मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ
सीखने का लक्ष्य
मानक सर्वसमिकाओं को व्युत्पन्न करके व्यंजकों का विस्तार करना, सुविधाजनक ढंग से गणना करना और सीमित जानकारी से वर्गों या घनों का योग निकालना।
अवधारणाएँ और मान्यताएँ
यहाँ सभी चर वास्तविक संख्याएँ हैं। नीचे प्रयुक्त बहुपदीय सर्वसमिकाओं में हर नहीं हैं, इसलिए कोई वास्तविक मान वर्जित नहीं है।
सर्वसमिका ऐसा समीकरण है जो अपने बताए गए परिभाषा-क्षेत्र के हर मान के लिए सत्य हो। उदाहरण के लिए, (x + 2)² = x² + 4x + 4 हर वास्तविक x के लिए सत्य है। इसके विपरीत, x + 2 = 7 केवल x = 5 पर सत्य है। कुछ मान जाँचने से गलत सर्वसमिका पकड़ी जा सकती है, लेकिन केवल ऐसा करने से सामान्य सर्वसमिका सिद्ध नहीं होती।
सर्वसमिकाएँ वितरण नियम से निकलती हैं। (a + b)(a + b) का विस्तार a² + ab + ba + b² देता है। चूँकि ab = ba है, इसलिए बीच के पद जुड़ जाते हैं:
(a + b)² = a² + 2ab + b²।
b की जगह −b रखने से (a − b)² = a² − 2ab + b² मिलता है। विपरीत चिह्न वाले कोष्ठकों को गुणा करने पर बीच के पद कट जाते हैं:
(a + b)(a − b) = a² − b²।
इसी प्रकार, (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab। वर्ग के विस्तार को एक और समान कोष्ठक से गुणा करने पर:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³।
b की जगह −b रखने पर (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ मिलता है। घन वाले विस्तार के बीच के पदों को फिर से समूहित करने पर a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) मिलता है।
मान रखने से पहले पहचानें कि a और b की भूमिका में कौन-सी राशियाँ हैं। सर्वसमिका संख्याओं और पूरे बीजगणितीय व्यंजकों, दोनों पर लागू होती है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — अंतर का वर्ग। (2x − 3)² का विस्तार करें।
यहाँ a = 2x और b = 3 हैं। (2x − 3)² = (2x)² − 2(2x)(3) + 3² = 4x² − 12x + 9। (2x)² में गुणांक और चर, दोनों का वर्ग होता है।
उदाहरण 2 — सुविधाजनक गुणा। 1003 × 997 की गणना करें।
ये संख्याएँ 1000 से क्रमशः 3 अधिक और 3 कम हैं: (1000 + 3)(1000 − 3) = 1000² − 3² = 1,000,000 − 9 = 999,991।
उदाहरण 3 — योग और गुणनफल का उपयोग। a + b = 11 और ab = 24 दिए हैं। a² + b² तथा a³ + b³ निकालें।
वर्ग की सर्वसमिका से, a² + b² = (a + b)² − 2ab = 121 − 48 = 73। घन के संबंध से: a³ + b³ = 11³ − 3(24)(11) = 1331 − 792 = 539। किसी भी गणना के लिए a और b को अलग-अलग निकालना आवश्यक नहीं है।
आम गलतियाँ
वर्ग के बीच वाले पद को छोड़ देना; (a − b)² को a² − b² लिख देना; गुणांकों का वर्ग करना भूलना; संख्यात्मक जाँचों को सर्वसमिका का प्रमाण मान लेना।
अभ्यास प्रश्न
- (3x + 4)² का विस्तार करें।
- सर्वसमिका से 104² की गणना करें।
- a − b = 5 और ab = 14 दिए हैं। a² + b² निकालें।
- x + y = 9 और xy = 18 दिए हैं। x³ + y³ निकालें।
चरणबद्ध हल
- (3x)² + 2(3x)(4) + 4² = 9x² + 24x + 16।
- (100 + 4)² = 10,000 + 800 + 16 = 10,816।
- चूँकि (a − b)² = a² + b² − 2ab है, इसलिए आवश्यक योग 5² + 2(14) = 25 + 28 = 53 है।
- x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 9³ − 3(18)(9) = 729 − 486 = 243।
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