उतारें: T = 1024। 8 चुनें: (120 + 8) × 8 = 1024, जिससे 0 बचता है। इसलिए √4624 = 68।
- जोड़े: 7 | 31। 2 चुनें: 7 - 4 = 3। 31 नीचे उतारें: T = 331। 7 चुनें: 47 × 7 = 329, जिससे 2 बचता है। इसलिए k = 27; 731 = 27² + 2 < 28²।
- जोड़े: 0 . 06 | 25। वर्गमूल के पूर्णांक भाग का अंक = 0। 06 नीचे उतारें: 2 × 2 = 4 से 2 बचता है। 25 नीचे उतारें: T = 225; (40 + 5) × 5 = 225 से 0 बचता है। इसलिए √0.0625 = 0.25।
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